純粋・応用数学（含むガロア理論）7

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 11:06:04.47 ID:0Dh4aVIp.net] クレレ誌： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。 (引用終り) そこで 現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して 新スレを立てる（＾＾； ＜前スレ＞ 純粋・応用数学（含むガロア理論）6 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1607741407/ ＜関連姉妹スレ＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1- 箱入り無数目を語る部屋 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/ Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/ IUTを読むための用語集資料スレ2 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/ 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/ ＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/ 809 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/07(金) 23:16:14.95 ID:WstQquuB.net] ↑ バカ丸出し 810 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 05:11:23.19 ID:27ekwIg+.net] >>726-728 まーた、変態数学の狂祖　雑談君が、思いあがって🐎🦌発言しとるなｗ ω={{},{{}},{{},{{}}},…}　だったら　ω⊂2^ωだぞｗ ωのどの要素ｘも、ｘの要素がωの要素だからな 811 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 07:38:18.56 ID:X3IvmoGN.net] >>730 おぬし、”地頭”悪すぎ 数学科出身というが、 数学科出身を名乗らない方が良いぞ（＾＾； 812 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 07:50:11.44 ID:X3IvmoGN.net] >>728-729 補足 下記”レーヴェンハイム-スコーレム” 「一階述語論理でレーベンハイム・スコーレムの 813 名前：定理が成立するということは，一階述語論理では 無限集合の実際の大きさを論理式で限定できないことを意味する」 だったら、新井流で「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」 みたく 自然数の集合Ｎを公理として入れてしまえて、そして公理の外では一階述語論理で通せれば、それはそれで綺麗だろ 一方、ツェルメロやノイマンたちは、あくまで公理はシンプルであるべしと考えていた （公理に使う用語や概念は、極小にしたい。{}とか∪,∩,∀,∃とかね。余計な用語は公理には極力入れたくない） それで、通せると思っていた。当時の全数学を構築できると で、ゲーデルの不完全性定理が出て、結局公理は追加される運命にあると分かったんだ だったら、新井流で最初からNを公理中で与えるやり方もありかもと思った。多少公理が複雑になってもね（＾＾ （>>456-459より） http://www.cs-study.com/koga/set/lowenheimSkolem.html 形式的論理体系の定義から レーベンハイム・スコーレムの定理までの大急ぎのまとめ (Rapid Summary from Syntax of Logic to Lowenheim-Skolem Theorem) by Akihiko Koga 27th Mar. 2020 (Update) レーベンハイム・スコーレムの定理（レーベンハイム発表 1915年，スコーレムによる厳密な証明 1920年）は，一階の記号論理体系（一階述語論理）の「モデル（その体系の公理系を 満たす数学的な実例）」のサイズに関する定理である． レーベンハイム・スコーレムの定理は，このときの記号を解釈するための「実体の集合 M」の 大きさに関する命題である．より詳しく言うと， 記号論理の体系がモデルを持つと 分かったとき，そのモデルを非常に巨大な大きさにしたり，またはその逆に， 非常に小さくしたりできると いう定理である． http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/Lowenheim00.png 一階述語論理でレーベンハイム・スコーレムの定理が成立するということは，一階述語論理では 無限集合の実際の大きさを論理式で限定できないことを意味する． (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 814 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 08:31:22.26 ID:X3IvmoGN.net] >>703 補足 >集合入門２０１８ >山上　滋 下記の2005 年前期の茨大の講義テキストが元みたいだね（多分1年生向け） そのころから、 「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X ≠ Φ となる集合 X は存在するか」 と書いてあるね。良問じゃね？ｗ（＾＾ （参考） sss.sci.ibaraki.ac.jp/ Shigeru's Scratchy Shelf Last modified: 2009/10/05 sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/teaching.html 授業記録 sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/set/shugo2005.html 集合入門（２００５年前期） 集合入門授業日誌 sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/set2005.html 講義ノート 集合入門 ノートでは、できるだけ、こういった形式の話を具体的で意味のある話題と 結びつけて、よく言えば「ゆったりと」、 悪くいえば「だらだらと」書いてあります。 sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/set/set2005.pdf 集合入門 山上　滋 2005 年 4 月 1 日 Ｐ11 4 積集合と冪集合 Ｐ14 問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X ≠ Φ となる集合 X は存在するか。 (引用終り) 以上 815 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/08(土) 08:43:09.35 ID:4CnMMyMC.net] >>733 じゃあRの定義を書いてみて 良問と判断したってことは当然書けるよね？ 816 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 09:14:54.65 ID:X3IvmoGN.net] >>734 地頭の悪い おぬしに教える義理はない 問答無用 下記でも嫁め（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0 実数 実数（じっすう、 仏: nombre reel, 独: reelle Zahl, 英: real number）とは連続な量を表すために、有理数を拡張した「数」の体系である。 定義 実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[1]。実数体の元（＝要素）を実数という。 これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というもの� 817 名前：ｪ存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[2]。 実数の表示 現代数学の体系において実数が構成されるときは#構成節で述べるような、数の表示に直接依存しない方法が用いられるが、個々の実数を表すときは ?1.13 や 3.14159... のような（有限とは限らない）小数表示がよく用いられる。 また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。 実数の様々な構成 コーシー列を用いた構成 デデキント切断による構成 超準解析に基づく構成 論理学における実数 実数という数のクラスが初めてはっきりと取り出されたのはカントールによる集合の研究においてだった。彼は集合論的には実数全体の集合は有理数全体の集合からはっきりと区別されるべき大きさ（濃度）を持っていること（実数の集合は可算でないこと）を示した。 ブラウワーは直観主義とよばれる、具体的に構成できるようなものだけを認める論理の体系をつくったが、彼はそこでは実数について通常の数学におけるものとは著しく異なった結論を導きだせることを示した。これには Kripke-Joyal の層の意味論によって現代的な解釈が与えられる。 つづく [] [ここ壊れてます] 818 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 09:15:24.70 ID:X3IvmoGN.net] >>735 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number Real number Contents 1 History 2 Definition 2.1 Axiomatic approach 2.2 Construction from the rational numbers Axiomatic approach Let {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} denote the set of all real numbers, then: The set {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} is a field, meaning that addition and multiplication are defined and have the usual properties. The order is Dedekind-complete, meaning that every non-empty subset S of {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} with an upper bound in {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} has a least upper bound (a.k.a., supremum) in {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} . For another axiomatization of {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} , see Tarski's axiomatization of the reals. Construction from the rational numbers The real numbers can be constructed as a completion of the rational numbers, in such a way that a sequence defined by a decimal or binary expansion like (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) converges to a unique real number?in this case π. For details and other constructions of real numbers, see construction of the real numbers. https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers Construction of the real numbers Contents 1 Synthetic approach 1.1 Axioms 1.1.1 On the least upper bound property 1.1.2 On models 1.2 Tarski's axiomatization of the reals 2 Explicit constructions of models 2.1 Construction from Cauchy sequences 2.2 Construction by Dedekind cuts 2.3 Construction using hyperreal numbers 2.4 Construction from surreal numbers 2.5 Construction from integers (Eudoxus reals) 2.6 Other constructions (引用終り) 以上 819 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/08(土) 09:37:38.79 ID:4CnMMyMC.net] >>735 {}はRの要素？　Y/N 820 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 09:56:04.72 ID:X3IvmoGN.net] >>737 地頭の悪い おぬしに教える義理はないが 簡単に ゼロ０を、空集合Φ＝{}を当てるのがスタンダード（つまり 0＝Φ）だから {}はRの要素で良いでしょ （0≠Φ}の立場 821 名前：なら、話は別） [] [ここ壊れてます] 822 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 09:56:38.74 ID:27ekwIg+.net] >>735 雑談君のセリフ　解説 > 教える義理はない →教える能力はない（自分がわかってないから） > 問答無用 →問答不能（問われても答えられない） > 下記でも嫁め →下記読んでオチコボレのボクにもわかるように教えて ちなみにアホな関西人は妻を「嫁」と間違えて言う悪癖があるけど 嫁といった場合、息子の妻を指しますから~　残念 （注：アホでない関西人はそのような間違いはしない） さて、本題 コーシー列を用いた構成　でも デデキント切断による構成　でも どっちでもいいけど、上記の構成による集合としての実数が 実数の集合と全く異なれば　2^R ∩ R = {}となる つまり「アトムでなければいけないっ！」と 🐎🦌丸出しで発●する必要はないｗ 823 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 10:02:09.46 ID:27ekwIg+.net] >>738 >ゼロ０を、空集合Φ＝{}を当てるのがスタンダード（つまり 0＝Φ）だから >{}はRの要素で良いでしょ この瞬間、ID:4CnMMyMC は、きっとこう絶叫した筈 ” I have a win!!!" ま~た、雑談君、考えもなしに書き込み、即自爆かｗｗｗ さて、本題 {}∈Ｒなら、2^R ∩ R ⊃ {{}}　なので　2^R ∩ R ≠ {} ではないですね ホント、雑談君は集合が初歩から全然わかってないでちゅねｗｗｗ 824 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/08(土) 10:02:19.33 ID:4CnMMyMC.net] >>738 >{}はRの要素で良いでしょ じゃあ　{}∈2^R ∩ R ≠ Φ　じゃんｗ どうやって良問と判断したの？ｗ 825 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 10:06:54.68 ID:27ekwIg+.net] >>731 雑談君は論理的思考力ゼロなので 工学部卒、いや、大卒、と名乗らないほうがいい 大阪大卒？いや、それ大阪大の恥ですからｗｗｗ ボクの知り合いの大阪大卒も 「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」 といってました（マジ） https://aikru.com/archives/4604 ていうか、まさか、おーにっちゃん＝雑談、じゃないよな？（疑） 826 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 10:14:09.68 ID:27ekwIg+.net] >>732 >新井流で >「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」 >みたく 自然数の集合Ｎを公理として入れてしまえて 新井敏康氏の「数学基礎論　増補版」p145 「自然数の集合は 　 N:＝ω:=∩{z:0∈z ∧ ∀x∈z (S(x)∈z) } 　となる。これが集合となることは無限公理（と分出公理）が保証する」 一階述語論理上の理論であるZFCで定式化できますが何か？ （注：Nの一意性については、一階述語論理ではもちろん示せない 　　　しかしここでは別に一意性を求めてないので無視してよい 　　　二階クンはさっさとオリンピック中止させてくださいｗ） 827 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 10:20:22.00 ID:27ekwIg+.net] >>732 >ゲーデルの不完全性定理が出て、結局公理は追加される運命にあると分かったんだ なんか雑談君は不完全性定理が根本的に分かってないねえ あのね、単にペアノの自然数論が不完全といってるんじゃなくて 帰納的公理化可能な形での自然数論の拡張はみな不完全なの だから、二階論理による自然数論が完全（つまり決定可能）だとした場合 肝心の二階論理が、帰納的公理化不能（つまり人間様に判別可能な形で 公理を定義し切ることが不可能）ってこと　わかる？ 二階バンザイとかいってるのは、数学でも政治でも、 肝心なことが全然分かってないお🐎🦌ってことよｗ 828 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 10:27:00.99 ID:27ekwIg+.net] ω＝N　とナイーブに断言する雑談君に問題 Q1.　ω⊂Z、となるように　Zを定義せよ Q2.　その場合　2^Z ∩ Zはどうなる？ （注：ω⊂Q でも ω⊂R でもいいんだけど、QはともかくRの構成は、 　　　無限が分からん雑談君には到底無理なんで、Zで勘弁してあげたｗ） 829 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 10:29:56.60 ID:27ekwIg+.net] >>741 >>{}はRの要素で良いでしょ >じゃあ　{}∈2^R ∩ R ≠ Φ　じゃんｗ >どうやって良問と判断したの？ｗ 決まってるじゃん 「自分� 830 名前：ﾉは答えられないから！」（キリっ） ＃落ちこぼれあるある [] [ここ壊れてます] 831 名前：哀れな素人 [2021/05/08(土) 10:33:58.72 ID:YvkmE/lz.net] スレ主よ、 ID:4CnMMyMC ID:27ekwIg+ これはどちらもアホのサル石だ(笑 ID:4CnMMyMCがサル石であることは 「0.99999……は1ではない」と「ケーキの問題とサル石」 を読めば分かる(笑 >肝心なことが全然分かってないお🐎🦌ってことよｗ そのお🐎🦌がお前だ、ドアホ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ レベルの高いスレには全然投稿できない中二の落ちこぼれ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ 832 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 10:47:03.07 ID:27ekwIg+.net] >>703 >例題 4.3. X = {a, b, c} (a, b, c は互いに異なる）であるならば、 >P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} 「だ・か・ら、いかなる集合も、X ∩ P(X) = {}！」 