分からない問題はここに書いてね 468

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/17(木) 20:18:50.48 ID:lnjH0V31.net] さあ、今日も１日がんばろう★☆ 前スレ 分からない問題はここに書いてね 467 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1619884204/ (使用済です: 478) 数学@5ch掲示板用 ☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例 mathmathmath.dotera.net/ ☆激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題 web.archive.org/web/20181107033930/ www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.htm 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 05:07:30.36 ID:LHMg2z8J.net] >>130 １億個（1e8=10^8の意味）にしたらさらにπに近づいた。 > mean(runif(1e8,-1,1)^2+runif(1e8,-1,1)^2<1)*4 [1] 3.141565 > 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 05:39:33.63 ID:gJdwCB0V.net] >>96 　T を □ACBE とする。 　A(t,0)　C(t-1,2)　B(t+1,3)　E(t+2,1) 　辺の長さ √5, 　AC　　y = -2(x-t), 　BE　　y = -2(x-t) + 5, 　AE　　y = (x-t)/2, 　BC　　y = (x-t+5)/2, -1/2 < t < 1-√2　のとき 　y=x^2 とTの交点は6つあるが、両端のものは 　x_1 = {1 - √(41-8t)}/4, 　x_2 = √{2(3+t)} - 1, S_1 = ∫[t-1, x_1] (5/2)(x_1-t+1)dx = (5/4)(x_1-t+1)^2, S_2 = ∫[x_1,a] (xx+2(x-t))dx + ∫[b,t] (xx+2(x-t))dx 　　= ∫[x_1,t] (xx+2(x-t))dx - ∫[a,b] (x-a)(x-b)dx 　　= (1/3)(t^3 - x_1^3) - (t-x_1)^2 + (4/3)(1+2t)^{3/2}, ただし　xx + 2(x-t) = (x-a)(x-b) とした。b-a=2√(1+2t), S_3 = ∫[t,c] (xx-(x-t)/2)dx + ∫[d,x_2] (xx-(x-t)/2)dx 　　= ∫[t,x_2] (xx-(x-t)/2)dx - ∫[c,d] (x-c)(x-d)dx 　　= (1/3)(x_2^3 - t^3) - (1/4)(x_2-t)^2 + (1/48)(1-8t)^{3/2}, ただし　xx - (x-t)/2 = (x-c)(x-d) とした。d-c=(1/2)√(1-8t) S_4 = ∫[x_2,t+2] (5/2)(t+2-x)dx = (5/4)(t+2-x_2)^2, S_1 + S_2 = (1/3)t^3 + (1/4)t^2 - (21/8)t + (181/96) - (1/96)(41-8t)^{3/2} + (4/3)(1+2t)^{3/2} S_3 + S_4 = -(1/3)t^3 + t^2 + 7t + (32/3) - (4/3)(√2)(3+t)^{3/2} + (1/48)(1-8t)^{3/2} S(t) = 5 - (S_1 + S_2 + S_3 + S_4) 　= - (5/4)t^2 - (35/8)t - (725/96) + (1/96)(41-8t)^{3/2} - (4/3)(1+2t)^{3/2} + (4/3)(√2)(3+t)^{3/2} - (1/48)(1-8t)^{3/2} 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 05:47:38.48 ID:gJdwCB0V.net] (続き) S(t) = - (5/4)t^2 - (35/8)t - (725/96) + (1/96)(41-8t)^{3/2} - (4/3)(1+2t)^{3/2} + (4/3)(√2)(3+t)^{3/2} - (1/48)(1-8t)^{3/2}, S '(t) = 0　を解くと 　t。= - 0.468441224569533013139772174145073057253 のとき最大で 　S(t。) = 4.6995856481086073734128483180743134 　x_1 = -1.42233986 　x_2 = 1.25013723 　b-a = 0.5024642 　d-c = 1.0894413 　S_1 = 0.00265667 　S_2 = 0.0361110 　S_ 155 名前：3 = 0.1626490 　S_4 = 0.0989976 [] [ここ壊れてます] 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 06:25:10.06 ID:gJdwCB0V.net] >>144 ・二人とも当日が休校になったことを知らなかった、もある。。。 　当日の早朝に休校が決まったため、連絡が遅れた。 「2人がまだすれ違っていなくて、」とあるから、 登校中のAさんと下校中のBさんは途中ですれ違った。 