大学学部レベル質問スレ 19単位目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/04(木) 23:29:28.02 ID:0Ho6Owof.net] 大学で習う数学に関する質問を扱うスレ ・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして ・ただの計算は wolframalpha.com ・数式の表記法は mathmathmath.dote ra.net ・質問のマルチポストは非推奨 ・煽り、荒らしはスルー ※前スレ 大学学部レベル質問スレ 18単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651147986/ 231 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/24(水) 17:01:14.45 ID:K2zEdikp.net] どんな勉強してるとそんなギャグを思いつくんだろ 232 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/24(水) 17:13:53.96 ID:Fmj7sYZC.net] ギャグだと？どこら辺がギャグなんですか 233 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/24(水) 21:38:47.37 ID:kmZv/DZO.net] >>226 覚えるな 分かれよ 234 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/26(金) 14:22:53.13 ID:uyY29VJD.net] 補題2-10 A ⊂ R^n を長方形とする． f : A → R^n を連続微分可能とする． A のすべての内点 x に対して， |D_j f^i(x)| ≦ M が成り立つような数 M が存在するならば， |f(x) - f(y)| ≦ n^2 * M * |x - y| がすべての x, y ∈ A に対して成り立つ． 235 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/26(金) 14:25:16.09 ID:uyY29VJD.net] >>230 は， Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』に書いてある補題です． D_j f^i は連続関数なので， A 上で最大値最小値をとります． ですので，補題2-10での M は常に存在すると思います． 236 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/26(金) 14:28:22.58 ID:19sWmT18.net] 松坂くんは今日も絶好調 237 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/26(金) 14:35:05.59 ID:uyY29VJD.net] >>230 の補題のステートメントは間違っているということですか？ 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/26(金) 14:51:37.53 ID:G+NNgRzd.net] 絶好調なら「fは微分可能であれば十分です」とか言いそう 239 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/26(金) 17:38:13.71 ID:uyY29VJD.net] >>230 結論として，著者の頭の中では A は開長方形なんだと思います． ですが，そうだとすると，「A のすべての内点 x に対して」というのが奇妙な表現ということになります． 「A のすべての点 x に対して」と書けば十分だからです． 240 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/26(金) 18:58:35.14 ID:wxKL6M42.net] その本持ってないから知らんけど長方形=2次元区間で開とも閉とも限ってないんじゃない？ 241 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/26(金) 22:24:50.36 ID:y5bNOXMh.net] >>230 有限増分の定理だね 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/26(金) 23:59:06.62 ID:M6bEjZ5s.net] 境界上では有界云々以前に微分すらできないときもある 243 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/27(土) 00:17:15.78 ID:dWsFMi/l.net] >>232を受けて>>233ということは、一応自分がどのように思われてるかの認識はあるようだね 自分の能力を棚に上げた著者批判も、卑劣な行為だと理解した上でやってたことなのかな 244 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/27(土) 12:24:57.84 ID:MVf7nPZe.net] 関数解析の教科書(自習で使う)って何かいい物ありますか？ 調べてみた感じ岩波の「関数解析」(岡本/中村)がよさそうですけどどう思いますか？ 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/27(土) 13:06:40.50 ID:RQUlSt7o.net] Sergei OvchinnilovのFunctional Analysis: An Introductory Courseとか好きだな 何を読むか最後に決めるのは本人だからなんとも言えんけど 246 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] >>230 の補題ですが，これは逆関数定理の証明に使うための補題です． この補題の使われ方を調べるため，逆関数定理の証明を読んだのですが，この補題は以下のように書くのが自然です． 