と、雑談君が答えたなら、まさに軽率なお🐎🦌ｗ a=Φ,b={Φ},c={{Φ}}としましょう そのとき X = {a, b, c} ＝｛Φ, {Φ}, {{Φ}}} P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} 　　 = {Φ, {Φ}, {{Φ}}, {{{Φ}}}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {{Φ}}}, {{Φ}, {{Φ}}}, {Φ, {Φ}, {{Φ}}}} X ∩ P(X) = {Φ, {Φ}, {{Φ}}} なんで？ そりゃ　{}=a,　{a}=b,　{b}=c　だからだよｗ 833 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 10:49:42.38 ID:27ekwIg+.net] >>747 >ID:4CnMMyMCがサル石であることは >「0.99999……は1ではない」と「ケーキの問題とサル石」 >を読めば分かる 一方、ID:27ekwIg+=私は、上記のアホスレには書き込んでいないｗ したがって、私はサル石ではな~いｗ 834 名前：哀れな素人 [2021/05/08(土) 10:56:28.98 ID:YvkmE/lz.net] スレ主よ、サル石が、 >「β」は存在し、「βという数」は存在しない。 >「βという数」は存在するが、ナンセンスな存在に過ぎず、もちろん数ではないｗ　 と書いてきた(笑 「βという数」は存在しない、と書きながら、 「βという数」は存在するが、と書いている（ｹﾞﾗｹﾞﾗ ほとんど精神分裂病に近いドアホだ(笑 昔は本当に精神病だった男だが、精神分裂病だったに違いない（ｹﾞﾗｹﾞﾗ 835 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 11:01:53.13 ID:27ekwIg+.net] >>742 >ボクの知り合いの大阪大卒も >「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」 >といってました（マジ） これから雑談君のことを「コニシ」こと「こにっちゃん」とよぼうかな 参考動画 https://www.youtube.com/watch?v=7NJs3_WFhZs&t=698s&ab_channel=SAKAMICHIINFO せ~らの地元（大阪）のお友達のコニシさんって誰や？ ゼッタイ、オトコやろ~ｗ 836 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 11:07:39.97 ID:X3IvmoGN.net] >>747 哀れな素人さん、どうも スレ主です (引用開始) ID:4CnMMyMC ID:27ekwIg+ これはどちらもアホのサル石だ(笑 (引用終り) なるほど どちらも アホのサル石みたいですね 彼は、複数ＩＤを使いますからね（＾＾ 837 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 11:13:55.78 ID:27ekwIg+.net] >>750 >>「βという数」は存在するが、ナンセンスな存在に過ぎず、もちろん数ではない サル石のいう「ナンセンスな存在」がどんなものか サル石でない私には理解しようもないが βが実数だとすると矛盾するならば、実数としては存在しない 実数でない新たな数としてなら？無矛盾なら存在する i^2=-1　となる（実数でない）虚数がいい例だが、その他にも ε^2=0　となるε≠0が、「実数でない数」として追加しても無矛盾だ というなら、存在するだろう 838 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 11:16:09.05 ID:27ekwIg+.net] >>752 ＞彼は、複数ＩＤを使いますからね じゃ、私は「彼」ではないね 私は、単一ＩＤしか使わんから スマホで別人なりすまし書き込みするほど病んでないしｗ 839 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 11:44:50.56 ID:X3IvmoGN.net] >>740 >さて、本題 >{}∈Ｒなら、2^R ∩ R ⊃ {{}}　なので　2^R ∩ R ≠ {} ではないですね ようやく、自分のバカさ加減に気付いたの？（＾＾ おサルは（>>689より） (引用開始) [証明] ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。 step1 {}∈ω (引用終り) と書いたよね（特に「{}∈ω」にご注目） ところで、下記「高校数学の美しい物語」”自然数Ｎに、0を含むという考え方もある”をご参照 表題”0を含む”と、下記ノイマン構成で、自然数Ｎ∋{}かどうかとは それは別問題だよ 繰り返すが、自然言語として、自然数Ｎに0を含む、つまり、0は自然数Ｎの要素ということと ”ノイマン構成で自然数Ｎ∋{}かどうか”とは、全く別問題だよ （自然言語の意味と数学記号とは、全く同じではないよ。そこでつまずいたんだね、おサルはｗ） 山上滋先生の下記 「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」 は、良問でした！ｗ（＾＾ （参考） https://manabitimes.jp/math/1232 高校数学の美しい物語 自然数とは（0を含むこともあるよ）更新日時 2021/03/07 0を含むという考え方もある 流儀2．自然数とは 0 以上の整数である。 大学以降では自然数は 0 を含む場合もある（特に集合論の文脈）ので注意が必要です。 集合論では 0 を空集合に対応させ，S(a)=a∪{a} として以下のように自然数を構成することが多いです（フォンノイマンの構成法）： 0={}（空集合） 1=S(0)=0∪{0}={0}={{}} 2=S(1)=1∪{1}={1,0}={{{}},{}} 3=S(2)=2∪{2}={2,1,0}={{{{}},{}},{{}},{}} カッコがたくさんあってキモいですが，これはちゃんとした集合です。 つづく 840 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 11:45:17.14 ID:X3IvmoGN.net] >>755 つづき （>>681より） www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf 集合入門２０１８ 山上　滋 2018 年 11 月 7 日 Ｐ14 問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。 (引用終り) 以上 841 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 11:47:50.51 ID:X3IvmoGN.net] >>754 ＞スマホで別人なりすまし書き込みするほど病んでないしｗ 心配するな おまえは、十分病気だよｗ（＾＾； 842 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 11:49:01.68 ID:27ekwIg+.net] >>755 いかん、>>740では逆にかいちった 正しくは、2^R ∩ R ≠ {}　ですね 雑談君ことこにっちゃんは、ま〜だ、自分の間違いに気づかんのか？ｗ 843 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 11:52:14.57 ID:27ekwIg+.net] >>755-756 >2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。 >は、良問でした！ >>748読んだ？ 2^ω ∩ ω=ωとなることは理解した？ 愚問だよなｗ 844 名前： mailto:sage [2021/05/08(土) 11:53:44.71 ID:27ekwIg+.net] >>757 >おまえは、十分病気だよ 「自己愛性パーソナリティ障害」の変態である雑談君に比べたら全然大したことないよｗ 845 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/08(土) 13:01:41.33 ID:4CnMMyMC.net] >>755 >特に「{}∈ω」にご注目 >繰り返すが、自然言語として、自然数Ｎに0を含む、つまり、0は自然数Ｎの要素ということと >”ノイマン構成で自然数Ｎ∋{}かどうか”とは、全く別問題だよ >（自然言語の意味と数学記号とは、全く同じではないよ。そこでつまずいたんだね、おサルはｗ） つまりキミは「{}∈ノイマンのω」は偽と言いたいの？ wikipedia「Ordinal number」より引用 　This motivates the standard definition, suggested by John von Neumann, now called definition of von Neumann ordinals: "each ordinal is the well-ordered set of all smaller ordinals." 　First several von Neumann ordinals 　0 = { } = ∅ 　1 = { 0 } = {∅} 　2 = { 0, 1 } = { ∅, {∅} } 　3 = { 0, 1, 2 } = { ∅, {∅} , {∅, {∅}} } 　4 = { 0, 1, 2, 3 } = { ∅, {∅} , {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} } さすがに大学1年4月でつまづいた人の言うことは違うねｗ 846 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/08(土) 13:11:35.04 ID:4CnMMyMC.net] >>755 >特に「{}∈ω」にご注目 何を言い出すかと思えば愚にも付かぬことをドヤ顔でｗ >「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」 >は、良問でした！ｗ（＾＾ え？？？ キミのRの定義だと2^R ∩ R ≠ Φなんだけどｗ 偉い先生に納得せよと言われたら納得するんだｗ　そりゃ大学一年の4月で落ちこぼれるわなｗ 847 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/08(土) 13:16:07.31 ID:4CnMMyMC.net] >そりゃ大学一年の4月で落ちこぼれるわなｗ 今年もまた大学新入生に追い抜かれた瀬田くんだったとさｗ 848 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 14:45:55.14 ID:X3IvmoGN.net] >>761-762 なるほど、言いたいことが分かったよ ノイマン構成では、新井先生などN＝ω （>>726） 一方、当然 N⊂R べき集合でも、2^N⊂2^R 成立 さらにωには、y ∪{y} ∈ x（新井 >>726） つまり、y と{y}が含まれる 自然数に直すと、n＝{n-1,・・,2,1,0} Nには全てのnが含まれ 従って、2^Nには、全ての{n-1,・・,2,1,0}=nが含まれる 2^Nには、空集合Φ＝0も含まれる よって、N⊂2^Nで、N∩2^N=N N⊂2^N⊂2^R だから 2^R ∩ R = Mとおいて、N⊂M ≠Φ （おそらくは、M＝Nかな？（＾＾　） だから、修正 849 名前： （>>681より） http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf 集合入門２０１８ 山上　滋 2018 年 11 月 7 日 Ｐ14 問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。 　↓ 問 19. ノイマン構成で、2^R ∩ R = M, 自然数の集合N⊂M≠Φ であることを納得せよ。 とすべきかな 上記の後半「2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」では、 X中に、部分集合を先取りする元が存在すれば、”≠ Φ”が成立する つまり、ノイマン構成のように ”y と{y}が含まれる”みたいなこと （ノイマン構成Nは、y と{y}のチェインになっている） 今見直すと、>>755は山上先生の問 19に引きずられて(成り立つと思ってた)、変なこと書いちゃったね 　>>710の「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」にも、脳波を狂わされてしまったよ まだまだ、修行が足りなかったな（＾＾； [] [ここ壊れてます] 850 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 14:47:53.09 ID:X3IvmoGN.net] >>764 訂正 つまり、y と{y}が含まれる 　↓ つまり、y と{y}との両方の要素が含まれる だな（＾＾ 851 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 14:58:20.41 ID:X3IvmoGN.net] >>764 補足 https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number Natural number Constructions based on set theory Main article: Set-theoretic definition of natural numbers See also: Ordinal number § Definitions Von Neumann ordinals 0 = { }, 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }}, 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}}, 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, n = n?1 ∪ {n?1} = {0, 1, ..., n?1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}, etc. (引用終り) ここで、Ｎの部分集合 {0, 1, ..., n?1}∈2^N を取ると、これがn∈Ｎとなっている これが、全てのｎについて成り立つってことだね 852 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/08(土) 17:07:52.32 ID:7pSA4dPj.net] 問題 > ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。 を証明せよ 853 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 19:38:43.85 ID:X3IvmoGN.net] >>767 Axiom of regularity が、帰納法の公理と関係しているそうだよ （下記） （参考） https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity Axiom of regularity Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction. The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Induction_axiom Induction axiom The assertion of the validity for all x of some predicate P(x) defined on the set of all non-negative integers, if the following two conditions hold: 1) P(0) is valid; and 2) for any x, the truth of P(x) implies that of P(x+1). The induction axiom is written in the form P(0)&∀x(P(x)⊃P(x+1))⊃∀x P(x). In applications of the induction axiom, P(x) is called the induction predicate, or the induction proposition, and x is called the induction variable, This axiom is called the complete or recursive induction axiom. The principle of complete induction is equivalent to the principle of ordinary induction. See also Transfinite induction. つづく 854 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 19:39:01.83 ID:X3IvmoGN.net] >>768 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction Epsilon-induction In mathematics, {\displaystyle \in }\in -induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction. Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction. It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction. Contents 1 Statement 1.1 Comparison with natural number induction 2 Independence Comparison with natural number induction The above can be compared with {\displaystyle \omega }\omega -induction over the natural numbers {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}{\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}} for number properties Q. Independence In the context of the constructive set theory CZF, adopting the Axiom of regularity would imply the law of excluded middle and also set-induction. But then the resulti 855 名前：ng theory would be standard ZF. However, conversely, the set-induction implies neither of the two. In other words, with a constructive logic framework, set-induction as stated above is strictly weaker than regularity. つづく [] [ここ壊れてます] 856 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/08(土) 19:41:25.90 ID:X3IvmoGN.net] >>769 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E5%9E%8B 公理型 公理型（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）とは、数理論理学における用語で、公理を一般化した概念である。公理図式とも訳される。 公理型の例 公理型の実例としてよく知られているものを二つ挙げる。 ・帰納型：ペアノ算術の一部であり自然数の算術である。 ・置換の公理型（英語版）：集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。 これらの型は除去できないことが証明されている（最初の証明はリチャード・モンタギューによる）。従ってペアノ算術とZFCは有限公理化できない。このことは数学の様々な公理的理論や、哲学、言語学その他についても当てはまる。 高階論理において 一階述語論理における型変数は、二階述語論理においては通常は除去できる。何故なら、型変数は何らかの理論中に現れる要素間で成り立つ性質や関係そのものを代入可能な変数として位置付けられることが多いからである。上で挙げた帰納法 と置換 の型は正にそうした例に当る。高階述語論理では量化変数を用いてあらゆる性質や関係を渡るような記述ができる。 (引用終り) 以上 857 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 10:57:38.63 ID:6xnjRD2S.net] >>735 追加 (引用開始) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0 実数 論理学における実数 ブラウワーは直観主義とよばれる、具体的に構成できるようなものだけを認める論理の体系をつくったが、彼はそこでは実数について通常の数学におけるものとは著しく異なった結論を導きだせることを示した。これには Kripke-Joyal の層の意味論によって現代的な解釈が与えられる。 (引用終り) 下記だな ”Thus, for every topological space X, the topos Sh(X) has a Dedekind real numbers object R. Naively one might expect R to be isomorphic to the constant sheaf Δ(R), where R is the classical set of real numbers, but this turns out not to be the case. Instead, we have a rather more remarkable result: Theorem 5.1.略” （参考） https://ncatlab.org/nlab/show/real+numbers+object Real numbers object 1. Idea 2. Definition 3. Properties 4. Constructions In a topos with an NNO In a Π-pretopos with WCC In a Π-pretopos with an NNO and subset collection 5. Examples In Set In sheaves on a topological space In sheaves on a gros site of topological spaces In a general sheaf topos 6. Generalizations Cauchy real numbers Classical Dedekind real numbers 7. Related concepts つづく 858 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 10:58:52.00 ID:6xnjRD2S.net] >>771 つづき 1. Idea Recall that it is possible to define an internalization of the set of natural numbers, called a natural numbers object (NNO), in any cartesian monoidal category (a category with finite products). In particular, the notion makes sense in a topos. But a topos supports intuitionistic higher-order logic, so once we have an NNO, it is also possible to repeat the usual construction of the integers, the rationals, and then finally the real numbers; we thus obtain an internalization of R in any topos with an NNO. More generally, we can define a real numbers object (RNO) in any category with sufficient structure (somewhere between a cartesian monoidal category and a topos). Then we can prove that an RNO exists in any topos with an NNO (and in some other situations). 2. Definition Let E be a Heyting category. (This means, in particular, that we can interpret full first-order intuitionistic logic using the stack semantics.) 5. Examples In Set The real numbers object in Set is the real line, the usual set of (located Dedekind) real numbers. Note that this is a theorem of constructive mathematics, as long as we assume that Set is an elementary topos with an NNO (or more generally a Π-pretopos with NNO and either WCC or subset collection). In sheaves on a topological space Thus, for every topological space X, the topos Sh(X) has a Dedekind real numbers object R. Naively one might expect R to be isomorphic to the constant sheaf Δ(R), where R is the classical set of real numbers, but this turns out not to be the case. Instead, we have a rather more remarkable result: つづく 859 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 10:59:23.00 ID:6xnjRD2S.net] >>772 つづき Theorem 5.1. A Dedekind real numbers object R in the topos Sh(X) is isomorphic to the sheaf of real-valued continuous functions on X. This is shown in (MacLane-Moerdijk, Chapter VI, §8, theorem 2); see also below. Remark 5.2. Theorem 5.1 allows us to define various further constructions on X in internal terms in Sh(X); for example, a vector bundle over X is an internal projective R-module. (引用終り) 以上 860 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 11:18:40.61 ID:6xnjRD2S.net] >>742 余談だが 私は実名の議論はしない 全くの第三者に迷惑がかかる可能性があるからね だが、実名が分かっても、なんの痛痒も感じない 正しいのは私側だから さて、 >ボクの知り合いの大阪大卒も >「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」 おサルこと維新さんに、大阪大卒生の知り合いがいるという話の信憑性が薄いな （大阪人は全て維新レベルだとか、さんざんこき下ろしていたよね。どんな顔して会っているか疑問だ） で、阪大卒なら、時枝記事不成立が、言われれば理解できるだろう 時枝記事不成立が、言われて理解できない阪大卒生なら、それこそ黒歴史だよ もし実在するなら、そいつにそう言っておいてくれ（＾＾ 861 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 11:53:17.38 ID:6xnjRD2S.net] >>710-717 もどる (引用開始) まだ「集合として同じ」と「同型」の区別がついてないね Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！ ＮからＲへの代数構造を保つ全単射が存在するが Im(Ｎ)はＮと同じ集合ではない！ 集合論では自然数を集合で定義するが、集合での定義が必須ではない。実際代数学でも解析学でも集合で定義していない。 その場合、2^Nの元はすべて集合だが、Nの元はすべて非集合だから、当然 2^N∩N={}。 「N＝ω　∧　N⊂R　と決めつけたのが間違い」 N＝ω　ならば　N⊂Rではない N⊂R　ならば　N＝ωではない ただ、Ｒは有理数列として実現するから その部分集合としてのＮも当然有理数列であり ωの要素とは異なる形式となる したがって、ω⊂２＾ωだからといって Ｎ⊂２＾Ｎとはいえない 集合論での話をしても、2^R∩R={}となることがある ただ、これはRをどういう集合として実現するかに依存する (引用終り) おぬし、議論に勝ちたいための屁理屈としては、これは分からなくも無いがｗ（＾＾ やっぱ、屁理屈でしょｗｗ 下記のように、実数R中で、無理数を有理数Qを使って構成したいとき、コーシー列を使う これは、当然無限列である 例 q1,q2,・・→α（q1,q2,・・∈Q(有理数)で、αは無理数） で、下記英文のカントールの対角線論法で わざと、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) みたく 書くことがある。s1 =0だけど これは、あくまで、べき集合の濃度を考える便法だよ 一方で、代数学では、「Ｎ⊂Ｒではない！」あるいは「Q⊂Ｒではない！」 とかしたら、都合悪いよねｗ（＾＾； Qの代数拡大の理論が、ヘンチクリンになるよ！（＾＾ で、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は、 あくまで便法で、日常では、有理数はコーシー列など使わずに、単に例えば”q”とか単純に書けば良い それで、何の問題も無いでしょ（＾＾ つづく 862 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 11:53:47.21 ID:6xnjRD2S.net] >>775 つづき （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0 実数 コーシー列を用いた構成 詳細は「コーシー列#実数の構成」を� 863 名前：Q照 実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。 有理数の空間には二つの数の差の絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a ? b| から定まる点の近さを考えることができる。これについてのコーシー列たちを適当な同値関係によって同一視した空間として R が得られる。こうして構成された実数の空間の中では、収束数列によって近似的に与えられる対象が実際に実数として存在している。また、Q 上の距離が代数構造と両立するようになっているので、R の上でも Q の代数構造を基にした代数構造を考えることができる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95 カントールの対角線論法 https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument Cantor's diagonal argument Uncountable set The proof starts with an enumeration of elements from T, for example: s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...) s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...) ... (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 864 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/09(日) 13:13:50.67 ID:FTT6X9Mi.net] >下記のように、実数R中で、無理数を有理数Qを使って構成したいとき、コーシー列を使う >これは、当然無限列である >例 >q1,q2,・・→α（q1,q2,・・∈Q(有理数)で、αは無理数） >で、下記英文のカントールの対角線論法で >わざと、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) >みたく 書くことがある。s1 =0だけど >これは、あくまで、べき集合の濃度を考える便法だよ これは酷い 865 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/09(日) 13:28:33.42 ID:HUz+2MWa.net] >>777 ヤツは数列をどう集合として実現するか知らないんでしょう 御愁傷様 866 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 15:16:18.88 ID:6xnjRD2S.net] >>778 クラトフスキーの定義が有名だが それがどうしたの？ｗ（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE 順序対 目次 1 一般論 2 直観的な定義 3 集合論による順序対の定義 3.1 ウィーナーの定義 3.2 ハウスドルフの定義 3.3 クラトフスキーの定義 3.4 クワイン?ロッサーの定義 3.5 カントール?フレーゲの定義 3.6 モースの定義 4 圏論 クラトフスキーの定義 Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義[5][注 4] (a,b)_K:={{a},{a,b}} を提唱した。注目すべきは、これが第一成分と第二成分が等しいときにも p=(x,x)={{x},{x,x}}={{x},{x}}={{x}} として有効な定義になっていることである。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E7%B5%84 順序組 任意の長さ n に対する n-組は、順序対の構成を帰納的に用いて定義できる。順序組はふつう、要素をコンマで区切って書き並べたものを丸括弧 "()" で括る。例えば (2, 7, 4, 1, 7) は五つ組である。要素を括る約物は、ときどき角括弧 "[]" や山括弧 "??" や場合によっては 波括弧 "{}" を使うこともある。特に波括弧は（歴史的な経緯で、数列や点列を扱う文脈などではしばしば用いられるが）標準的な集合を表す記法と紛らわしいため注意すべきである。 目次 1 性質 2 定義 2.1 写像としての定義 2.2 順序対の入れ子としての定義 3 n-組の総数 4 型理論 順序対の入れ子としての定義 集合論における順序対のモデル化は順序対を用いても定義できる。ただし、順序対は既に定義されているものとする（そして、順序対は二つ組である）。 集合論において、順序対は集合として定義される（例えばクラトフスキーの定義）から、順序対による順序組の定義も集合によって定式化できる: 867 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 15:19:34.81 ID:6xnjRD2S.net] >>777 酷いのはおまえだよ 代数学のガロア理論において Qの代数拡大は、当然無理数たる代数的数を使うよね で、代数的数αをいちいちコーシー列で定義するやつい� 868 名前：驕H いや、それ以前に、有理数ｑ∈Qで、ｑを無限長なるコーシー列で書く教科書が 一冊でもあるかい？ 酷いのはおまえだよ [] [ここ壊れてます] 869 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 15:23:27.88 ID:6xnjRD2S.net] それでなんだ？ ω＝Nなら N⊂Q⊂R が成り立たないだと！ｗ（＾＾； （ここに、N：自然数の集合、Q：有理数の集合、R：実数の集合だけど） どんな頭してんだ？ 数学科出身を名乗らない方が いいぞ、お主はｗｗ（＾＾ 870 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/09(日) 16:42:11.85 ID:whapzVrc.net] >>780 これは酷い 871 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 17:32:36.36 ID:6xnjRD2S.net] >>782 酷いのはおまえだよ １．いま有理数体Qがあるとして、一つの代数的数αがあり（無理数とする）、Qの代数拡大を考える ２．αをコーシー列で表現したとて、殆ど無意味（超越数と代数的数の区別が出来ないし、役に立たないよ。まして、有理数qをコーシー列にしても、代数学では混乱するだけじゃんかｗ（＾＾ ３．勿論、下記のジーゲルやロスのディオファントス近似の話はあるけれども、コーシー列の話とは別だ（ディオファントス近似は、普通は代数学には入れないしね） （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 代数的数 数論的性質 α を無理数とする。任意の正数 ε に対して、ある正定数 c = c(ε) が存在して、 q > c を満たす全ての有理数 p/q に対して成立するような、μ の下限 μ(α) を、α の無理数度 という。もし、このような数が存在しない場合、 μ(α)=∞とする。つまり、無理数度は、αを有理数で近似したとき、どのくらいの精度で近似できるかの指標を与える。たとえば任意の有理数の無理数度は 1 になる。 リウヴィルは、1844 年、α が n 次の実代数的数（実数である代数的数）のとき、μ(α) ≦ n であることを証明し、このことから、リウヴィルは超越数が存在することを初めて証明した。 実代数的数に対する μ(α) の評価は、その後、トゥエ (A. Thue)、ジーゲル、ゲルフォント (A. O. Gel'fond)、ダイソンらにより改良され、最終的に ロスにより、μ(α) = 2 であることが証明された（ディオファントス近似を参照）。この功績によりロスは 1958 年フィールズ賞を受賞した。 上記のことから、無理数度が 2 よりも大きい実数は超越数となるが、超越数ならば無理数度が 2 よりも大きくなるわけではない。たとえば、自然対数の底 e の無理数度は、2 である。 ほとんど全ての実数に対して、無理数度は 2 であることが知られているが、無理数度が分かっていない数がほとんどである。たとえば、円周率 π の無理数度が 2 であるかは不明である。現状、8.0161 以下であることが証明されているにすぎない（畑 1992年）。 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/3/64_0643254/_pdf/-char/ja Diophantus 近似 - J-Stage 平田典子 著 数学 2012 Volume 64 Issue 3 Pages 254-277 872 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/09(日) 20:08:08.06 ID:6xnjRD2S.net] >>783 補足 要するに、適材適所 バカと ハサミは使いよう コーシー列の長所短所を考えて 使わないと 自然数ｎや、有理数ｑも、ムリムリ無限長のコーシー列にして 実数Rの元を統一して扱う それは、集合の濃度を、対角線論法で論じるときスッキリします また、大学１年生に、”自然数ｎや、有理数ｑも、無限長のコーシー列”として扱うテクニック教育の意味もあるかも だが、一方で、自然数ｎや、有理数ｑはコーシー列とせず 無理数のみコーシー列として扱うという方法もありだろう というか、歴史的には、こちらの方が先だし 基礎論を離れたら、こちらでしょう？ （”自然数ｎや、有理数ｑも、無限長のコーシー列”としたら普段の数学では煩 873 名前：わしいだけだし、 　それに見合うメリットがないとだれも採用しないぞ） それにだ、コーシー列ではなかった扱いの有理数ｑが 突然 代数拡大で、代数的数α（無理数とする）を添加したら 有理数ｑをコーシー列にしなければ成らないってこともない コーシー列だなんだかんだは、不問にしておけ！ そうして、素直に有理数体Qにαを添加した代数拡大を考えるべし そのとき、当然N⊂Q⊂Q（α）⊂R N⊂Q⊂Rが成り立たないだと？？ なにバカなことを言っているんだ！！！ｗ（＾＾ [] [ここ壊れてます] 874 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/09(日) 21:50:51.32 ID:FTT6X9Mi.net] 未だ分かってないのかｗ 875 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/10(月) 07:17:02.13 ID:LxbZqh9r.net] >>785 ごまかそうとしているのか、釣りか？（＾＾ まあいい それでね、>>768を補足しておくよ ”Given the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.” とあるよね つまり、ノイマンが基礎の公理（the axiom of regularity）を導入した大きな意図が、ここにあるんだ 　>>769から Epsilon-induction In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction. Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction. It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction. (引用終り) とあるよね。（なお、”∈”を、ε（Epsilon）と呼ぶってことな、念のため） https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity Axiom of regularity regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α )｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }. (引用終り) ってこと つまり、基礎の公理が、”not only allows induction”で、”but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α )｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }” を意図しているってことです 基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾； 間違いだよ だから、>>689 の「ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立」とかさ 何を考えているのか？ ノイマンの基礎の公理の意図が、分かってないね ZFCの中で、基礎の公理が、”induction”を担保しているんだ 「ペアノの公理」ってｗ、ZFCにさらに「ペアノの公理」が必要とか、こいつ何考えているんだ？ っていうことです（＾＾； 以上 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/10(月) 10:56:12.73 ID:0+1LBsZY.net] >>786 いや、コーシー列による有理数体Qの実数体Rへの完備化に対角線論法はいらないってこと。 瀬田君は、未だ実数論が分かっていないということ。 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/10(月) 11:07:48.49 ID:0+1LBsZY.net] >>786 時枝記事の理解に超越数とか代数的数とかの実数または複素数の代数的な区別は全く関係ない。 878 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 12:46:39.36 ID:1UqueJ/F.net] >>786 >基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾； 誰がそんなこと言ったの？レス番号示して ω∈ω+1∈ω+2∈…は無限上昇列ですけど？ 879 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 13:12:03.61 ID:1UqueJ/F.net] >>786 >基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾； 何重にも間違ってる。 ・基礎の公理は∈無限下降列を禁止している。∈無限上昇列を禁止していない。実際 ω∈ω+1∈ω+2∈… は無限上昇列。 ・誰も基礎の公理は∈無限上昇列を禁止しているなんて言ってない。レス番号を示せ。 ・基礎の公理と関係無く、最後の項のある無限列は存在しない。 ・偽ω:={{…{}…}}を仮に集合と見做した場合、ω∋ω∋… なる無限下降列が存在するから基礎の公理に反する。 ・偽ω:=…{{}}…は一番外側のカッコを持たないからその元を特定できない。よって集合ではない。 ・真ωには無限下降列は存在しない。ωのどの元も有限順序数だから ω∋n∋n-1∋…∋1∋0 は∈有限下降列。 880 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 13:38:11.95 ID:1UqueJ/F.net] >>787 それなｗ 彼は有理コーシー列による実数の構成と対角線論法を混同してる。 対角線論法のs1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は列ではない。0.000…なる無限小数だｗ 無限小数全体と自然数全体に全単射が存在しないことを示すのが対角線論法。 仮にsnを列と見做すと、ある項より先がすべて0または1でない限りコーシー列でないｗ これほど酷いレスはなかなかお目にかかれないｗ 881 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 15:17:24.25 ID:1UqueJ/F.net] 混同というより根本的に分かってないの方が正しいな。 実数の構成も対角線論法も根本的に分かってない。 大学一年4月で落ちこぼれたからだろう。 882 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 18:19:06.01 ID:waRwN1MV.net] >>789-790 では問う Q1. ノイマンの自然数構成で 　0∈1∈2・・∈N（＝ω） 　なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？ 　Y or N？ まさか、これが有限列だとでも？　基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾； Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？ 　（下記”Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).”ご参照） どぞ、ご回答を。怖気づいて回答できないかもね？（＾＾； （参考） https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity Axiom of regularity Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980). Sources Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8 訳本あるよ https://www.アマゾン 集合論―独立性証明への案内 単行本 – 2008/1/1 ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳) 883 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 18:46:33.64 ID:1UqueJ/F.net] >>793 >>>789-790 >では問う いやいやｗ　先にレス番号示せよ　いつ誰が言ったんだよ　また捏造か？ 884 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 19:12:59.94 ID:1UqueJ/F.net] >>793 >Q1. ノイマンの自然数構成で >　0∈1∈2・・∈N（＝ω） >　なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？ >　Y or N？ N > まさか、これが有限列だとでも？ 有限列。 Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。 書き方が悪いから間違える。0∈1∈2・・∈n∈Nと書け。 >基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾； 有限列だから基礎の公理に反さない。 何遍言わせるんだよ　おまえほんっと頭悪いなあ 885 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 19:14:44.29 ID:1UqueJ/F.net] >>793 極限順序数は後続順序数ではない。 これの意味がおまえはぜーーーーーーーーーーんぜん分かってない。 886 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 19:22:14.71 ID:1UqueJ/F.net] >>793 >Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？ 問いが曖昧。 xが公理系Xが規定するすべての要件を満たすなら、xはX内で存在するか？ という意味ならYES。当たり前だろｗ バカかｗ 887 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/10(月) 20:39:04.16 ID:LxbZqh9r.net] >>791 まず、こっちから >対角線論法のs1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は列ではない。0.000…なる無限小数だｗ 無限小数展開は、下記で、「暗に対角線論法を使っている」とされているよ、”暗に”だ 元々のカントールの論文があるから見てみな。無限小数展開は使ってない >無限小数全体と自然数全体に全単射が存在しないことを示すのが対角線論法 では無いな。それは”For example”で、単なる一例にすぎない（下記英訳P2及び読めるなら独語原文ご参照） （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95 カントールの対角線論法 目次 1 対角線論法 1.1 集合による表現 1.2 関数による表現 1.3 行列による表現 2 自然数の集合と[0, 1]区間の濃度の違い 自然数全体の集合 Nから[0, 1]区間(=0以上1以下の実数全体の集合)への全単射が存在しない事を以下のように証明できる。後で見るように、この証明は暗に対角線論法を使っている。 aiを二進数展開したときの j}j桁目をai,jとし[3]、biを¬ai,iとする。 そしてbを小数点展開が0.b1b2…となる実数とする。このとき、bは a_1,a_2,・・・ のいずれとも異なる。実際iを任意に取るとき、aiのi桁目はai,iであるのに対し、bのi桁目は¬ai,iであるので、aiとbは異なる。 仮定より[0, 1]区間の全ての元は a_1,a_2,・・・ と番号づけされているはずなのに、[0, 1]区間の元であるはずのbは a_1,a_2,・・・ のいずれとも異なるので、矛盾。 従って N から[0, 1]区間への全単射は存在しない。 以上の論法は、行列A={ai,j}i,jに対して対角線論法の「行列による表現」を使ってベクトル{bi}={¬ai,i}がAのいずれの行とも異なる事を証明したものであると解釈できる。従って以上の論法は暗に対角線論法を使っている。 つづく 888 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/10(月) 20:39:38.19 ID:LxbZqh9r.net] >>798 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument Cantor's diagonal argument In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument, the anti-diagonal argument, or the diagonal method, was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one-to-one correspondence with the infinite set of natural numbers.[1] References [1] https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002113910&physid=phys84#navi Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75?78. https://cs.maryvillecollege.edu/wiki/images/c/cb/Cantor_UeberEineElementare_Trans_v1.pdf A Translation of G. Cantor’s “Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”. Google TranslateTM,1 DeepLTM,2 and Peter P. Jones? 1 https: // translate. google. com 2 https: // www. deepl. com (Dated: August 23, 2019) An English translation of G. Cantor’s “Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”[1] article: “On an elementary question of the theory of manifolds.” Translation Note: We have translated “Inbegriff” as collection, and “M¨achtigkeit” as power. Apart from these adjustments and a few other specific edits the bulk of this English language text was obtained directly from the machine translators acknowledged as the main authors. (引用終り) 以上 889 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/10(月) 20:52:44.96 ID:LxbZqh9r.net] >>795 (引用開始) >Q1. ノイマンの自然数構成で >　0∈1∈2・・∈N（＝ω） >　なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？ >　Y or N？ N > まさか、これが有限列だとでも？ 有限列。 Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。 書き方が悪いから間違える。0∈1∈2・・∈n∈Nと書け。 (引用終り) だからぁ〜、そっから認識が間違っていると思うよ（＾＾ 「0∈1∈2・・∈n∈Nと書け」というけれど ノイマンでは、”∈”は、大小の”＜”の意味でもある だから 0＜1＜2・・＜n＜・・＜ω（＝N） であり、ω＝∞ と書かれるべきもの nより大きな自然数m1,m2,・・mn・・があって 0＜1＜2・・＜n＜m1＜m2＜・・＜mn＜・・・・＜ω（＝N）となるよ 有限列だぁ？ 自然数を全部並べたら、それ有限なのか？（＾＾； お主、そこから間違っているよ〜（＾＾ 890 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 21:32:28.25 ID:1UqueJ/F.net] >>800 >有限列だぁ？ 自然数を全部並べたら、それ有限なのか？（＾＾； >お主、そこから間違っているよ〜（＾＾ そこから間違ってるのはおまえ 0∈1∈…∈n∈N　なる列に自然数全部は登場しません。できません。 仮に自然数全部登場できたとしたらNの左は何？ ばーーーーーーーーーーーーーーーーーか だから言ってるだろ？極限順序数は後続順序数ではないと。その意味がまったく分かってないバカｗ 891 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 21:35:29.32 ID:1UqueJ/F.net] 極限順序数は後続順序数ではない。 たったこれだけの簡単なことがバカはいつまで経っても理解できない。 もうバカはいい加減数学諦めろよ。 892 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 21:36:42.56 ID:1UqueJ/F.net] はい、バカに数学は無理です。諦めて下さい。人間諦めが肝心です。 893 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/10(月) 23:23:58.56 ID:LxbZqh9r.net] >>800 補足 無限小数 0.999… 有限の極限と考える 1. 小数1桁 0.9＝1-1/10^1 2. 小数2桁 0.99＝1-1/10^2 　・ 　・ n. 小数n桁 0.99＝1-1/10^n 　・ 　・ と、無限につづき全ての自然数を渡る 全ての自然数を渡るとき、0.999…→1となる もし、ｎが有限で終われば、0.999…≠1 さて、上記の連番を横に並べる 1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） この列は上述の如く、全ての自然数を渡る無限列でなければならない ここに不等号＜を入れる 1＜2＜・・＜n＜・・＜∞ となる 不等号＜を∈に換える 1∈2∈・・∈n∈・・ この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり 1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である by ノイマン （＾＾ 余談だが、どっかのスレの議論とは 立場が逆転している気がするなｗ（＾＾ 無限小数の存在が、認められないのかね？ｗｗ（＾＾； 894 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/10(月) 23:28:47.12 ID:1UqueJ/F.net] >>800 Nの元はどれも自然数。 だから 0∈1∈…∈▢∈N の▢に入ることができるのは自然数だけ。 それがどんな自然数でも 0∈1∈…∈▢∈N は∈有限列。 たったこれだけの簡単なことがいつまで経っても理解できない阿呆に数学は無理なので諦めて下さい。 895 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 00:05:55.86 ID:tve+0lLS.net] >>804 >と、無限につづき全ての自然数を渡る >全ての自然数を渡るとき、0.999…→1となる はい、0点で落第です。 0.9, 0.99, 0.999, … の極限が1であるとは、 任意の正数εに対し、ある自然数n0が存在して、n≧n0 ⇒ 1/10^n<ε が成立することである。 これ大学一年4月の課程ね。キミは大学数学に入門を拒否された落ちこぼれ。 >1＜2＜・・＜n＜・・＜∞ >となる なりません。 ∞なる数は存在しません。 >この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり >1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である by ノイマン （＾＾ あなたが落ちこぼれるのはあなたの勝手ですが、ノイマンがそんなこと言ったというのは捏造です。捏造はいけませんよ？ ωの元はどれも自然数なので∈ωの左は自然数。それがいかなる自然数であろうと有限列にしかなりません。 違うというなら∈ωの左が何なのか早く答えて下さいね。なぜ逃げ続けるのですか？ >無限小数の存在が、認められないのかね？ｗｗ（＾＾； え？？？ ぜんぜん認めてますけど？ 0.9, 0.99, 0.999, … のように一桁ずつ増える有限小数列は上に有界な単調増加列なので収束列。 その極限が無限小数の定義ですけど？ 無限小数の定義に∞は不要。入門を拒否された落ちこぼれさんは初歩の初歩が分かってないですね。 896 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 00:13:16.62 ID:tve+0lLS.net] 入門を拒否された落ちこぼれさんが何を言おうと 「∈ωの左は何か？」 に答えられない時点で独善妄想に過ぎません。 ∈列なのにある特定の項が何であるか答えられない？そんな馬鹿なｗ そんなん列じゃねーしｗ 897 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 00:33:09.96 ID:tve+0lLS.net] 0∈1∈…∈n∈ω は有限列。 証明 0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。 項を一つ取り除いた 0∈1∈…∈n も無限列。 nが自然数である限り 0∈1∈…∈n が無限列になることはないので、nは自然数ではない。 一方、ωより小さい順序数は自然数だからnは自然数。 仮定から矛盾が導かれたので仮定は偽。 898 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/11(火) 06:38:06.10 ID:U9PlktVe.net] >>804 さらに補足（＾＾ 数直線を考える ------------------------ ↑　↑　　↑　・・→↑ 0.9 0.99 0.999・・→ 1 数直線上に 0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る 小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1 もし、1-1/10^n＝1が実現するならば n→∞ でなければならない 数直線上には、1が存在するので それに対応するのは、n→∞ で、簡単にn＝∞と書いても良いだろう そもそもが、 1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ これが、実現できないならば 時枝記事の下記の s = (s1，s2，s3 ，・・・) 、つまり可算無限個の箱が、実現できないだろ？ 時枝の数列 (s1，s2，s3 ，・・・)は、可算無限長 ここから、sを取っても (1，2，3 ，・・・)は、可算無限長 1＜2＜3 ＜・・・（可算無限長） 　↓ 1∈2∈3 ∈・・・（可算無限長）（ノイマン構成で） となるよ（＾＾ それが、理解出来てないのか？ それじゃ、時枝記事が理解できてないってことだよ！ｗ お主！！ｗｗ（＾＾； （参考） 箱入り無数目を語る部屋 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/1-2 箱がたくさん，可算無限個ある. 実数列の集合 R^Nを考える. s = (s1，s2，s3 ，・・・) (引用終り) 以上 899 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/11(火) 06:41:24.55 ID:U9PlktVe.net] >>809 なんか どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと 立場が逆転している気がするけど お主のあたま大丈夫か？ 数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾； 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 07:50:17.21 ID:/Ud ] [ここ壊れてます] 901 名前：ufGBx.net mailto: >>809 > 1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ 数直線上で全ての自然数に対応する 0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは 区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ [] [ここ壊れてます] 902 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 10:07:43.23 ID:tve+0lLS.net] >>810 キミの悪い癖ですね。 論理で反論できないと中傷に走る。 それ、早く治した方が良いぞ？ 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 10:15:45.27 ID:CfuEXmYl.net] >>804 >さて、連番を横に並べる >1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） >この列は上述の如く、全ての自然数を渡る無限列でなければならない ここまではOK さて >ここに不等号＜を入れる >1＜2＜・・＜n＜・・＜∞ >となる これはNGね もし 1＜2＜・・＜n＜・・ だったら、OKだったんだが その後ろに、とってつけたように <∞をつけた瞬間、NG 何がNGか、わかるかい？パクチー君 「<∞」の左の項が具体的に書けないだろ 数学ではそういう誤魔化しをしたらダメ ♪ダーメダメダメ、ダメ人間、ダーメニンゲーン >不等号＜を∈に換える >1∈2∈・・∈n∈・・ >この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり これはOKだが・・・ >1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である これはNG つまり安直に「∈ω」をつけたらダメなんだ どうしてそんな簡単なことが分からないかな　パクチー君はｗ 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 10:18:53.93 ID:CfuEXmYl.net] >>807 ＞落ちこぼれさんが何を言おうと ＞「∈ωの左は何か？」 ＞に答えられない時点で独善妄想に過ぎません。 ＞∈列なのにある特定の項が何であるか答えられない？そんな馬鹿な 点の羅列と、＜列、∈列の違いがないと思う パクチー◆yH25M02vWFhP君には ホント困りましたね　┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ 905 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 10:21:23.40 ID:T66wl5d3.net] >>810 >数直線上で全ての自然数に対応する 0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは >区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ 合っているよ。下記の極限順序数に記載の通り 小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n（>>809より）で この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき nは、すべての有限自然数を渡り、そして 極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。 例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。 順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。 フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。 特徴付け 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 性質 極限順序数はこの種の手続きにおいてある種の「転換点」を表している（そこでは、それより前の順序数すべての合併をとるなどの極限操作が用いられなければならない）。原理的には、極限順序数において何かする際に、合併をとることは順序位相における連続写像であり、これはふつうは好ましい性質である。 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 10:25:47.59 ID:CfuEXmYl.net] >>809 >数直線を考える >------------------------ >↑　↑　　↑　・・→↑ >0.9 0.99 0.999・・→ 1 >数直線上に >0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る >小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n >lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1 ここまではOK さて >もし、1-1/10^n＝1が実現するならば 実現しませんよ >n→∞ でなければならない 意味不明 >数直線上には、1が存在するので >それに対応するのは、n→∞ で、 正しくは lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1 です 省略するから🐎🦌になるんだよ パクチー君ｗｗｗ >簡単にn＝∞と書いても良いだろう ダーメｗ ∞という自然数は存在しません lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1　は 「1-1/10^nにｎに∞を代入したら１になる」 という意味ではありません どうしてそういう🐎🦌読みするの？ あんた高校どこ？　普通科じゃないだろ？　どこの工業高校？ 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 10:29:42.93 ID:CfuEXmYl.net] >数直線上で全ての自然数に対応する >0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは >区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ まったく、その通り 908 名前：ですね U_n=[0,0.9･･･(n個)･･･9]　として U=∪(n∈N)　U_n　を考えたとき U＝[0,1)　であって、 0.999･･･(無限個)は　Uの要素ではありませ~ん パクチー◆yH25M02vWFhP君、ざんね~ん [] [ここ壊れてます] 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 10:36:14.86 ID:CfuEXmYl.net] >>815 >小数n桁 0.99・・＝1-1/10^nで 然り >この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき >nは、すべての有限自然数を渡り、そして >極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです あー、哀れな素人安達弘志クンの敵そのものズバリですね 数学者は上記のような🐎🦌発言は絶対にしませんがｗ つまり 「０から１づつ加えるだけでωに至る」 というのが🐎🦌 数学者ならこういう 「０から１づつ加えてできたどんな自然数ｎもωより小さい」 もしパクチー君が 「ん？まったく同じじゃん！何がどう違うんだ？」 というなら、数学は無理だから即刻辞めてニュー速板で 「ニッポンバンザイ！！！オリンピック開催絶賛希望！！！」 とわめいてください　🐎🦌は数学板には要りませんから~　残念！ 910 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 10:56:11.43 ID:tve+0lLS.net] >>809 またまた0点で落第です。 大学数学に入門を拒否された落ちこぼれさんは初歩の初歩も分かってませんね。 >0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る 0.9, 0.99, 0.999,… のどの項も1より小さい。 >もし、1-1/10^n＝1が実現するならば 実現しません。 >n→∞ でなければならない 極限が1であることは1-1/10^n＝1が実現することを意味　し　ま　せ　ん。 極限の定義を理解しないからいつまでも何度でも間違える。 >数直線上には、1が存在するので はい。 >それに対応するのは、n→∞ で、簡単にn＝∞と書いても良いだろう ダメです。 極限の定義を理解しましょうね、落ちこぼれさん。 >そもそもが、 >1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ 最大の自然数は存在しません。 >これが、実現できないならば >時枝記事の下記の s = (s1，s2，s3 ，・・・) 、つまり可算無限個の箱が、実現できないだろ？ 無限列に最後の項＝最大の自然数番目の項が無いだけですね。 そのようなものの存在を仮定していないので何の問題もありません。 >1∈2∈3 ∈・・・（可算無限長）（ノイマン構成で） >となるよ（＾＾ だから∈無限上昇列は存在すると最初から言ってるじゃないですかｗ >それじゃ、時枝記事が理解できてないってことだよ！ｗ >お主！！ｗｗ（＾＾； 無限列に最後の項が存在すると思ってるキミがねｗ 911 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 11:18:39.49 ID:tve+0lLS.net] >>815 >この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき なりません。nが自然数なら1-1/10^n<1。 >nは、すべての有限自然数を渡り、そして >極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです（＾＾ ωに到達する直前は何？ キミこの問いからずーーーーーーーーーーーーーーーーっと逃げ続けてるんだけど、そろそろ答えてもらえる？ ω以下の順序数を網羅した 0<1<…<ω なる<列が存在するとする限りこの問いから逃げられないよ？ トンデモさんの共通点：都合の悪い問いから逃げ続ける 912 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 11:24:33.68 ID:tve+0lLS.net] >つまり >「０から１づつ加えるだけでωに至る」 >というのが🐎🦌 落ちこぼれさんは「極限順序数は後続順序数ではない」がどうしても理解できないようですね 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 11:53:38.97 ID:T66wl5d3.net] >>809 補足 小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n で 0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1 　↓↑ 1　　 2　　 3　　・・・→ ω（＝N by ノイマン） 不等号＜を入れると 0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1 　↓↑ 1　＜ 2　＜ 3　＜　・・・＜ω（＝N by ノイマン） 不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾ 「1＜　 2＜　　 3＜　　・・・＜ω」 も同じだよ この話は、∞（＝ω）と同じでね 拡大実数とか射影の無限遠点とか、あるいは数直線のコンパクト化と同じだよ なんか どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと 立場が逆転している気がするけどｗ ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾； 参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0 拡大実数 通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6 射影幾何学 初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。 つづく 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 11:54:52.69 ID:T66wl5d3.net] >>822 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93 射影空間 とは、その次元が n 915 名前：であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。 コンパクト性 体 K が実数体 R または複素数体 C であるとき、これらの位相から定まる位相（ユークリッド位相・古典位相）に関して、射影空間 KPn はコンパクトなハウスドルフ空間である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96 コンパクト化 一点コンパクト化の例 ・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。 (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 916 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 12:05:11.98 ID:tve+0lLS.net] >>822 >不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ できたなら早く＜ωの左を答えて 917 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 12:16:01.55 ID:tve+0lLS.net] >>823 >・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。 最大元ωを付け加えようが、1　＜ 2　＜ 3　＜　・・・＜ω なる<無限列は存在しない。 証明は>>808。 証明まで書いてやったのに理解できない落ちこぼれに数学は無理。 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 16:39:46.85 ID:CfuEXmYl.net] >>822 >0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1 >　↓↑ >1　　 2　　 3　　・・・→ ω（＝N by ノイマン） これはOKとしても >不等号＜を入れると >0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1 >　↓↑ >1　＜ 2　＜ 3　＜　・・・＜ω（＝N by ノイマン） これはNGな ＜をいれるときに、つねに左右が確定しているか見ような 何も見ずに漫然と＜いれたら🐎🦌だよ　パクチー君ｗ >不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ できねえよ　ついでにいいかげん「加算」じゃなく「可算」だって気づけよ この思考能力ゼロの🐒のパクチーがｗ >まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾ いや否定ｗ 無限列否定　ホント、パクチーだよな貴様 「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ >「1＜　 2＜　　 3＜　　・・・＜ω」 >も同じだよ これまた同じく全面否定 「1＜　 2＜・・・＜n＜ω」（有限列）にしかなんねぇってｗ >この話は、∞（＝ω）と同じでね >拡大実数とか射影の無限遠点とか、 >あるいは数直線のコンパクト化と同じだよ パクチー、「コンパクト」を全然理解してねぇだろｗ 1,2,3,…,ω　の開被覆が何で有限個か分かってないだろ ωを覆うどんな「開集合」も、ωに近い無限個の自然数を覆うんだよ それは１からωに至る＜や∈の列が有限列になる、というのと同じこと パクチーの主張は、コンパクト化を全面否定する 「トンデモ数学」なんだよｗｗｗ 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 16:44:22.51 ID:CfuEXmYl.net] >>822 >・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は > N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。 >>825 >最大元ωを付け加えようが、1　＜ 2　＜ 3　＜　・・・＜ω なる<無限列は存在しない。 つーか>>826にも書いたけど 1　＜ 2　＜ 3　＜　・・・＜ω なる<無限列　が存在したら N ∪ {ω}の順序位相のコンパクト性が完全否定されるってｗｗｗ パクチーは「コンパクト」もわからん人間失格の🐒ｗｗｗｗｗｗｗ 920 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 17:19:10.29 ID:T66wl5d3.net] >>808 (引用開始) 0∈1∈…∈n∈ω は有限列。 証明 0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。 (引用終り) それ、まさに、下記 田畑 博敏氏にある ”P2 1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限”で論じられていることが当てはまると思うよ つまり、「「有限性j は第一階論理の言語で表現できない」と論じられていること 「丁度 n個の対象が存在する」という話をしているだけ 言い換えると、「有限ｎ」を仮定して、「0∈1∈…∈n∈ω は有限列」を結論付けている 即ち、「有限ｎ」を仮定して、「ｎ＋2個の列が有限」を導いただけのこと なんの証明にもなっていない（実に自明も自明なトリビア命題）と思うよ （そもそも、nに上限が無い以上、レーベンハイム・スコーレム定理の上方部分が当てはまるだろう？（下記）） お主、数学科出身を名乗らない方が・・（＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 レーヴェンハイム–スコーレムの定理 正確な記述 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一 921 名前：部とする場合もある。 https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/ja/search/p/162/item/3576?sort=id%3Ar 鳥取大学研究成果リポジトリ https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/files/public/0/3576/20180622154809831908/tuecb6_1.pdf 第一階論理の特徴 著者 田畑 博敏 鳥取大学教育センター KAKEN 鳥取大学教育センター紀要. 2009, 6, 1-14 フルテキストファイル つづく [] [ここ壊れてます] 922 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 17:19:48.66 ID:T66wl5d3.net] >>828 つづき P1 はじめに 第一階論理には表現できることとできないことがある（その代表的な例を第 1節で見る）。しか し、制約があるとはいえ、第一階論理は、よく研究されている多くの数学的な構造を、公理と呼ば れ構造を定義する有限個の文の集合を与えることで、充分よく表現する能力を持つ（第2節）。その ような第一階論理には、これを形式的体系と見たとき、さまざまなメタ定理が成り立つ。このこと も、第一階論理の特徴の一つで、ある。特に、コンパクト性定理は、第一階論理の言語としての表現 能力に関わり、例えば、「有限性j や「無限性j といった性質の公理化可能性（＝定義可能性）に直 結する（第 3節）。しかし、レーベンハイム・スコーレム定理というメタ定理は第一階論理の表現力 の弱さ・欠点ともみなされる一方で、このメタ定理から帰結する非標準モデ、／レに関わる多様な結果 は、論理の方法が持つ有効性を実証するものである（第 4節）。以下では、このような形で、第一階 論理の著しい特徴のいくつかを取り上げ、それらの哲学的意義を考察する。 P2 1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限 以上の二つの数概念、すなわち、「少なくとも n個の対象が存在する」という概念と「たかだ、か n 個の対象しか存在しない」という概念を用いて、すなわち、それらの表現を連言で結合することに より、 「丁度 n個の対象が存在する」という概念を、φn∧χnとして表現できる： φn∧χnヨyIヨy2…ヨYn∧1≦i＜j≦n yi≠yj 　　∧∀x0∀x1…∀xn∨0≦i＜j≦n Xi=Xj 言い換えると、有限の個数についての概念を第一階論理は表現できる。「丁度 n個の対象の存在」 を表現するとき、具体的に数値を決定していないとはいえ、「n個Jの‘n’はあくまで一定の、固 定された有限の数が意図されている。従って、有限性そのもの（有限性一般）を表現している訳で はない。 つづく 923 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 17:20:23.15 ID:T66wl5d3.net] >>829 つづき では、「有限性j は第一階論理の言語で表現できるのか。これはできないこと、たとえ無限 個の論理式を使ってもできないこと、が分かつている。さらに、「無限性」はどうか。 f無限個の多 くの対象が存在するj ということを、無限個の定項を援用し、無限個の論理式を用いれば表現でき る。定項を援用しないで純粋に論理的な言語で無限性を表現する方法として、よく知られたデデキ ントの定式化がある。すなわち、ある集合（領域） Aが無限である（無限の要素を含む）とは、 A から A自身の真部分集合の上への（＝その部分集合全体をカヴァーする）単射（異なる要素を異な る要素へと移す写像＝ 1価関数）が存在する、というのがその定義の仕方である。 Aが有限集合で あれば、 Aの真部分集合の要素の個数は A自身の要素の個数より小さくなる� 924 名前：ｩら、対応させる先の 要素の個数が少なくなってしまうのととろが、単射は定義域の要素の「多さかげんj をそのまま保 って対応させるから、有限集合の相手先の要素の数が足りず、重複せざるを得ない。よって、単射 は存在しえない。そういうことができるのは無限集合にかぎる。そこで、これが無限集合たること （「無限性J）の定義と見なされる。しかし、これを表現するには、一階の論理言語ではできない。 全称記号‘ V’を関数（または関係）記号にも作用させる二階の量化が必要があり、（少なくとも） 二階の論理言語に訴えざるを得ないからである。 P11 4.レーペンハイム・スコーレム定理 いくつかの理論は必ず無限モデルを持つ。すなわち、それらの理論は、領域の要素（＝個体、対 象）の個数が有限であるような構造では、真とならない（成り立たない）のである。ところが、レ ーベンハイム・スコーレム（Lowenheim-Skolem）定理によれば、無限モデルを持つ理論で、カテゴ リカル（範購的）であるような、そういう理論が存在しなくなる。理論がカテゴリカルであるとは、 それらのそデ、ルで、ある構造が同型で、ある（isomorphic：構造の領域の問に関係を保存するようなパ イジェクション＝全単射の写像が存在する）ということであるが、そのためには、構造の領域の基 数が等しくなければならない。しかし、レーベンハイム・スコーレム定理によれば、無限モデ、ルを 持つ理論においては、異なる無限基数を持つ複数のモデルが必ず存在する。従って、それらのモデ ルの間に、同型写像は存在しえず、理論はカテゴリカルではありえない。 つづく [] [ここ壊れてます] 925 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 17:20:53.80 ID:T66wl5d3.net] >>830 つづき 実数の代数の分野で、そのような新しい非標準モデルを研究する分野として創始されたのが非標 準解析である。これは、ライプニッツの無限小解析の夢を実現したものと見なせる。従って、非標 準解析は、第一階論理の持つ柔軟性という長所がもたらした成果である。しかし、 s.シャピロの意 見では、上方および下方のレーベンハイム・スコーレム定理が成り立つことは、第一階論理の欠点 (defect）である（5）。なぜなら、任意の無限基数孟を持つモデルが文の集合に対して存在するが、 これらのモデルは文の集合の意味を確定することができないからである。 (引用終り) 以上 926 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 18:26:08.73 ID:tve+0lLS.net] >>828 >言い換えると、「有限ｎ」を仮定して、「0∈1∈…∈n∈ω は有限列」を結論付けている は？？？ >>808のどこにも「nは自然数であることを仮定」なんて書かれてないんですけど？ キミが勝手に「nは自然数」という先入観で誤読してるだけでは？　大丈夫？　しっかりしてね 927 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 18:28:32.30 ID:tve+0lLS.net] >>828 >なんの証明にもなっていない（実に自明も自明なトリビア命題）と思うよ なんの指摘にもなってないよ？ 当たり前、誤読しておいて指摘になるはずが無いよねｗ 928 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 18:54:05.37 ID:tve+0lLS.net] 極限順序数は後続順序数ではない。 これに尽きるね。 ω以下の順序数をすべて並べようとしても、ωの前者は存在しません。 存在しなければ並べられませーーーーん　残念！ なんで落ちこぼれくんはこんな簡単なことが理解できないんでしょうね。サル並みの頭脳だから？ 929 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 19:11:38.63 ID:tve+0lLS.net] >>830 >4.レーペンハイム・スコーレム定理 いや、キミ、レーペンハイム・スコーレム定理理解してないから。 レーペンハイム・スコーレム定理によって極限順序数が後続順序数になるとしたら数学は只のカオスだからｗ 930 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/11(火) 21:08:42.60 ID:U9PlktVe.net] >>826 (引用開始) >まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾ いや否定ｗ 無限列否定　ホント、パクチーだよな貴様 「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ (引用終り) なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾ 屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾； 下記の有理数の稠密性（高校数学の美しい物語など）と 有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から 可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ〜！ｗ それ知らないの？ お主は、数学科出身を名乗らない方がいいぞぉ（＾＾； （参考） https://manabitimes.jp/math/1298 高校数学の美しい物語 有理数と無理数の稠密性 更新日時 2021/03/07 � 931 名前：C意の実数 a,b(a<b) に対して， a< q< b を満たす有理数 q が存在する（有理数の稠密性）。 a< x< b を満たす無理数 x が存在する（無理数の稠密性）。 目次 稠密性 有理数の稠密性の証明 無理数の稠密性の証明 稠密性と完備性 稠密性 「稠密」の読みは「ちゅうみつ」です。「どれだけ狭い幅の区間を取ってきてもその間に要素が存在する」「ギッシリ詰まっている」ということです。 この記事では有理数の稠密性と無理数の稠密性を証明します。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0 有理数 基本性質 Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。 つづく [] [ここ壊れてます] 932 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/11(火) 21:09:44.95 ID:U9PlktVe.net] >>836 つづき 位相的性質 有理数の全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の（つまり、一次元ユークリッド空間 R1としての）距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。 有理数の全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どのような実数に対しても、そのいくらでも近くに有理数が存在するということを意味する。これは距離空間として以下のように述べることもできる。 有理数の全体 Q は、差の絶対値 d(x,y):=|x-y| を距離函数として距離空間となる。この距離により Q に位相が誘導されるが、それは R1 からの相対位相に他ならない。こうして得られる距離空間 (Q, d) は完全不連結である。また、完備距離空間とはならない。実は距離 d(x, y) := |x - y| による Q の完備化として、実数全体の集合 R が得られる。 この位相に関して有理数体 Q は位相体を成す。有理数全体の成す位相空間 Q は局所コンパクトではない空間の重要な例となっている。また唯一、孤立点を持たない可算な距離化可能空間となるものとして Q を特徴付けることができる。 一方、Q を位相体とするような Q 上の距離は、これだけではない。 p-進距離と呼ばれる Q 上の距離函数を定める。距離空間 (Q, dp) はやはり完全不連結であり、完備ではないが、その完備化として p-進数体 Qp が得られる。 オストロフスキーの定理によれば、Q 上の非自明な絶対値は同値の違いを除いて通常の絶対値か p-進絶対値で尽くされる。 つづく 933 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/11(火) 21:10:06.02 ID:U9PlktVe.net] >>837 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88 位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、英: dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう[1]。イメージで言えば、X の各点が A の中か、さもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、有理数は実数の稠密集合である。なぜなら任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができるからである（ディオファントス近似も参照）。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9 集積点（しゅうせきてん、英: accumulation point）あるいは極限点（きょくげんてん、英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。 極限点の種類 ・x を含む任意の開集合が無限に多くの S の点を含むとき、集積点 x を特に S の ω-集積点 (ω-accumulation point) という。 ・x を含む任意の開集合が非可算無限個の S の点を含むとき、集積点 x を特に S の凝集点 (condensation point) という。 (引用終り) 以上 934 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 21:27:23.56 ID:tve+0lLS.net] >>836 >有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から >可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ〜！ｗ じゃあQの元をすべて並べて＜列を作った時、0の次の元は何？ 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/11(火) 21:50:53.20 ID:CfuEXmYl.net] >>836-838 見当違いなコピペで誤魔化したら🐎🦌だよ ピンポイントで順序位相でサーチできないパクチー君ｗ 順序位相 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 全順序集合 A に対し、無限半開区間全体の集合を準開基とする位相を 順序位相 (order topology) という。 もし、パクチー君のいう無限列が存在するなら、 N∪{ω}で、決して有限被覆がとれない開被覆が存在することになり コンパクト性が否定されるｗｗｗｗｗｗｗ 936 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/11(火) 22:04:41.68 ID:tve+0lLS.net] >>836 ω以下の順序数をすべて並べて＜列を作った時ωのひとつ前は何？ Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？ 逃げずに答えて下さいねー >なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾ >屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾； それがキミだよ落ちこぼれクンｗ 937 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/12(水) 00:06:52.38 ID:4O3CktwN.net] >>836 補足 おサルは数理のセンスが、悪すぎ なさ過ぎ（＾＾ 「有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）」くらい 当たり前というか、しっかり把握かつ理解できていないとね、まずいでしょうね それ出来てないと、代数学も解析学も集合論も、ちょっと怪しいんじゃね？　あなたの理解度は（＾＾； 数学科出身を名乗らない方が良いよ さて 高校数学の美しい物語に倣って、 命題（有理数の稠密性について）： 任意の有理数 a,b(a<b) で、区間(a,b)内に可算無限個の有理数が存在する （証明） 背理法による ・もし、区間(a,b)内に有限m個の有理数 q1<q2<・・<qi<qi+1<・・<qm しかないとする ・しかし、qiとqi+1の中間の(qi+ qi+1)/2 は、有理数であり、qi<(qi+ qi+1)/2<qi+1となるから矛盾 　「有限m個しかない」は否定され、可算無限存在することがわかる（可算は、Qが可算であることから従う） QED（＾＾ なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数） 　Δ＝(b-a)/pとして a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる pは、任意に大きく取ることができる 区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理）） よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる 上記は、有理数 a,b(a<b)だったが、実数 a,b(a<b)でも同様にできる 以上 938 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 00:19:14.75 ID:lS6zXTU5.net] >>842 >>841への回答になってないぞｗ　掠りもしてないぞｗ 落ちこぼれクン、またまた0点で落第でーすｗ 939 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 00:33:20.62 ID:lS6zXTU5.net] >>842 >区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理）） >よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる じゃあ不等号＜による可算無限列を、区間(-1,1)内に作って、0の次の有理数を答えて下さい。 