- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/14(火) 17:54:51.56 ID:43AlEc54.net]
- (1)
a = ( (√65 +8)^{1/3} - (√65 -8)^{1/3} )/2
= 1.0633846659052
4a^3 + 3a - 8 = 0,
(2)
a = m/n (m,n は互いに素な自然数)
と仮定すれば上式は
4m^3 + 3mn^2 - 8n^3 = 0,
・m, nの一方が奇素数pの倍数ならば、上式により他方もpの倍数となる。
これは m,n が互いに素であることに矛盾する。
よって m, nの一方は1, 他方は2のベキ乗である。
・m=1, n=2^e のとき
2^2 + 3･2^{2e} - 2^{3e+3} < 0,
・m=2^e (e≧1), n=1 のとき
2^{3e+2} + 3･2^e - 8 > 0,
∴ m, nが互いに素な自然数のとき
4m^3 + 3mn^2 - 8n^3 ≠ 0,
∴ aは有理数でない。 (終)
