875 名前： are in H_aleph_0”、 ”the class of sets representing the natural numbers, i.e it includes each element in the standard model of natural numbers.” となるわけだ ４．上記3のNは、一階述語論理では示せない。表現力弱いから（レーヴェンハイム-スコーレムの定理） ５．「natural numbers Nが出来ている」と言いたい。そのために、「無限公理を置いた」ってことね（細かい技術的な話があるが省く） ６．つまり、自然数の集合Nの元∀n達は、後者suc(a)=a∪{a}で尽くせると、考えて良い。というか、そう考えるべきなのだ で、1,2,3,・・n・・(→∞) が、数直線の上に並んで、ずっと無限に続く 一方で、y=1/xで、逆数を作ると、1,1/2,1/3,・・1/n・・→0 に写せる 1,1/2,1/3,・・1/n・・ 達は、全て有限で、列全体の長さは可算無限、つまり自然数Nの元を並べた列と同じ長さになる （ここで、逆数を使ったのは、https://encyclopediaofmath.org/wiki/Ordinal_number Ordinal number の記述を参考にした。有理数Ｑの稠密性を使う議論は分かり易いね）
（参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%BA%E4%BC%9D%E7%9A%84%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88 遺伝的有限集合（英: hereditarily finite set）は有限個の遺伝的有限集合からなる有限集合と定義される。この定義は帰納的である。遺伝的という名称は遺伝的有限という性質がその元に遺伝することによる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Hereditarily_finite_set Hereditarily finite set Contents 3 Axiomatizations 3.1 Theories of finite sets 3.2 ZF
Theories of finite sets The set Φ also represents the first von Neumann ordinal number, denoted 0. And indeed all finite von Neumann ordinals are in H_aleph_0 and thus the class of sets representing the natural numbers, i.e it includes each element in the standard model of natural numbers.
ZF The hereditarily finite sets are a subclass of the Von Neumann universe. Here, the class of all well-founded hereditarily finite sets is denoted Vω. Note that this is also a set in this context. (引用終り) 以上
895 名前：o%E2%80%93Fraenkel_set_theory Zermelo?Fraenkel set theory Contents 1 History History The modern study of set theory was initiated by Georg Cantor and Richard Dedekind in the 1870s. However, the discovery of paradoxes in naive set theory, such as Russell's paradox, led to the desire for a more rigorous form of set theory that was free of these paradoxes. In 1922, Fraenkel and Thoralf Skolem independently proposed operationalizing a "definite" property as one that could be formulated as a well-formed formula in a first-order logic whose atomic formulas were limited to set membership and identity. They also independently proposed replacing the axiom schema of specification with the axiom schema of replacement. Appending this schema, as well as the axiom of regularity (first proposed by John von Neumann),[3] to Zermelo set theory yields the theory denoted by ZF. Adding to ZF either the axiom of choice (AC) or a statement that is equivalent to it yields ZFC.
https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=ZFC encyclopediaofmath.org ZFC [a17] J. von Neumann, "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre" J. Reine Angew. Math. (Crelle's J.) , 154 (1925) pp. 219?240 (引用終り) 以上 []
１．基本は、下記 Foundations of mathematicsのToward resolution of the crisis にある通り ”In practice, most mathematicians either do not work from axiomatic systems, or if they do, do not doubt the consistency of ZFC, generally their preferred axiomatic system. In most of mathematics as it is practiced, the incompleteness and paradoxes of the underlying formal theories never played a role anyway, and in those branches in which they do or whose formalization attempts would run the risk of forming inconsistent theories (such as logic and category theory), they may be treated carefully.” <上記のgoogle機械訳が下記> ”実際には、ほとんどの数学者は公理システムから作業しないか、または作業する場合は、ZFCの一貫性、一般的には彼らの好ましい公理システムを疑うことはありません。 実践されている数学のほとんどでは、基礎となる形式理論の不完全性とパラドックスがとにかく役割を果たしたことはなく、それらが行われている、または形式化の試みが一貫性のない理論（論理や圏論など）を形成するリスクを冒すブランチでは 理論）、それらは慎重に扱われるかもしれません。” と ２．「形式化の試みが一貫性のない理論（論理や圏論など）を形成するリスクを冒すブランチでは 理論）、それらは慎重に扱われるかもしれません」 は、まさにIUT IVの付録で望月先生が書かれていた ”Set-theoretic Foundations”が当てはまる気がする ３．21世紀の大きな流れは、一つは圏論 IUTもそうだし、拓郎先生の3億円論文も圏論使ったそうな もう一つは、”高階論理”。逆数学は2階算術を使うという 20世紀後半から21世紀のトレンドは、 脱ZFCだと思う。ZFCだけじゃ、狭いし、新しいことは出てこない 脱ZFCの一番の先駆者が、グロタンディークだったかも。ZFCGを考えたり、トポスから景を提唱したり、全く従来の基礎論に捕らわれない発想の人だった
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Foundations_of_mathematics Foundations of mathematics Contents Toward resolution of the crisis In practice, most mathematicians either do not work from axiomatic systems, or if they do, do not doubt the consistency of ZFC, generally their preferred axiomatic system. In most of mathematics as it is practiced, the incompleteness and paradoxes of the underlying formal theories never played a role anyway, and in those branches in which they do or whose formalization attempts would run the risk of forming inconsistent theories (such as logic and category theory), they may be treated carefully. The development of category theory in the middle of the 20th century showed the usefulness of set theories guaranteeing the existence of larger classes than does ZFC, such as Von Neumann?Bernays?Godel set theory or Tarski?Grothendieck set theory, albeit that in very many cases the use of large cardinal axioms or Grothendieck universes is formally eliminable. One goal of the reverse mathematics program is to identify whether there are areas of "core mathematics" in which foundational issues may again provoke a crisis.
https://en.wikipedia.org/wiki/Topos The Grothendieck topoi find applications in algebraic geometry; the more general elementary topoi are used in logic.