不等号＜による可算無限列を任意の区間内に作ることができるんでしょ？当然答えられますよね？0の次の有理数。 940 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 00:34:38.79 ID:lS6zXTU5.net] >>842 ωの前者も忘れずに答えてね ゴマカシ、逃亡は勘弁して下さいね 941 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/12(水) 08:22:15.86 ID:4O3CktwN.net] なんか どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと 立場が逆転している気がするけどｗ （無限を認める派と、認めない派（＾＾ ） ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾； 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/12(水) 08:40:25.27 ID:WinvL7W0.net] >>846 >ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾； 数学を研究しない人が大部分を占める工学部の数学と数学科の数学は学習法も使い方なども違うから、 このようなセリフは数学を使用するだけの人がいっても殆ど意味ない。 工学部で代数は殆ど教えないし研究しないだろw 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/12(水) 08:49:02.23 ID:WinvL7W0.net] 教育のプロポーションにこだわって有理点　by 瀬田君 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/12(水) 09:18:29.84 ID:WinvL7W0.net] >>846 >Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？ >逃げずに答えて下さいねー この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。 Qの元をすべて並べて＜列を作ったとき、0の次の有理点 a∈Q が存在するとする。 有理数体 Q∋0、a の標数は0として考えているから、＜は有理数の大小関係を表す不等号の記号で 0＜a。 体Qは小学校で習う乗法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → ab∈Q と 加法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q について群をなすことに注意すれば、a/2∈Q。 有理数の大小関係から 0＜a/2＜a。よって、aは0の次の有理点ではなく矛盾が生じる。 だから、0の次の有理点aは存在しない。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/12(水) 09:22:07.88 ID:WinvL7W0.net] >>846 >>84 946 名前：9について 加法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q → 加法の二項演算 +：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q [] [ここ壊れてます] 947 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 09:48:33.50 ID:lS6zXTU5.net] >>846 いみふｗ 無限ぜんぜん認めてますけど？ 最後の項が有る無限列なんてものは存在しないと言ってるだけですけど？ いいから早く>>841に答えて下さいねー 948 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 09:57:30.57 ID:lS6zXTU5.net] ある特定の項が何であるか答えられないのに列を作ったと言えるんですか？ じゃキミの言う列って何？ 答えてね、落ちこぼれクンｗ 949 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 10:28:47.86 ID:my4JLb74.net] https://www.ningenkankeitukare.com/entry/12.html 950 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 11:31:43.51 ID:empbdNTV.net] >>849 スレ主です 私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから だが、実名が知れても何ら痛痒を感じない。正しいのは私ですから ところで >>Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？ >この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。 それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾ 「＜列」を、一般の順序に拡張すれば、直積集合 NｘNに順序を入れられるよ （詳しくは、wikipediaや、東北大 尾畑研をご参照） 下記高校数学の美しい物語 に倣えば Q +’を、0又は正の有理数として 0→0 1→f(1/1)=1 とすれば、0の次は1に出来るぞ！ｗｗ（＾＾； （参考） https://manabitimes.jp/math/925 高校数学の美しい物語 集合の濃度と可算無限・非可算無限 更新日時 2021/03/07 ・正の整数全体の集合と有理数全体の集合の濃度は等しい。 直感的には有理数の方が圧倒的にたくさんありますが，濃度という観点から見ると両者は同じなのです！ 大雑把な証明 正の有理数全体の集合 Q +​ と N の濃度が等しいことを言えばよい。 正の有理数 p/q を p+q を小さい順に並べて既約分数のみ残して番号を振っていけば， Q+ から N への全単射が構成できる： f(1/1)=1,f(1/2)=2,f(2/1)=3,f(13)=4, f(3/1)=5,f(1/4)=6,f(2/3)=7,・・・ 補足（図による説明） https://res.cloudinary.com/bend/f_auto,q_auto/shikakutimes/s3/bend-image/925_0_noudo-300x183.png ・正の有理数全体は図の黒い点全体 ・黒い点には（全ての黒い点に何らかの番号が対応するように）11 から順番に番号をつけていける →「正の有理数全体」と「正の整数全体」の間には一対一対応がある つづく 951 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 11:32:24.46 ID:empbdNTV.net] >>854 つづき www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 尾畑研 東北大 数学概論 2018 www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-7_kasan.pdf 第7章 可算集合 GAIRON-book : 2018/4/30(12:55) 7.4 可算集合の直積 定 理 7.14 直積 N × N は可算集合である. 証 明 補題 7.13 より明らか. 別証明 直積 N × N の元に通し番号を振ればよい. N × N の元 (x, y) を図 7.1 のように配列して, 矢印に沿って番号付けすることができる. (7.3) をカントルの対関数という. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序集合 直積集合上の順序 2つの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類がある。 ・辞書式順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a<c∧ (a=c∨ b≦ d) ・積順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a≦ c∨ b≦ d ・ (a,b)≦ (c,d)⇔ (a<c∨ b<d)∧ (a=c∨ b=d) 最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の半順序は、いずれも3個以上の半順序集合の直積に対しても同様に定義される。 体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれも再び順序線型空間となる。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Strict_product_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg/227px-Strict_product_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg.png N × N 上の直積狭義順序の反射閉包 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/N-Quadrat%2C_gedreht.svg/240px-N-Quadrat%2C_gedreht.svg.png N × N 上の積順序 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Lexicographic_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg/240px-Lexicographic_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg.png N × N 上の辞書式順序 (引用終り) 以上 952 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 11:48:11.33 ID:lS6zXTU5.net] >>854 >それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾ じゃあキミ、シッタカしないで0の次の有理数答えてねｗ どーして逃げ続けるの？ 953 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 11:51:27.99 ID:lS6zXTU5.net] >>854 キミさあ 訊いてることに答えず、訊いてないことばかり言うのやめてくれない？ 有理数Qが全順序だとか稠密だとか、そんなのみんな知ってるからドヤ顔で言わないでいいよｗ 954 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 11:54:59.84 ID:lS6zXTU5.net] 落ちこぼれクンは勝手に他人が馬鹿で自分が利口って妄想してるようだね その独善性はもう病気の域だね 訊いてないことばかり言って訊いてることに答えないのがその証拠 955 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 11:59:28.13 ID:lS6zXTU5.net] こちらが訊いてもいないことを嬉々として語り、訊いてることはスルー 落ちこぼれクンは言葉のキャッチボールができないコミュニケーション障害者かな？ 956 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 12:10:00.49 ID:empbdNTV.net] >>854 補足 追加資料 （参考） ysserve.wakasato.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node16.html Yasunari SHIDAMA 師玉康成 整列可能定理 以下の定理が知られています。 [ツェルメロの整列可能性定理] 　任意の集合$E$上に整列順序が存在する。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合 （選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。 例と反例 実数からなる集合 正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。 R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。 957 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 12:38:02.76 ID:hLYu4hOk.net] >>860 キミも分からん人やねえ。 キミが示すべきは0の次の有理数であって、誰も理屈を捏ねてくれなんて求めてない。 そのコミュ障早く治しなさい。治すまで書き込みは遠慮してもらえます？ 958 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 12:46:18.69 ID:hLYu4hOk.net] 私が間違ってました。有理数すべてを並べた<列を作ることは不可能でした。 と、素直に認めれば良いのに、なんで間違いを認められないんでしょうね。発達障害で精神が幼稚なまま大人になってしまったのかな？ 959 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 13:39:57.25 ID:hLYu4hOk.net] 0の次の有理数pが存在すると仮定。 p/2は有理数、且つ、0<p/2<pだから矛盾。 こんな簡単なことが何故分からないの？ 池沼？ 960 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 14:20:49.79 ID:empbdNTV.net] >>860 補足 追加資料 "実数の整列化について" と選択公理（＝整列可能定理） （参考） https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2250335.html 教えてgoo 実数の整列化について 質問者：kurororo質問日時：2006/07/02 04:29回答数：2件 　大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は 「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。（整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合）」 という内容でした。 　さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません（例えば開区間は最小数を持ちません）。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です。 　それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください。 No.2ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時：2006/07/03 02:32 連続濃度以上の集合に整列順序が存在することは、選択公理なしには証明できません（というより同値ですよね）。証明は抽象的構成を与えることですから、ある意味ではそれは不可能なわけです。といってしまうと身もふたもないですから、整列順序がどういうものかを納得するためにも雑な例をあげてみます。 整列順序というのは、ようするに最も小さい数があって、さらに各元に対して“次の数”が定まっているような順序です。たとえば自然数列{1,2,3,…}が典型です。実数に整列順序を入れてやりたければ、まず最小元を決めて、また各元に対して次の数を決めてやればいいのです。（しかしながら非可算個の元に対して次の元を指定するなんてことは人間には無理です（本当は可算無限個でも無理なんですけどね）） たとえば、{1,2,…,…,π,e,√2,√3,…,…,0,-1,-2,…}などという順序を考えてみましょう（左の方が小さいとする順序）。次の数さえ決まっていたらいいんです。だから上の順序は整列順序です。5の次は6だし、1兆3の次は1兆4です。πの次はeだし、eの次は√2です。0とか、πの一つ前の数字が気になったりしますが、整列順序というのはあくまでも一つ大きい数さえ決まっていたらいいんです。π^eがどこにあるかわかりませんが、それも適当に決めてやればいいのです。ようするに実数を思いついた順番にひたすら並べていけばいいのです（無限回！しかも非可算無限回！）それが整列順序というものです。 数学的帰納法ってあまり信頼がないですが、あれは自然数を一斉に順番に並べることができること（ペアノの公理）から由来する定理であって、整列可能定理というのはその非可算無限集合に拡張された超限帰納法に対応するものです。非可算無限個の元を順番に並べるという、とても有限の時間で人ができるわけがないことを考えているわけです。選択公理というのは、非空な集合の非可算無限直積から元が取れる、つまり非可算無限個の元をまったく同時に扱える、ということを主張する公理なので、そりゃあそんなこと認めてしまえば、整列順序なんて作れるよね、とそんな気がしてきませんか？（すべての実数に対してその次の数を考えてやるだけで整列順序ができるわけだから！） つづく 961 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 14:21:28.83 ID:empbdNTV.net] >>864 つづき No.1 回答者： kabaokaba 回答日時：2006/07/02 14:51 「存在が証明される」のと 「具体的に構成する」というのは 別のものです 後者ならば前者は成立しますが 逆は成立しません． ぶっちゃけた話，物理なんかでも 「理論的に予言されたものを みんなで必死に探す」なんてことはよくありますね ＃逆のパターンも当然ありますが． 小柴先生のカミオカンデだって， 素粒子の質量の話だって， 古くは湯川先生の中間子だってそーいう流れでしょう 962 名前：． 相対論もそーいう流れのはず． 数学だと，正65537角形は作図可能ですけど この作図の工程を具体的に示すのは できないでしょう（もしかすると もう誰かが具体的な書き方を見つけてるかも） そもそも整列可能定理は選択公理と同値なわけで 整列可能な順番を目に見える形で 構成できたとすれば それは選択公理を「構成」したこと すなわち「証明」したことになりませんか？ この整列可能定理は選択公理の一種の 異質さというか危うさというかを 際立たせる意味合いもあると解釈すべきだと 思いますがどうでしょうか (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 963 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 14:49:49.17 ID:hLYu4hOk.net] >>864 そんな屁理屈は通りませんよ？ 何故ならあなたは > よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる と言いました。 列が存在する　ではなく　列を作れる　と。 しかし列は存在しないし作れない。 証明は>>863 こんな簡単極まりない証明が理解できない池沼に数学は無理なので諦めましょう。 964 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 14:58:35.10 ID:hLYu4hOk.net] 有理数をすべて並べた<列は存在しない。 存在するとの仮定から直ちに矛盾が導かれる。 こんなん大学数学の初歩の初歩の初歩。入門レベルですらない。 