補題2-10 A ⊂ R^n を閉長方形とする． f : A → R^n を連続微分可能とする． M を A のすべての点 x に対して， |D_j f^i(x)| ≦ M が成り立つような数とする． このとき， |f(x) - f(y)| ≦ n^2 * M * |x - y| がすべての x, y ∈ A に対して成り立つ． 247 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] そこで，気になるのが，斎藤正彦さん訳の『多変数解析学』でこの補題がどのように書かれているかです． 原著をそのまま訳しておかしなことになっているのか，斎藤正彦さんが， >>242 のように適切に書き直しているかどうかです． 248 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] そのまま，理解せずにただ訳しただけなのか，理解して訳していたかが，ここを見れば 判定できると思います． 斎藤正彦訳『多変数解析学』を持っている人はいませんか？ 249 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] あ，「齋藤」が正しいですね． 250 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] 齋藤正彦さんって宮澤喜一さんのいとこなんですね． 251 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/27(土) 15:22:56.89 ID:VEQYv+Zi.net] それが？ 252 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/27(土) 17:03:31.21 ID:TQ6jMk8S.net] Michael Spivakさんの逆関数定理の証明ですが，非常に巧妙な証明ですね． 逆関数定理の本質的に異なると考えられる証明ってどれくらいあるんですか？ 253 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/27(土) 17:24:43.53 ID:VEQYv+Zi.net] >>248 平方剰余の相互法則の証明と比べると 比較にならない 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/27(土) 19:44:15.17 ID:wCnKhP4Z.net] ステートメントが真に本質的な部分で弱くなってる そういう基本的な事がいつまで経っても分からんアンポンタン しょうもない重箱の隅にしか目が入ってない 255 名前：からそういう重要な話のポイントは何一つ頭に入ってない [] [ここ壊れてます] 256 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/27(土) 20:28:17.57 ID:TQ6jMk8S.net] あ， >>236 が正しいようですね． 257 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/27(土) 20:29:04.47 ID:TQ6jMk8S.net] で，この補題を逆関数定理の証明で使う際には，閉長方形に対して適用しているわけですね． 258 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/27(土) 21:07:37.25 ID:aMn2PrgK.net] 論点と違うけど、n^2の部分ってn^(3/2)にできない？ ||f(x)-f(y)||≦|f^1(x)-f^1(y)|+…+ |f^n(x)-f^n(y)|の代わりに ||f(x)-f(y)|| =√ ((f^1(x)-f^1(y))^2+…+ (f^n(x)-f^n(y))^2)に不等式を使えばnが√nになると思うんだけど 259 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] >>230 この補題ですが，わずかでも一般化すると嬉しいという数学者のセコさがあらわれていますね． 金持ちが，小銭をもらって喜んでいるような感じですね． 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net] 境界上での偏微分の定義とか、境界を持つ領域上の関数が連続微分可能であることの定義はどうなってるの？ 261 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 12:28:34.90 ID:hX6K4csh.net] >>255 It is convenient to define a function f : R^n → R^m to be differentiable on A if f is differentiable at a for each a ∈ A. If f : A → R^m, then f is called differentiable if f can be extended to a differential function on some open set containing A. 262 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 12:30:49.62 ID:hX6K4csh.net] 訂正します： >>255 It is convenient to define a function f : R^n → R^m to be differentiable on A if f is differentiable at a for each a ∈ A. If f : A → R^m, then f is called differentiable if f can be extended to a differentiable function on some open set containing A. 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/28(日) 13:07:11.90 ID:MczHZCVW.net] 境界上での偏微分は定義してないの？ だとしたらそこを避けるためにAの内点に限って条件を書いたんじゃないの？ 264 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 13:28:05.58 ID:I2phUq1W.net] 「(X,O)がT3空間のとき、Xの部分集合Aも部分空間としてT3空間」を次のように証明しましたが、合っていますか？ T3空間は点x∈Xと閉集合F⊂Xがx/∈F(/∈は∈の否定) を満たすならば, つねに開集合U,Vがx∈U, F⊂V, U∩V=фを満たすように存在することと定義します。 x∈A, F⊂A、x/∈F、Fは部分空間Aでの閉集合とする。 Xの開集合VがあってA-F=V∩Aとなるので F=A-V∩A=X∩A-V∩A=(X-V)∩A=G∩A、GはXの閉集合と表せる。 x/∈Fだからx/∈G (X,O)がT3空間なのでXの開集合U1、U2があって、x∈U1、G⊂U2、U1∩U2=фとできる。 x∈U1∩A、F⊂U2∩A、(U1∩A)∩(U2∩A)=ф となるのでXの部分集合Aも部分空間としてT3空間である。 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/28(日) 14:03:38.46 ID:53tfrfT9.net] >>258 普通はそうやろ あくまで微分が定義されるのは内点のみ、特殊な事情でどうしても境界上で微分しなきゃならない時はするけどそっちの方が例外 だから「全体で連続、内点で微分可能」なんてごくありきたりの設定 そんなもん高校で平均値の定理が出てきたところで既に出てる話 その時点でで気付けよアホかつて話 266 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 14:24:09.35 ID:Ry2arKzo.net] supノルムを使う為にf’が有界であってほしい時に閉区間上のC^1級関数を考えたりはする 267 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 15:00:20.82 ID:BATJIuS8.net] 条件を簡潔に述べやすくするための工夫 268 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 15:55:38.95 ID:hX6K4csh.net] James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』 >>187,190 変数変換の定理ですが，広義積分に対して，証明しています． 269 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 15:56:40.84 ID:hX6K4csh.net] 訂正します： James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』 >>187,190 変数変換の定理ですが，広義積分に対してのみ，証明しています． 270 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 16:01:35.15 ID:hX6K4csh.net] その理由として，以下です： One reason is that the extended integral is actually easier to work with in this context than the ordinary integral. The other is that even in elementary problems one often needs to use the substitution rule in a situation where Theorem 17.1 does not apply, as Example 2 shows. 杉浦光夫さんの本ではどうなっていますか？ 271 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 16:03:47.25 ID:hX6K4csh.net] 俳優の杉浦直樹さんのいとこの杉浦光夫さんの本は，細かすぎて本当に使いにくいですよね． 齋藤正彦は，政治家の宮澤喜一さんのいとこですね． 272 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 16:05:21.47 ID:hX6K4csh.net] 藤原正彦さんは作家の新田次郎さんの息子ですね． 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/28(日) 16:17:26.68 ID:53tfrfT9.net] >>282 閉領域で微分可能とするには結局厳密には 「その閉領域を含むある開領域で微分可能」とするしかない しかしそれを前提条件とすると本質的に条件がかなりキツくなる そんな事まで要求してしまったら 「f(x) = √(1-x²)でf(1) = f(-1) =0だからロルの定理よりあるcでf'(c)=0」もダメになる そしてこの“内点で微分可能、全体で連続”というセットアップは数学において繰り返し繰り返し発生する状況でそのような状況で使えるように準備しておく事は決して“無用な拡張”をしてるわけではない むしろ難しい関数を”なめらかな関数の境界になってる関数”と捉えて解析するのは数学の中心的手法と言っていい 数学ある程度勉強してわからんのはもう才能ない 274 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 17:04:22.10 ID:75XKd86R.net] 才能があるかどうかって誰か質問したか？ 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/28(日) 17:18:29.54 ID:ojWOHsF1.net] 初等解析に才能も何もないだろ 276 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/28(日) 17:48:47.14 ID:quLDuoaA.net] >>269 >>268 の言いたいことは、『才能があるかないかという質問に対する答え』ではなく、 『お前には才能ないからもう数学はやめろ』という忠告ではないだろうか。 