AさんとBさんは日ごろ仲が悪かったので… 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 08:31:36.46 ID:gYNitXjf.net] >>148 ずれてますよ πと3.141565は違いますよね 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 13:30:58.21 ID:i3t0Zjo9.net] >>148 おじいちゃん、昼食はさっき食べたじゃないですか さ、お部屋に戻りましょうね 159 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 13:50:36.77 ID:jdR8Y0AX.net] 　　 　　高校数学に範囲内で、「証明手法が驚異的に美しくほとんどの人がお手上げ」みたいな問題ありますか 　　 　　 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 14:21:58.88 ID:5yaPkhIJ.net] 範囲外で君の主観の例を出したまえ 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 15:02:57.25 ID:JZzbmm8Y.net] アフィン超平面は超平面の並行移動 (H=H0+x)で示されることを厳密に証明せよ 直感では明らかなんですけど、厳密にってどうやるんでしょうか… 162 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 16:14:02.22 ID:qR29a8XD.net] φ は、ベクトル空間の公理のうち、1つを除いてすべて満たす。その1つはどの公理か？ という問題が線形代数の教科書に書いてあります。 (1)がその公理だとは思います。 (2)はvacuously trueということだと思います。 (2)の公理では、その記述に存在しない 0 が使われています。 (2)が真か偽か問う際に、そのことはどう考えればいいのでしょうか？ (1) 任意の v ∈ φ に対して、 v + 0 = v を満たすような 0 ∈ V が存在する。 (2) 任意の v ∈ φ に対して、 v + w = 0 を満たすような w ∈ V が存在する。 163 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 16:16:10.03 ID:qR29a8XD.net] 訂正します： φ は、ベクトル空間の公理のうち、1つを除いてすべて満たす。その1つはどの公理か？ という問題が線形代数の教科書に書いてあります。 (1)がその公理だとは思います。 (2)はvacuously trueということだと思います。 (2)の公理では、その記述に存在しない 0 が使われています。 (2)が真か偽か問う際に、そのことはどう考えればいいのでしょうか？ (1) 任意の v ∈ φ に対して、 v + 0 = v を満たすような 0 ∈ φ が存在する。 (2) 任意の v ∈ φ に対して、 v + w = 0 を満たすような w ∈ φ が存在する。 164 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 16:20:02.70 ID:qR29a8XD.net] 訂正します： φ は、ベクトル空間の公理のうち、1つを除いてすべて満たす。その1つはどの公理か？ という問題が線形代数の教科書に書いてあります。 (1)がその公理だとは思います。 (2)はvacuously trueということだと思います。 (2)の公理では、その記述に存在しない 0 が使われています。 (2)が真か偽か問う際に、そのことはどう考えればいいのでしょうか？ (1) ∃0 ∈ φ∀v ∈ φ, v + 0 = v (2) ∀v ∈ φ ∃w ∈ φ, v + w = 0 165 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 16:23:44.33 ID:qR29a8XD.net] (2) ∀v ∈ φ ∃w ∈ φ, v + w = 0 は、 (2') ∃u ∈ φ∀v ∈ φ, v + u = v この u を 0 と書くと、 ∀v ∈ φ ∃w ∈ φ, v + w = 0 が成り立つ。 ということを言っていると考えると、「∃u ∈ φ∀v ∈ φ, v + u = v」は成り立たないので、(2')も成り立たないと考えられるのではないでしょうか？ 166 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 16:25:42.84 ID:qR29a8XD.net] つまり、 (2)は(1)が成りたつことを前提としているのではないでしょうか？ そして(1)は成り立たないため、(2)も成り立たないということになりませんか？ 167 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 16:34:07.06 ID:qR29a8XD.net] それとも、(2)は 「∃0 ∈ φ∀v ∈ φ, v + 0 = v」 ⇒ 「∀v ∈ φ ∃w ∈ φ, v + w = 0」 が成り立つということを言っているのでしょうか？ だとすると「∃0 ∈ φ∀v ∈ φ, v + 0 = v」は成り立たないので、(2)は真ということになります。 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 17:19:39.61 ID:gBB2XSmb.net] まだこんなレベルの言葉やっとるん？ 恥ずかしないん？ 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 17:50:25.04 ID:5yaPkhIJ.net] 自慢のつもりだろ 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 17:51:13.37 ID:JZzbmm8Y.net] アフィン超平面は超平面の並行移動 (H=H0+x)で示されることを厳密に証明せよ 直感では明らかなんですけど、厳密にってどうやるんでしょうか… 謎の連投で埋もれたので 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 21:01:47.12 ID:gBB2XSmb.net] >>165 あなたのaffine部分空間の定義をどう定義するかで答えは違ってくる まずそれを明示しないと答えようがない 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 21:15:29.95 ID:gJdwCB0V.net] >>150 S '(t) = - (5/2)t - (35/8) - (1/8)√(41-8t) - 4√(1+2t) + 2√(2(3+t)) + (1/4)√(1-8t), t。は代数的数 (代数方程式の解) だが、4次より高次で、代数的には解けない....orz 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 21:38:30.57 ID:GVM+5PNp.net] 放物線C:y=x^2上に2定点A(1,1),B(b,b^2)をとる。ただしb<1とする。 