In practice, most mathematicians either do not work from axiomatic systems, or if they do, do not doubt the consistency of ZFC, generally their preferred axiomatic system.
In most of mathematics as it is practiced, the incompleteness and paradoxes of the underlying formal theories never played a role anyway, and in those branches in which they do or whose formalization attempts would run the risk of forming inconsistent theories (such as logic and category theory), they may be treated carefully.
>>860 >IUT IV §3を読む限り、望月の考えはほとんど素朴集合論に依っていると思う。 >set theoretic formulaによる操作であるmutationを無頓着に使っていて、 >まさに >>846 の２が当てはまる。
ありがとうございます 実は、そこまで詳しく読んでいなかったが ざっと、斜め読みしただけだったのですが いま、改めて読むと １．「望月の考えはほとんど素朴集合論に依っていると思う」に同意（それは今の大多数の数学者と同じと思う） ２．あと、望月氏も、IUT IV §3 で、 Feferman 1969を引用しているけど、 下記の”巨大数研究 Wiki 宇宙 (数学)”でも引用されている 著名文献かも。しかし、全体として、望月氏の基礎論の知識は、Feferman 1969とかグロタンディークとかで止まっている気がする ３．かつ、下記IUT IV ”hence to new Galois or etale fundamental groups, which may only be constructed if one allows oneself to consider new basepoints, relative to new universes. ” が、用語”universe”を正当化する根拠と思うけど、”universe”の世間一般の定義は結構歴史的変遷があったみたいで、望月”universe”が世間一般と合っているのかな？ ちょっと疑問です。”new basepoints”とかが、正当化の理由みたいだが、この程度なら集合内では？という気がする
(参考) https://www.is.s.u-tokyo.ac.jp/isnavi/logic06.html 圏論は数学をするための「高級言語」 蓮尾一郎 矢印ばっかり描いているのだ 数学では普通、「集合 A があって、その元 a ∈ A があって……」というように、集合ベースで話が進みます。圏論というのは、代わりに対象と射を使う数学のコトバです。ぱっと見でいえば、「矢印ばかり描いている」という印象になるでしょう。 圏論は数学の便利なコトバ 圏論の便利なところをひとつ挙げましょう※1。 “対象、射
https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E7.9C.9F.E3.82.AF.E3.83.A9.E3.82.B9.E3.81.A8.E3.83.95.E3.82.A7.E3.83.95.E3.82.A1.E3.83.BC.E3.83.9E.E3.83.B3.E3.81.AE 巨大数研究 Wiki 宇宙 (数学) 1.3 真クラスとフェファーマンの 2 集合論における宇宙 2.1 フォン・ノイマン宇宙 2.2 構成可能宇宙 3 脚注 4 参考文献 3 Feferman, Solomon, and G. Kreisel. "Set-theoretical foundations of category theory." Reports of the midwest category seminar III. Springer, Berlin, Heidelberg, 1969.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨ LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS Shinichi Mochizuki April 2020
P6 - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i). As one constructs sets at new levels of the ∈-structure of some model of axiomatic set theory - e.g., as one travels along vertical or horizontal lines of the log-theta-lattice! - one t
941 名前：ypically encounters new schemes, which give rise to new Galois categories, hence to new Galois or ´etale fundamental groups, which may only be constructed if one allows oneself to consider new basepoints, relative to new universes. P85 [Ffmn] S. Feferman, Set-theoretical Foundations of Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969), pp. 201-247. (引用終り) 以上 []
>>870 補足 > ３．かつ、下記IUT IV ”hence to new Galois or etale fundamental groups, which may only be constructed if one allows oneself to consider new basepoints, relative to new universes. ” > が、用語”universe”を正当化する根拠と思うけど、”universe”の世間一般の定義は結構歴史的変遷があったみたいで、望月”universe”が世間一般と合っているのかな？ > ちょっと疑問です。”new basepoints”とかが、正当化の理由みたいだが、この程度なら集合内では？という気がする
個人的には、下記 Fesenko先生の”On asymptotic equivalence of classes of elliptic curves over Q” に注目しているんだ つまり、望月IUT は、Q上の楕円曲線で、漸近的等価なクラスを作って、楕円曲線の高さ不等式を導いた で、”クラス”となっているけど、望月IUTでは「宇宙」で、実は真のクラスではなく「集合論内」で収まっていたってことじゃね？ というのは、Q上の楕円曲線の漸近的等価な何かを圏論で構築して、それから楕円曲線の高さの近似式（不等式）を出すならば それって、「集合論内」で出来るんじゃね？ という気がするのです（望月論文では、集合論の内か外かは、厳密な議論ないけど）
(参考) https://ivanfesenko.org/?page_id=126 [R4] On asymptotic equivalence of classes of elliptic curves over Q , November 2020 （google訳 Q上の楕円曲線のクラスの漸近的等価性について） https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/asym2-1.pdf ABSTRACT. This short paper asks a question about a new asymptotic symmetry of the moduli space of Frey? Hellegouarch elliptic curves over rational numbers. If the answer to the question is positive then this allows to deduce an effective (1+ε) abc-inequality from effective abc-inequalities established in [3].
P2 The positive answer to the Question signifies a new asymptotic symmetry of the moduli space of elliptic curves over Q all of whose 2-torsion points are Q-rational. 2. A recent paper [3] slightly extends the IUT theory of S. Mochizuki [2] and establishes two effective abc inequalities. (引用終り) 以上