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/28(日) 19:05:59.13 ID:pOMmGxca.net] まーたマウンティングか 数学と性格 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/28(日) 22:12:17.74 ID:9bma0f6J.net] まぁアホ学生なんてこんなもん 279 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 00:10:23.07 ID:x/Qhz/yp.net] ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx について考える． f(x, y) = √(x^2 + y^2) とおく． f(x, y) = y (x = 0 のとき) f(x, y) = √(x^2 + y^2) (x ≠ 0 のとき) です． f(x, y) は x が 0 であるかそうでないかによって，全く別のタイプの関数になります． ですが， ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy は x の連続関数になるので， g(x) = ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy を x ≠ 0 のときにのみ，計算して ∫_{0}^{1} g(x) dx を計算すれば， ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx が求まります． これって，なんか不思議じゃないですか？ 280 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 00:13:49.12 ID:x/Qhz/yp.net] 訂正します： ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx について考える． f(x, y) = √(x^2 + y^2) とおく． f(x, y) = y (x = 0 のとき) f(x, y) = √(x^2 + y^2) (x ≠ 0 のとき) です． f(x, y) は x が 0 であるかそうでないかによって，全く別のタイプの y の関数になります． ですが， ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy は x の連続関数になるので， g(x) = ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy を x ≠ 0 のときにのみ，計算して ∫_{0}^{1} g(x) dx を計算すれば， ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx が求まります． これって，なんか不思議じゃないですか？ 281 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 00:15:53.23 ID:gkY36A/q.net] ？？？？？ 282 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 00:19:05.54 ID:x/Qhz/yp.net] g(y) = y と g(y) = √(1 + y^2) では全くタイプのことなる関数ですよね． 283 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] >>277 y=√(0+y^2) では？君の疑問の出所「タイプ」を突き詰めて考えないと 284 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 08:13:20.35 ID:x/Qhz/yp.net] y と 無理関数 √(a^2 + y^2) は明らかにタイプが異なる関数です． 285 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 08:19:06.25 ID:x/Qhz/yp.net] 以下の定理は重要だと思うのですが，書いていない本が多いですね． なぜでしょうか？ 例えば，Michael Spivak著『Calculus 4th Edition』には書いてあります． f が区間 [a, b] で積分可能であるとする． このとき， F(x) := ∫_{a}^{x} f(t) dt は [a, b] で連続である． 286 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 08:21:46.71 ID:x/Qhz/yp.net] f が連続関数ならば， F(x) は微分可能なので， 287 名前：もちろん連続です． ですが， f が不連続関数の場合には， F(x) が連続であるというのはそれほど自明ではありません． [] [ここ壊れてます] 288 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 08:27:26.92 ID:x/Qhz/yp.net] 齋藤正彦さんの本と野村隆昭さんの本には書いてありませんでした． 289 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 08:29:53.12 ID:x/Qhz/yp.net] あ，書いてある本のほうが多いかもしれませんね． 連続関数の積分に限定している本には書いていないということですかね． 290 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] >>279 ？？？ 291 名前：１３２人目の素数さん [[ここ壊れてます] .net] Stephen Abbott著『Understanding Analysis』 売れ筋の本のようですが，どこがいいのか分かりません． １変数のみですし，演習問題が多すぎます． 