b<p<1の範囲を変化する実数pに対し、C上の点P(p,p^2)を考える。 （1）∠APBが最小となるpをbで表せ。 （2）pは（1）の値とする。点PにおけるCの接線は、直線ABと平行であるか。結論と理由を述べよ。 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 22:15:48.90 ID:gBB2XSmb.net] pの変域に縛りがなければp=(a+b)/2の時最小であるが、コレが0未満の時もありうるので常には成立しない 175 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 22:41:34.89 ID:qR29a8XD.net] V を R または C 上のベクトル空間とする。 V の R, S, T を V の部分空間とする。 以下が成り立つことを証明せよ。 R ∪ S ∪ T が V の部分空間であるための必要十分条件は、 R, S, T の中の1つが他の2つを含むことである. 176 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 22:42:04.36 ID:qR29a8XD.net] 訂正します： V を R または C 上のベクトル空間とする。 R, S, T を V の部分空間とする。 以下が成り立つことを証明せよ。 R ∪ S ∪ T が V の部分空間であるための必要十分条件は、 R, S, T の中の1つが他の2つを含むことである。 177 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 23:15:27.02 ID:IozuyU1H.net] y=x^xを積分するとどうなりますか 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 23:16:03.81 ID:++mSptP5.net] >>172 疲れます 179 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 23:23:06.66 ID:IozuyU1H.net] y=x^xの曲線において ｙ＝1のとき、ｘ＝1 ｙ＝4のとき、ｘ＝2 ｙ＝27のとき、ｘ＝3 とまあ、一見スムーズに出せそうに見えますが では、 ｙ＝10のとき、ｘはいくつになりますか ｙ＝50のとき、ｘはいくつになりますか ｙ＝100のとき、ｘはいくつになりますか ｘをｙの関数で表すと、どうなりますか 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 23:34:11.43 ID:gBB2XSmb.net] log x = t, log y = uとおいて u = t exp t だから t = W(u) = W( log y ) ∴ x = e^( W( log y ) ) 181 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 23:35:35.16 ID:zFTNAeQ/.net] それ反則 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 23:40:49.01 ID:gJdwCB0V.net] x^x = y, x*log(x) = log(y), log(x) = W( log(y) ), x = exp( W( log(y) ) ), です。 y=10 のとき、x= 2.5061841455887692562929409223778472717713960521332128301431646463 y=50 のとき、x= 3.2872621953555806526092999797828460064505540154728215252320999933 y=100 のとき、x= 3.5972850235404175054976522517822860691355430548865767837202521279 とスムーズに出せます。 183 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 23:42:22.77 ID:IozuyU1H.net] y=x sin(x), y=x ln(x) などにおいても>>174と同様な疑問が湧いてきますが ｘをｙの関数で表すと、どうなりますか 184 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 23:46:24.18 ID:IozuyU1H.net] >>177 了解しました。ありがとうございます。 >>178の質問は取り消します。 それを応用すればいいね。 185 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/21(月) 23:50:15.30 ID:zFTNAeQ/.net] Wのようなインチキ関数じゃなく、初等関数で表して欲しい 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/21(月) 23:55:52.55 ID:gJdwCB0V.net] >>172 ∫[0,1] x^x dx = −Σ[k=1,∞] (-1/k)^k = 0.7834305107... ついでに云うと、 ∫[0,1] 1/(x^x) dx = Σ[k=1,∞] (1/k)^k = 1.291285997...　　（ベルヌーイ?) 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 00:16:01.04 ID:wuaJB1iW.net] >>180 　x = 2/5 のとき　x^x = log(2)　だよ。。。 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 00:17:34.61 ID:gQtAKxWb.net] >>180 W「やんのかコラ」 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 01:28:35.58 ID:wuaJB1iW.net] >>180 　x = 1/e のときも　x^x = log(2)　だな。。。 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 01:46:12.84 ID:jaSBGYXF.net] >>180 頑張れば初等関数になるもんじゃない √2を有理数で表して欲しい、と言ってるのと同レベル 191 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/22(火) 01:47:29.30 ID:DWTlzCIo.net] 　下記の文章は正しいかどうか検討せよ。 　