- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/07(水) 21:00:50.25 ID:Du667sV0.net]
- H.フランダース, 微分形式の理論 およびその物理科学への応用 (岩波書店)
(原題: Harley Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences )
p.22 の問題より
n次元ベクトル空間: V
添字組: H=(i₁,i₂,...,iₚ) { 1≦ i₁<i₂<...<iₚ ≦n }
p重ベクトル基底: σ^H := σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧ ... ∧ σ[iₚ] {基底ベクトル: σ[i]∈V}
として、
p重ベクトル: α = Σ{H} a[H] σ^H {a[H]∈R, ∃a[H]≠0}
を固定すると
部分ベクトル空間: M (⊂ V) { def: v∈M ⇔ α∧v=0 }
が定まります
以下を証明してください
問1. dim(M) ≦ p
問2. dim(M) = p が成り立つためには
α = u₁ ∧ u₂ ∧ ... ∧ uₚ {u₁,u₂,..,uₚ は適当な独立ベクトル}
の形に表せることが必要十分である
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問1.
a[H]から定まる C[n,p+1] × n 次行列 (Aとする) を考えてみたものの
dim(ker(A)) ≦ p を示す方法が分かりません
問2.
[必要性] 分からない
[十分性] w = u₁∧u₂∧...∧uₚ の時 M = span({u₁,u₂,...,uₚ}), よって dim(M)=p
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