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/30(火) 16:30:09.98 ID:I5fp4O9E.net] 学部生の為のテキストだからな 293 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 18:22:17.13 ID:I1ep6B+K.net] 演習問題が多いことに文句言う人初めて見た 294 名前：１３２人目の素数さん [2022/08/30(火) 18:38:21.19 ID:VRrUFFPw.net] 講義で教科書に使っていて、試験は演習問題から出る というシチュエーションならあり得る 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/03(土) 17:26:35.10 ID:7anGMjm3.net] てすと 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/07(水) 21:00:50.25 ID:Du667sV0.net] H.フランダース, 微分形式の理論 およびその物理科学への応用 (岩波書店) (原題: Harley Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences ) p.22 の問題より n次元ベクトル空間: V 添字組: H=(i₁,i₂,...,iₚ) { 1≦ i₁<i₂<...<iₚ ≦n } p重ベクトル基底: σ^H := σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧ ... ∧ σ[iₚ] {基底ベクトル: σ[i]∈V} として、 p重ベクトル: α = Σ{H} a[H] σ^H {a[H]∈R, ∃a[H]≠0} を固定すると 部分ベクトル空間: M (⊂ V) { def: v∈M ⇔ α∧v=0 } が定まります 以下を証明してください 問1. dim(M) ≦ p 問2. dim(M) = p が成り立つためには α = u₁ ∧ u₂ ∧ ... ∧ uₚ {u₁,u₂,..,uₚ は適当な独立ベクトル} の形に表せることが必要十分である ----------------------------- 問1. a[H]から定まる C[n,p+1] × n 次行列 (Aとする) を考えてみたものの dim(ker(A)) ≦ p を示す方法が分かりません 問2. [必要性] 分からない [十分性] w = u₁∧u₂∧...∧uₚ の時 M = span({u₁,u₂,...,uₚ}), よって dim(M)=p 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/07(水) 22:02:56.80 ID:tRUMWk3T.net] >>290 7次元空間の3-formくらいで 空間の基底をp,q,r,s,t,u,vとして3-form ωにおいてp∧q∧rの係数が1とする x∈Vがx∧ω=0を満たすとする x = ap+bq+cr+ds+et+fu+gv (a〜g∈ℝ) とする x∧ω∧s∧t∧u = 0よりg = 0 x∧ω∧s∧t∧v = 0よりf = 0 x∧ω∧s∧u∧v = 0よりe = 0 x∧ω∧t∧u∧v = 0よりd = 0 ∴ x はp,q,rではられる空間に入る ∴ { x | x∧ω=0} ⊂ <p,q,r>, dim<p,q,r> = 3 ωの他の成分の係数、例えばp∧q∧sの係数も0でないなら{ x | x∧ω=0}は<p,q,s>にも含まれるから<p,q,r>∩<p,q,s> = <p,q>に含まれ次元は２以下 一般化はご自分で 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/07(水) 22:11:23.19 ID:5HjBFIuh.net] >>290 問1: a[H]が0でないようなHについて、Hに出てこないような添字jに対するα∧σ[ 299 名前：j]が1次独立であることを確かめる。 問2: Mの基底を取り、それを含むようなVの基底をとって成分表示。 [] [ここ壊れてます] 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/07(水) 22:45:38.65 ID:Du667sV0.net] >>291, >>292 ありがとうございます 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/08(木) 12:40:33.16 ID:rP0+O6dI.net] 再びフランダース本より (p.23) n次元ベクトル空間: V の1次変換: A が与えられた時、 p重ベクトル空間: ∧^p V の1次変換: ∧^p A を以下のようなものと定義する (∧^p A)(σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧...∧ σ[iₚ]) := Aσ[i₁] ∧ Aσ[i₂] ∧...∧ Aσ[iₚ] Aσ[i] = Σ{j} a[i,j].σ[j] 添字組: H={i₁,i₂,..,iₚ}, K={j₁,j₂,..,jₚ} a[H,K] := 行列a[i,j]に対して 組Hから行を 組Kから列を 拾ったp次小行列 とすると (∧^p A)(σ^H) = Σ{K} |a[H,K]| σ^K と表せます. (フランダース本 p.15) 問. 組H行, 組K列 の成分が p次小行列式 |a[H,K]| である C[n,p]次行列 この行列式の値を求めてください. --------------- (元の文↓だと伝わらないと思ったので補いました. 意味は同じはずです) 問. dimL=n とし, 1次変換 A: L→L が与えられたとする.　次の行列式の値を求めよ |∧^p A| --------------- 次数計算 C[n,p]* p = n*C[n-1,p-1]　から |∧^p A| = |A|^C[n-1,p-1] になると予想しましたが、正しい保証はありません 例. p=1の場合, p=nの場合 は自明です. 