ワイエルシュトラスが完成させたεδ論法は一見してまやかしのようにみえるが、その成果に見えている華麗さなどからその論法の真理性が 確保されており驚異的な理論と思う。 　　　例えば、数列an bnがそれぞれ　　α、βの有限確定値に収束するとき、anbnはαβに収束することをεδ論法でいうときに、華麗な式変形 によりこれが言えるとされているのが凄い。 　　　　　式変形は 　　　　　　｜an-α｜＜ε１　　　｜bn-β｜＜ε２　　のとき 　　　　　　｜anbn-αβ｜≦｜（an-α）（bn+β）＋α（bn-β）-β（an-α）｜≦ε１ε２＋βε１＋αε２ 　　　とできるから、任意の実数ε１ε２に対して、δ＝ε１ε２＋βε１＋αε２ととればよい。したがって、証明された。 　　　　　　この積の収束法則が華麗にいえることからεδ論法は神であり正しい。 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 07:51:00.24 ID:aT+HIzsB.net] >>166 アフィン部分空間について何もやっていないので関係ないと思いますが どう定義するとどう変わるのですか？ そもそも定義に幅もないでしょう pが0でないとか細かい条件は抜きに p・(x-x※)=0を満たすx全体がアフィン超平面 p・x=0を満たすx全体が超平面 これだけです 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 09:17:26.20 ID:8mKs/joT.net] >>44 (1) aの範囲：-(t+q)≦a≦-(s+p) bの範囲：aの値により下限と上限を与える式が変わる a<-(s+q)の時 b≧-aq-q^2 a=-(s+q)の時 b≧sq a>-(s+q)の時 b≧-as-s^2 a<-(t+p)の時 b≦-at-t^2 a=-(t+p)の時 b≦tp a>-(t+p)の時 b≦-ap-p^2 (2) x^2+ax+b=(x+a/2)^2-(a/2)^2+bより、Cの頂点は(-a/2,-(a/2)^2+b)。 さらに-(a/2)^2+bが最小になるのは2実根の差が最大になる時つまり2実根がx=sとx=qの時。 軸x=-a/2はそれらの中央なので -a/2=(s+q)/2 a=-(s+q) この時b=sqなのでその時の-(a/2)^2+bは -(-(s+q)/2)^2+sq =-(s^2+2sq+q^2)/4+4sq/4 =-(s^2-2sq+q^2)/4 =-((s-q)^2)/4 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 12:10:49.88 ID:wR6iell2.net] pを実数とし、放物線C:y=x^2+1上を点P(p,p^2)が動く。PにおけるCの接線をl_Pとし、l_Pとx軸との交点をQとする。 （1）PQが最小となるpの値を求めよ。 （2）Oを座標平面の原点とするとき、PQ/OPの最小値を求めよ。 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 16:36:06.13 ID:rTkbIxKa.net] 尿瓶プロおじまだ生きてたの？ 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 17:52:18.57 ID:gQtAKxWb.net] >>187 そら変わるよ ヒルベルトの幾何原論でやってるみたいな形で定義する場合と鼻からR^nと同相からスタートする場合と 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 20:18:40.85 ID:aT+HIzsB.net] >>191 両方についておねがいします　意味がわからないので 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 22:00:38.89 ID:af3qlxKS.net] >>192 めんどい 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 22:09:31.50 ID:CeWrG5ZH.net] この(2)からわからないです (�@) u(x,t)exp(-ikx)をxで２階偏微分して2.1をつかえば行けるかなと思ったんだけど〜わからん https://i.imgur.com/Ew16RF8.jpg 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 23:19:29.57 ID:mTRdr8u4.net] 問題と言えるのか分かりませんが… 身長や試験の点数など、数字で回答する調査において調査人数・中央値・平均値・標準偏差の4つの値が公開されているとき、任意の一定以上の数値の人が調査人数の何パーセントを占めるかはこの4つの条件から求められますか？ 求められるとしたらどうやって導くのか教えていただきたいです 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/22(火) 23:55:51.89 ID:5SWT61if.net] >>195 求められないと思う 例えば人数が5、値が小さい順に-b、-a、0、a、bだった場合、 人数5、中央値0、平均値0は固定 しかし、aとbは標準偏差が同じになる場合が何通りもあるから、任意の値、例えば2以上の数値の人数は0人だったり1人だったり2人だったりすることがあり得るんじゃないかな 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/23(水) 10:42:37.46 ID:WaiE7hFs.net] >>167 　{25(7+4t)^2, 41-8t, 1024(1+2t), 512(3+t), 4(1-8t)} の基本対称式は 　S = 10(40t^2 + 392t + 383), 　T = 1008000t^3 + 5516432t^2 + 10415472t + 4879353, 　U = 20(18928640t^4 +137815296t^3 +344316560t^2 +348626888t+106963901), 　V = -2048(8064000t^5 +48092928t^4 +75547376t^3 -18351128t^2 -107277821t -42713077), 　W = 128(640^2)(7+4t)^2･(41-8t)(1+2t)(3+t)(1-8t), よって 　SS-4T = 128(1250t^4 -7000t^3 -28401t^2 -90896t -37879), 　(SS-4T)^2 - 64V = (640^2)(62500t^8 - 700000t^7 - 880100t^6 + 9395440t^5 + 94768269t^4 + 251910384t^3 + 410675070t^2 + 241115064t + 43724561), 　S^3 - 4ST + 8U = 800(80000t^6 +336000t^5 -1656336t^4 -356992t^3 -7975048t^2 -9733400t -1819471), これより t。