- 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/07(火) 21:20:25.10 ID:Jg1tJmCq.net]
- >>3
(1) 与式から
x-y = -2y(z-x),
y-z = -2z(x-y),
z-x = -2x(y-z),
辺々掛けて (x-y)(y-z)(z-x)≠0 で割る。
1 = -8xyz,
与式の積より
k^3 = xyz(1-2x)(1-2y)(1-2z)
= xyz{1 -2x(1-2y) -2y(1-2z) -2z(1-2x) -8xyz}
= xyz(1-6k-8xyz)
= (-1/8)(2-6k),
∴ (k+1)(2k-1)^2 = 0,
k = -1, 1/2
しかし k=-1 のときは
(x, y, z) = (-1/2, -1/2, -1/2) または (1, 1, 1) … 不適
∴ k = 1/2.
(2)
(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) = 0,
(x+y+z) - 2(xy+yz+zx) = 3k = 3/2, (← 与式の和)
より
x+y+z = 3/4,
xy+yz+zx = -3/8,
xyz = -1/8.
∴ (x, y, z) = (1, 1/4, -1/2) (1/4, -1/2, 1) (-1/2, 1, 1/4)
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