例. n=3, p=2 の場合 組H,K = {(12),(13),(23)} 〜 {1,2,3} に読み替えて m = matrix(3) m[1,1] = a11*a22-a12*a21 m[1,2] = a11*a23-a13*a21 m[1,3] = a12*a23-a13*a22 m[2,1] = a11*a32-a12*a31 m[2,2] = a11*a33-a13*a31 m[2,3] = a12*a33-a13*a32 m[3,1] = a21*a32-a22*a31 m[3,2] = a21*a33-a23*a31 m[3,3] = a22*a33-a23*a32 a = [ a11,a12,a13 ; a21,a22,a23; a31,a32,a33 ] matdet(m) - matdet(a)^(binomial(n-1,p-1)) ⇒ 0 よってこの場合は正しい {PARI/GPで検算} 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/08(木) 16:30:56.56 ID:rP0+O6dI.net] (続き) ランダム整数の行列を元に数値計算をしてみましたが n=10 までは |∧^p A| = |A|^C[n-1,p-1] が成り立っている様子でした (もちろん 証明にはなりません) 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/08(木) 17:36:32.30 ID:QIjux8Cs.net] >>294 あまり綺麗じゃないけど、係数体をCに拡大してAをジョルダン分解、とか？ 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/08(木) 19:01:46.70 ID:X0JZww7y.net] 1≦p≦nに対してn次元実ベクトル空間ℝⁿのp重交代積の空間をVₙₚとする M∈Mₙ(ℝ)が引き起こす写像φᴍ:Vₙₚ→Vₙₚの行列式を対応させる写像Dₙₚを考えればDₙₚはMₙの成分の多項式で書ける写像だから連続 よって今示したい関係式 Dₙₚ(M) = ( det M )^(ₙ₋₁Cₚ₋₁)‥① は両辺共に連続 よってこの等式がMの稠密部分集合で成立していれば良い M'ₙ = { M ∈ Mₙ | Mは相異なるn個の固有値を持つ } とすればM'ₙはMₙで稠密、かつM'ₙで①は成立 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/08(木) 20:05:07.11 ID:rP0+O6dI.net] >>296 ありがとうございます. それでいいと思います. |a[H,K]| が上三角行列になるので 対角行列になる >>297 と同様に簡単に等式が示せますね. 例. A e^{i,j,k} = A e[i] ∧ Ae[j] ∧ Ae[k] = (λ[i] e[i] + e[i-1]) ∧ (λ[j] e[j] + e[j-1]) ∧ (λ[k] e[k] + e[k-1]) = λ[i]λ[j]λ[k] . e^{i,j,k} + ({i,j,k} より低位の項) >>297 「M'ₙはMₙで稠密」これはどこまで自明でしょうか？ 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/08(木) 20:19:57.80 ID:X0JZww7y.net] >>298 固有多項式の判別式は係数の多項式 それが0出ない空間はMₙの代数的開集合、すなわちZariski open Mₙは既約だから任意のZariski openは稠密 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/08(木) 20:42:30.72 ID:rP0+O6dI.net] >>299 すみません勉強が足りず今時点では理解が追いつかない感じですが、ありがとうございます. 308 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/10(土) 12:39:14.23 ID:XV/Yduiy.net] James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』 変数変換の定理の証明を読んでいますが，技術的なことを細かく証明しているだけという 印象ですね． 証明ですが，6ページ半の長さです． もちろん，その前に書いてある命題群も使うので，あまり長さに意味はありませんが． 309 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/10(土) 12:43:14.67 ID:XV/Yduiy.net] 無料で公開されているとは知りませんでした． archive.org/details/MunkresJ.R.AnalysisOnManifoldsTotal/page/n173/mode/2up この補題のStep 3まで読み終わりました． 310 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/10(土) 12:46:49.85 ID:XV/Yduiy.net] 変数変換の定理の証明で重要な役割をする「partitions of unity」というのも素朴な考え方ですよね． その証明も技術的です． 311 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/13(火) 18:20:01.29 ID:XvzSYEMQ.net] スキーム(X,O_X)の構造層O_Xってどんなイメージ？ 312 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/13(火) 18:52:54.15 ID:t9t/s19e.net] 積分記号下の微分って重要ですか？ 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/13(火) 19:24:14.38 ID:SF6soQu5.net] 変数変換のときに便利 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net] >>304 O_Xはその層化と同型だから、O_X(U)はU⊆Xの点から茎の排他的和への関数の部分集合になる これが古典的な代数幾何との類推 315 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/13(火) 23:54:37.40 ID:FmOGMTZp.net] >>307 ありがとうございます。 