を解とする16次方程式 　((SS-4T)^2 - 64V)^2 - 2048(S^3 -4ST+8U)W = 0, が出る・・・ 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/23(水) 10:52:05.18 ID:WaiE7hFs.net] ↑ 　[面白スレ３５．996]　[面白スレ３６．040]　の方法を使いますた。 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/23(水) 14:28:55.92 ID:WaiE7hFs.net] 　t = t。= - 0.468441224569533013139772174145073057253 のときの値 ・基本対称式 　S = 2081.48527203791205244872258684386811836 　T = 1107211.05932605392314799726154835236322 　U = 119070175.13008842735381210842946947279 　V = 4338709009.6970154306738714657609188100 　W = 46767254643.256947932020614690761307878 　SS - 4T = -96263.299593474950983936523014029856833264 　(SS-4T)^2 - 64V = -268410753771.9858728997612049394730706675 　S^3 - 4ST + 8U = 752190760.69911618179343616818505277511 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/23(水) 14:39:48.73 ID:WaiE7hFs.net] ↑ たしかに面倒くさい。。。>>96 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/23(水) 16:45:03.98 ID:fjL2pnvm.net] >>171 R, S, T の中の1つが他の2つを含めばVの部分空間になることは明らか。 R∪S∪T が V の部分空間ならばR, S, T の中の1つが他の2つを含むことを示す。 まずR, S, T の中の1つが他の2つの和集合に含まれるケースを考える。 R⊆S∪Tとして一般性を失わない。 S⊆TならTがRとSを両方を含む。 S/⊆T（/は⊆の否定）とし、x∈S,x/∈T,y∈Tをとる。 R∪S∪T = S∪T が部分ベクトル空間なのでx+y∈S∪T x+y∈Tとするとx∈Tとなり矛盾。よってx+y∈S　よってy∈S ゆえにT⊆S 次にR, S, T のどれも他の2つの和集合に含まれないケースを考える。 x∈R, x/∈S∪T, y∈S, y/∈R∪Tがとれる。 R∪S∪Tが部分ベクトル空間なのでx+y∈R∪S∪T x+y∈R ⇒ y∈Rとなり矛盾。x+y∈S ⇒ x∈Sとなり矛盾。 よってx+y∈T またx-y∈R∪S∪T x-y∈R ⇒ y∈Rとなり矛盾。x-y∈S ⇒ x∈Sとなり矛盾。 よってx-y∈T しかしx+y+(x-y)=2x∈T ⇒ x∈Tとなり矛盾。 よってR, S, T のどれも他の2つの和集合に含まれないケースは起こらない。 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/23(水) 17:32:43.74 ID:eyBL33w9.net] >>189 どなたかお願いします 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/23(水) 17:56:37.38 ID:Ee6WngPG.net] n≧1、SとDはユークリッド空間の部分空間 S⊂ℝ^(n+1)、D⊂ℝ^n、f：D→ℝ^(n+1) ∀x∈Dに対してf(x)∈Sを示せ x∈Dでf(x)を作ってこのf(x)がどうなれば示せたことになるんだ？ D、S、f(x)の定義は省略してる 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/23(水) 19:33:04.91 ID:EcY5Rq3P.net] そりゃf(x)∈Sになれば示せたことになるでしょ 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/24(木) 00:09:32.33 ID:Rtx2FFc6.net] >>171 一般化して証明できる。先ず2個の場合を証明する。 補題： R, SをVの部分空間とする。R∪SがVの部分空間 ⇔ R⊆SまたはR⊇S。 証明： (⇐) は自明。たとえばR⊆SならばR∪S=SはVの部分空間である。R⊇Sの場合も同様。 (⇒)の証明: R∪SがVの部分空間と仮定する。 R,Sからそれぞれ任意の元r,sをとる。 r,s∈R∪Sだからr+s∈R∪S (R∪Sが部分空間と仮定したから) すると i) r+s∈Rまたは ii) r+s∈S i)のときはs=r+s-r∈R (部分空間の定義をみたすから) すなわちS⊆R ii)のときは同様にS⊇R これで(⇒)も示せた。■ 任意個の場合 以下、Vの部分空間全部の集合をQとおく。 任意の正整数mに対してW_m∈Qとする。 nに関する次の命題P(n)が任意の正整数nに対して成り立つことを証明する。（i,jは正整数を表す） P(n): W_1∪…∪W_n∈Q ⇔ ∃i∀j[1≦i≦nかつ1≦j≦n ⇒ W_i⊇W_j] 証明: (⇐)は自明。実際、任意の正整数nに対して ∃i∀j[1≦i≦nかつ1≦j≦n ⇒ W_i⊇W_j]が成り立つならW_1∪…∪W_n=W_i∈Qだから。 (⇒)の証明: kを正整数としてW_1∪…∪W_{k+1}∈Qを仮定する。 P(k)を仮定すると W_1∪…∪W_k∈Q ⇒ ∃i∀j[1≦i≦kかつ1≦j≦k ⇒ W_i⊇W_j] これよりW_1∪…∪W_k=W_i(iの範囲: 1≦i≦kに注意) するとW_1∪…∪W_{k+1}=W_i∪W_{k+1}∈Q ここで補題(の(⇒))よりW_i∪W_{k+1}∈Qならば W_i⊆W_{k+1}またはW_i⊇W_{k+1} いずれの場合も∃i∀j[1≦i≦k+1かつ1≦j≦k+1 ⇒ W_i⊇W_j]が成り立つ。 帰納法により任意の正整数nに対して(⇒)が成り立つ。 以上より任意の正整数nに対してP(n)が成り立つ。■ 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/24(木) 00:16:50.04 ID:Rtx2FFc6.net] いずれの場合も∃i∀j[1≦i≦k+1かつ1≦j≦k+1 ⇒ W_i⊇W_j]が成り立つ。 P(k+1)が成り立つということな 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/24(木) 05:07:02.59 ID:Cvncx3sw.net] >>205 任意個の場合の証明間違ってる 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/24(木) 06:31:52.73 ID:8dmvq8o7.net] >>189 　放物線C：y=x^2+1上を点P (p,p^2) が動く。 ダウト 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/24(木) 08:24:47.10 ID:v7cpw9EE.net] >>193 出来ないんですね 定義がーとかいって煙に巻こうとするのやめましょうね 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/24(木) 09:45:29.50 ID:IRszeAWH.net] >>209 できなかった 残念 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/24(木) 13:13:31.17 ID:jSAtIQyz.net] R,rはR>r>0の実数とする。 半径Rの円Cの内部に半径rの円Dが内接しており、DはC上を滑ることなく反時計回りに転がる。 このとき、以下の性質を持つD上の定点Pが存在するための条件をRとrで表せ。 （性質） DがC上を転がるとき、Pが描く軌跡は線分となる。 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/24(木) 14:57:58.34 ID:lSFSs6xt.net] 1+1= 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/25(金) 05:11:29.71 ID:4/YFPn9J.net] Dの自転角は公転角の(1-R/r)倍。 これが -1 倍になるのは R=2r のとき。 D上の定点PはCの直径上を往復する。 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/25(金) 17:40:38.33 ID:9Xel4zP1.net] 一番上の図の二つの角度αが等しくなる理由がわからない。。 https://en.wikipedia.org/wiki/Radical_axis#/media/File:Two_circles_antihomothetic_points.svg 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/25(金) 17:48:59.06 ID:UXMUXJDm.net] わからないんですね 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/25(金) 18:02:03.05 ID:9Xel4zP1.net] 上図はたぶん間違いだと思う。この図で簡単に証明できる https://en.wikipedia.org/wiki/Homothetic_center#/media/File:Two_circles_anti-homologous_points_radical_axis.svg 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/25(金) 19:31:48.39 ID:jhtphh56.net] 放物線C:y=x^2の焦点をFとする。 （1）C上を点P(p,p^2)が動くとき、FPが最小となるpをすべて求めよ。 （2）放物線D:y=-x^2-4の焦点をF'とする。C上を点Q(q,q^2)が、D上を点R(q+1,(q+1)^2)が動くとき、折れ線FQRF'の長さを最小にするqをすべて求めよ。 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/26(土) 12:15:07.18 ID:BRN9Xlq7.net] -4 gone 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/26(土) 13:58:01.63 ID:cmVPiJMz.net] 放物線C:y=x^2の焦点をFとする。 （1）C上を点P(p,p^2)が動くとき、FPが最小となるpをすべて求めよ。 （2）放物線D:y=-x^2-4の焦点をF'とする。C上を点Q(q,q^2)が、D上を点R(q+1,-(q+1)^2-4)が動くとき、折れ線FQRF'の長さを最小にするqをすべて求めよ。 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/26(土) 14:01:35.51 ID:6cNbmOm/.net] n^2+p,(n+1)^2+p,(n+2)^2+p, がすべて5の倍数になるような正整数の組(n,p)が存在するならば、1組求めよ。 226 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/26(土) 18:42:57.04 ID:pkyPhk2y.net] 白紙、何もしないが正解 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/26(土) 19:11:41.54 ID:5jKAap3l.net] ただ5の倍数とわかる部分を=5kとおいていくだけで解決するな 228 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/26(土) 21:13:56.92 ID:T78Hh2v6.net] P ⇒ Q を示すのに、 ¬Q ⇒ ¬P を示すことによって示すことがあります。これは背理法と同じですか？ 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/26(土) 22:41:41.92 ID:FOYkOaq1.net] 違う 背理法は「 P ∧ ¬Q ⇒ 矛盾」を示す 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 00:10:11.52 ID:FH2u9gr8.net] ¬Q ⇒ ¬P が示されたとすると、 P ∧ ¬Q ⇒ P ∧ ¬P = 矛盾となりますし、 P ∧ ¬Q ⇒ 矛盾が示されたとすると、¬Q ⇒ ¬P となるので同じことではないですか？ 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 00:48:58.03 ID:movehHSD.net] >>220 　(n^2 + p) - 2{(n+1)^2 + p} + {(n+2)^2 + p} = 2, が5の倍数… 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 01:27:45.76 ID:AJ+76age.net] >>225 矛盾はどこで生起してもいい。 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 01:57:30.42 ID:StpFy5Wj.net] >>225 証明できればどの方法も同じと思ってんの？ 全部「証明する方法」と言う一つの方法なら名付ける必要はないな 234 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/27(日) 02:40:20.05 ID:pOvyxu89.net] きついね 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 04:15:29.93 ID:DIGeOu+7.net] 放物線C:y=x^2上の-1≦x≦1の部分を点Aが、1≦x≦2の部分を点Bが、それぞれ独立に動く。 線分ABの3等分点をAに近い方からP,Qとする。Pが存在しうる領域をD、Qが存在しうる領域をEとするとき、領域D∩E上の点のx座標の最大値および最小値を求めよ。 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 05:34:36.86 ID:TcPA+MyS.net] 放物線C:y=x^2上に点A(-1,1)をとる。 実数p>-1に対してP(p,p^2)とするとき、線分長APをf(p)と定義する。 f(p)が極値を持つか調べ、極値を取る場合は対応するpをすべて求めよ。 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 08:56:50.74 ID:GwWRsDy8.net] n×n整数行列のなす環Mn(Z)の外部自己同型(可逆行列Aを用いてX→AXA^-1と書けないもの)は存在しますか？ あるとすれば、どんなものがあるんでしょうか 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 09:04:45.24 ID:GVwLNolM.net] >>231 {f(p)}^2=g(p)とおく。 g(p)=(p+1)^2+(p^2-1)^2 =p^4-p^2+2p+2 g'(p)=4p^3-2p+2 g'(p)=0⇔2p^3-p+1=0 ⇔(p+1)(p^2-p+1)=0 p^2-p+1>0より、p>-1でg'(p)>0 よってg(p)は極値をもたないから、f(p)は極値をもたない。 【改題】 C:y=x^2上に定点A(a,a^2)をとる。ただしa<0とする。 Cのa<xの部分を動く点P(p,p^2)に対して、f(p)=APと定める。f(p)が極値を持つようなaの範囲を求めよ。 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 09:52:11.73 ID:Iunoszis.net] >>233 {f(p)}^2=g(p)とおく。 g(p)=(p-a)^2+(p^2-a^2)^2 =p^4+(1-2a^2)p^2+2ap+a^4+a^2 g'(p)=4p^3+2(1-2a^2)p+2a g'(p)=0⇔2p^3+(1-2a^2)p+a=0 ⇔(p+a)(2p^2-2ap+1)=0 よって「p=-a,p={(a±√(a^2-2))/2}」…(*) a={(a±√(a^2-2))/2}を解くと、 a=±√(a^2-2) a^2=a^2-2 となって解をもたない。 したがって(*)は少なくとも2つの解を持つ。 (i)(*)がちょうど2つの解を持つとき a=±√2で、 (A)a=√2のとき p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=-√2のときのみ起こる。 (B)a=-√2のとき p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=1/√2のときのみ起こる。 p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=-√2のときのみ起こる。 (ii)(*)がちょうど3つの解を持つとき a<-√2または√2<aであり、このときg'(p)の符号変化はちょうど3回起こる。 以上より、極値をもつのは a≦-√2または√2≦aのとき である。 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 12:19:25.57 ID:Qbo2UVI8.net] xy平面上の放物線C:y=x^2と、放物線D:x=y^2+cが相異なる4点で交わるとき、その交点をx座標の小さい順にP,Q,R,Sと表す。 CとDが相異なる4点で交わるように実数cが動くとき、比PR/QSの取りうる値の範囲を求めよ。 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 12:31:58.14 ID:Iunoszis.net] >>235 問題として成立していないので改題 xy平面上の放物線C:y=x^2と、放物線D:x=(y-c)^2+c^2が相異なる4点で交わるとき、その交点をx座標の小さい順にP,Q,R,Sと表す。 