スキームの層の方の準同型f#:O_Y→f*O_Xは、なんの元でどの元とどの元が対応しているんですか？ 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/14(水) 06:28:35.30 ID:MTtZ3L3m.net] 距離化(距離付け)可能な位相空間だったら、最初から距離空間って言えばいいのに、距離化可能な位相空間って言うのは何でですか? しっくり来る説明をしてもらっていいっすか? 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/14(水) 06:46:11.63 ID:+2EXxi2O.net] 同じ位相を定める異なる距離があるから 具体的な距離ではなく、あくまで距離化可能ということが純粋に位相的性質と言える 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/14(水) 14:16:04.52 ID:YHYq3ABW.net] こんな質問する奴に答える意味あるんか？ 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/15(木) 15:06:28.07 ID:kkHTbITD.net] 三段論法のわかり易い例を教えてください。 自分は理系なので、数学内の例ならわかるのですが、 日常的な例だとわかりません。　よろしくお願いします。 320 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/15(木) 16:30:49.26 ID:ZlYf+Xep.net] >>312 ナニナニならばナニナニってのを何か思いつく？ 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/15(木) 21:33:54.31 ID:kkHTbITD.net] >>313 小学生ならば子供である でよいでしょか？　ここまでは考えたのですが、ここからがわかりません 322 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/16(金) 07:10:13.30 ID:A0zTZd47.net] >>314 誰か小学生を知ってる？ 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net] 男は「三段論法を理解するために声を掛けた」などと供述しており… 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/16(金) 10:56:54.94 ID:7HLoB6T0.net] >>315 近所の太郎君が小学生です。 325 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/16(金) 11:22:14.32 ID:wx8X1dTs.net] φ : R^n → R のサポートが、 {x | φ(x) ≠ 0} ではなく、 {x | φ(x) ≠ 0} の閉包と定義されるのはなぜですか？ 326 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/16(金) 12:42:44.13 ID:Z4pT98eV.net] >>317 では 「小学生ならば子どもです」（大前提） 「近所の太郎君は 327 名前：小学生です」（小前提） から三段論法により 「近所の太郎君は子どもです」（帰結） が導かれるました [] [ここ壊れてます] 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/16(金) 16:32:53.37 ID:7HLoB6T0.net] 親切に教えて頂いてありがとうございます。 ところで、(大前提)と(小前提)との使い分けは数学ではしないと思いますが、 必要なことなのですか？ たとえば、 「近所の太郎君は小学生です」（大前提） 「小学生ならば子どもです」（小前提） から三段論法により 「近所の太郎君は子どもです」（帰結) は、(大前提)と(小前提)との使い分けとしては間違いですか？ 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/16(金) 18:26:53.29 ID:5LGM9y47.net] Wikipediaによると > 古代ギリシアに由来する西洋の三段論法は、 > 大概念 - 結論において述語（P）となる概念（項）。 > 小概念 - 結論において主語（S）となる概念（項）。 > 媒概念 - 大前提・小前提で上2つの概念（項）との関係性が示される媒介的な概念（項）。中項（M）。 > という3つの項（概念）の内、2つの組み合わせ（関係性）をそれぞれ表現する、 > > 大前提 - 大概念/述語（P）と、媒概念/中項（M）の関係性を示す命題文 > 小前提 - 小概念/主語（S）と、媒概念/中項（M）の関係性を示す命題文 > 結論 - 小概念/主語（S）と、大概念/述語（P）の関係性を示す命題文 との事なので 数学的にはこうなる ・小概念 S: 近所の太郎君 ・小前提 M(S): Sは小学生です ・大前提 ∀x { M(x)→P(x) }: (任意xについて){ (xが)小学生ならば(xは)子どもです } ・結論 P(S): S[=近所の太郎君]は子どもです 汎化(∀x) されてる方を「大前提」と呼ぶのは自然に感じますね. 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/16(金) 23:43:23.48 ID:7HLoB6T0.net] 皆さんが親切なので、わたしもやる気が出て調べてみました。 論理の教科書によると、三段論法とは次のことのようです。 [[P→Q]∧[Q→R]]→[P→R] そうだとすると、「近所の太郎」の例はこれに当てはまらないので 違うのではないでしょうか？ 331 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/17(土) 00:04:44.41 ID:CuRiIZvi.net] >>322 それも三段論法 これも三段論法 P∧(P→Q)→Q

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