CとDが相異なる4点で交わるように実数cが動くとき、比PR/QSの取りうる値の範囲を求めよ。 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 13:12:42.00 ID:/wnXhY58.net] >>236 x=(y-c)^2-c^2としないと問題として成立しない。 x=(x^2-c)^2-c^2 x(x^3-2cx-1)=0 この方程式の実数解の個数を考える。 x≠0のとき、x^3-2cx-1=0⇔c=(x^3-1)/2x y=cとy=(x^3-1)/2xはc>3/{2^(5/3)}のとき相異なる3点で交わる。 したがってこのとき、x=0も含め相異なる4点で交わる。 各交点の座標など出したくもない 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 14:04:02.89 ID:movehHSD.net] >>230 D: 　y ≦ 2 +4x +3xx　　　　(-1/3≦x≦0) 　y ≦ (4 -4x +3xx)/2　　　(0≦x≦4/3) 　y ≧ (1 -2x +3xx)/2　　　(-1/3≦x≦1) 　y ≧ 2 -4x +3xx　　　　(1≦x≦4/3) E: 　(1 -2x +3xx)/2 ≦ y ≦ (3 +2x +3xx)/4,　　(1/3≦x≦1) 　y ≦ 2(6 -8x +3xx)　　　　(1≦x≦9/7) 　y ≦ (3 -2x +3xx)/4　　　(9/7≦x≦5/3) 　(複雑なので後略) 　A(-1/3,1/9)　B(5/3, 25/9)　のとき　P(1/3,1) 　A(-1,1)　B(1,1) のとき　Q(1/3,1) 　A(1,1)　B(4-√6, 22-8√6)　のとき　P(2-√(2/3), 8{1-√(2/3)}) 　A(√(2/3), 2/3)　B(3-2√(2/3), 35/3 -4√6)　のとき　Q(2-√(2/3), 8{1-√(2/3)}) ∴　(1/3,1) と (2-√(2/3), 8{1-√(2/3)}) は D∩E に含まれる。 　　1/3 ≦ x ≦ 2 - √(2/3) = 1.18350342 244 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/27(日) 19:11:56.57 ID:FH2u9gr8.net] V を F 上の {0} でない有限次元ベクトル空間とする。 W を F 上の無限次元ベクトル空間とする。 L(V, W) は F 上の無限次元ベクトル空間であることを証明せよ。 以下の解答は合っていますか？ L(V, W) が F 上の有限次元ベクトル空間であったとする。 v_1, …, v_n を V の基底とする。 φ_1, …, φ_m を L(V, W) の基底とする。 W は無限次元だから、 φ_1(v_1), …, φ_m(v_1) は W を生成しない。 ゆえに、 w ∈ Span(φ_1(v_1), …, φ_m(v_1)) とはならない W の元 w が存在する。 φ(v_1) = w となるような L(V, W) の元 φ が存在する。 φ = a_1*φ_1 + … + a_m*φ_m とかける。 w = φ(v_1) = a_1*φ_1(v_1) + … + a_m*φ_m(v_1) であるが、これは矛盾である。 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 19:44:22.19 ID:StpFy5Wj.net] 直接構成すりゃ良いのに そんな回り道する意味がわからん 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 20:28:15.43 ID:FH2u9gr8.net] >>240 どういうことですか？ 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/27(日) 23:07:22.07 ID:StpFy5Wj.net] V の基底 v_1, …, v_n を固定して φ(v_1), …, φ(v_n) ∈ W を指定すれば φ ∈ L(V, W) が決まるんだから L(V, W) ≅ W^n が分かるだろ 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/28(月) 00:21:38.74 ID:vrmCjQFg.net] #L（V,w）≦#W^n　はわかったけど、そこから　dim(L,W)=∞　が出る過程をもう少し詳しく。 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/28(月) 00:27:08.99 ID:24729WJH.net] >>232 自己解決 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/28(月) 07:12:48.06 ID:r1cntibv.net] >>219 (1) 　F (0, 1/4)　…　P(p, p^2) 　FP^2 = p^2 + (p^2 - 1/4)^2 = (p^2 + 1/4)^2, 　FP = p^2 + 1/4, 　これが最小となるのは p=0 のみ。 (2) 　F(0, 1/4) … Q(q, q^2) … R(q+1, -(q+1)^2 -4) … F '(0, -17/4) 　FQ = q^2 + 1/4, 　QR = √{1^2 + [q^2 + (q+1)^2 + 4]^2}, 　RF '= (q+1)^2 + 1/4, ∴　FQ + QR + RF 'が最小になるのは 　　q^2 + (q+1)^2 が最小のとき 　　q^2 + (q+1)^2 = 2(q + 1/2)^2 + 1/2 ≧ 1/2, ∴　q = -1/2 251 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/28(月) 19:52:58.16 ID:0l/16VXN.net] ＞分からない問題はここに書いてね 今は特にない 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/28(月) 20:57:57.81 ID:2LJ9p63m.net] 放物線C:y^2=4pxの焦点をFとする。 Fを通る傾きa(a≠0)の直線をl、lとCの交点のうちy座標が正のものをA、�

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