さすがに大学一年4月に落ちこぼれた落ちこぼれクンは違いますねw 965 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 15:02:19.63 ID:hLYu4hOk.net] まあ落ちこぼれクンが阿呆なのは周知の事実ですが、彼の異常性は間違いを決して認められないこと。精神の発達が止まってしまう発達障害なんでしょう。 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/12(水) 15:23:38.30 ID:yt2Vo9CC.net] >>854 >私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから 意味がよく分からないが、もし>>848のことを指していっているなら、 >教育のプロポーションにこだわって有理点 というのは或る意味事実だよ。実際に、教える側は黒板で習う側は黒板を見る側に、 というような感じで熱心に講義するときの姿勢にこだわっている人がいる。 まあ、君がコピペしたことがある人の中にいる。 そのようなことを知っている人はかなりいると思う。 967 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 16:47:24.08 ID:empbdNTV.net] >>869 どうも、スレ主です >>教育のプロポーションにこだわって有理点 >というのは或る意味事実だよ。実際に、教える側は黒板で習う側は黒板を見る側に、 言っている意味が分からない 「教育のプロポーション」の定義は？ 有理数の稠密性とか、実数の連続とか 昔の高校では普通だった気がするよ （最近のゆとりは知らんけどね） 大学への数学にも、普通に書いてあったと思ったけど それでないと、高校で微積やれんでしょう？ 勿論、大学での扱いは別としてもね（＾＾ 968 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 17:04:04.22 ID:empbdNTV.net] >>867 >有理数をすべて並べた<列は存在しない。 >存在するとの仮定から直ちに矛盾が導かれる。 そんなバナナｗ（＾＾ 全順序（total order）と、整列順序 (well­order)の区別が付いていないのか？（下記） （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F 全順序 全順序（total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。 単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。 集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 例 実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。 ・N は上界を持たない最小の全順序集合である。 ・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。 ・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在する 969 名前：ことを言う。 ・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。 ・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合（well­ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well­order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。 (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 970 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 17:16:48.02 ID:empbdNTV.net] >>860 補足 追加の追加 （参考：英語版）（＾＾ https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order Well-order Examples and counterexamples Reals The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wacław Sierpiński proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists—for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set. つづく 971 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 17:17:28.14 ID:empbdNTV.net] >>872 つづき An uncountable subset of the real numbers with the standard ordering ≦ cannot be a well order: Suppose X is a subset of R well ordered by ≦. For each x in X, let s(x) be the successor of x in ≦ ordering on X (unless x is the last element of X). Let A = { (x, s(x)) | x ∈ X } whose elements are nonempty and disjoint intervals. Each such interval contains at least one rational number, so there is an injective function from A to Q. There is an injection from X to A (except possibly for a last element of X which could be mapped to zero later). And it is well known that there is an injection from Q to the natural numbers (which could be chosen to avoid hitting zero). Thus there is an injection from X to the natural numbers which means that X is countable. On the other hand, a countably infinite subset of the reals may or may not be a well order with the standard "≦". For example, ・The natural numbers are a well order under the standard ordering ≦. ・The set {1/n : n =1,2,3,...} has no least element and is therefore not a well order under standard ordering ≦. Examples of well orders: ・The set of numbers { - 2^-n | 0 ≦ n < ω } has order type ω. ・The set of numbers { - 2^-n - 2-m-n | 0 ≦ m,n < ω } has order type ω2. The previous set is the set of limit points within the set. Within the set of real numbers, either with the ordinary topology or the order topology, 0 is also a limit point of the set. It is also a limit point of the set of limit points. ・The set of numbers { - 2^-n | 0 ≦ n < ω } ∪ { 1 } has order type ω + 1. With the order topology of this set, 1 is a limit point of the set. With the ordinary topology (or equivalently, the order topology) of the real numbers it is not. (引用終り) 以上 972 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 18:03:22.00 ID:+hpbejsk.net] >>871 > そんなバナナｗ（＾＾ バカは整列順序も全順序も全く分かってないキミだよ落ちこぼれクン。 >全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記） いや、問題はそんなとこじゃぜんぜんないから。キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。理解してたらそっちのルートは諦めるw 極めて単純且つ完璧な証明>>863が理解出来ない事がさらなる問題w これ理解出来ないようじゃ人間辞めた方が良いよ。 973 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/12(水) 18:35:19.29 ID:empbdNTV.net] >>874 >>全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記） >いや、問題はそんなとこじゃぜんぜんないから。キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。理解してたらそっちのルートは諦めるw >極めて単純且つ完璧な証明>>863が理解出来ない事がさらなる問題w あやや？ 「完璧な証明>>863」？ （>>863より） 0の次の有理数pが存在すると仮定。 p/2は有理数、且つ、0<p/2<pだから矛盾。 (引用終り) これで 「0の次の有理数pが存在すると仮定」って そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で わざわざ証明するまでもないよねｗ なんか証明した気になっているのかね？ おぬし はてさて、 意味不明だな（＾＾ 974 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 18:36:57.11 ID:+hpbejsk.net] > キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。 これ、キミにはどういうことかちんぷんかんだろうね。 「整列集合Xの元すべてを含む<列が存在する」 これがキミの主張だろ？ じゃあ自力でもコピペでもいいから証明してごらん。 絶対無理だと思うけど。偽だからw 975 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 18:42:42.17 ID:+hpbejsk.net] >>875 > そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で じゃ全ての有理数を含む<列は存在しないねw キミ、自分が何言ってるか分かってる？w 間違いを認めたって事でおk？ 976 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 19:44:43.72 ID:+hpbejsk.net] キミ自分の投稿忘れたの？ >>836 >有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から >可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ〜！ｗ これが間違いと認めるの？　y/n 977 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/12(水) 21:06:07.23 ID:4O3CktwN.net] >>875 補足 なんか、分かってないね （下記より） ・整列集合：集合 S 上の整列順序関係 (well­order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう 　つまり、全順序に「必ず ≦ に関する最小元をもつ」という条件を加えたもの ・全順序：線型順序、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である 　「集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである」 ”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目 任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合（well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F 全順序 単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。 集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである： 反対称律：a ≦ b かつ b ≦ a ならば a = b 推移律：a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c 完全律（比較可能）：a ≦ b または b ≦ a の何れかが必ず成り立つ 反対称性によって a < b かつ b < a であるという不確定な状態は排除される[1]。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係で比較可能（英語版）であることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。また完全性から反射性 (a ≦ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。 (引用終り) 978 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/12(水) 21:12:02.37 ID:4O3CktwN.net] >>879 補足 >”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目 >任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾ ”X の任意の(3つの)元 a, b, c に対して" 成り立つってことは つまり、X の全ての3つ組に対して成立するってこと それって、集合X全体って意味ですよ！ｗ（＾＾ 集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾； 979 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 21:55:44.55 ID:lS6zXTU5.net] だからいいんだけど ０の次の有理数を早く答えてよｗ 980 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/12(水) 22:49:21.42 ID:lS6zXTU5.net] >>880 >集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾； と > そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で は矛盾じゃないの？ｗ 馬鹿だから分からない？ｗ 馬鹿は楽でいいねーｗ 981 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/13(木) 07:39:56.93 ID:0t/ScuZ1.net] >>842 補足 (引用開始) なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数） 　Δ＝(b-a)/pとして a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる pは、任意に大きく取ることができる 区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理）） よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる (引用終り) ＜ガロアすれ流の有理数Qの稠密性定理＞ 定理：上記の区間(a,b)をp等分してできる集合を、Ap＝{a+Δ,a+2Δ,・・,a+(p-1)Δ}とする A：＝∪Ap 但し、p∈N(0と1を除く(2等分以上を考える)) とすると 集合Aは、区間(a,b)に含まれる有理数を表す 区間(a,b)は任意であり、 この区間にAなる無限の有理数の集合を含む（有理数Qの稠密性） (証明) 1．区間(a,b)は、平行移動できるので、計算の簡単のためにaを原点に移して、区間(0,e)で考える 　e＝b-aである 2．区間(0,e)に含まれる有理数をA’と書く 　A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い 3．区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A’を考える 　c＝c1/c2と表す。また、e＝e1/e2と表す 4．そこで、p=c2・e1 ととれば、c∈Apとなることを示す 　区間(0,e1/e2)をp(＝c2・e1) 等分するので、 　区間の長さの分割単位Δ＝(e1/e2)/p＝1/(c2・e2)となる 　とすると、c＝c1/c2は、c：＝c1・e2Δと表すことができる 　即ち、c1・e2Δ＝c1・e2(1/(c2・e2))＝c1/c2＝c を導くことが出来る 5．よって、区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A示せたので 　A’⊂Aであり、A’⊃Aであった(上記2項)から、A’＝A成立！ QED この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、 「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う 区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても 逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる 即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾ 以上 982 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/13(木) 07:44:27.98 ID:0t/ScuZ1.net] >>883 訂正 　A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い 　　↓ 　A’＝Aであることを、示す。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い 分かると思うが念のため（＾＾； 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/13(木) 08:49:15.21 ID:7a7PbqY8.net] >>879 >なんか、分かってないね それは雑談君、君だよキミ >・整列集合：集合 S 上の整列順序関係 (well­order) とは、 >S 上の全順序関係 "≦" であって、 >S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう >つまり、全順序に「必ず ≦ に関する最小元をもつ」という条件を加えたもの 上記は、「任意の元にかならず後者が存在する」と同じ 但し、整列順序に「必ず ≦ に関する最大元をもつ」という条件はない つまり、「任意の元にかならず前者が存在する」とはいえない たとえば、ωに前者は存在しない したがって、ω＞ｎとなるいかなるｎも ω＞ｍ＞ｎとなるｍが、必ず存在する（しかも無限に） そしてωから０にいたる＞降下列はかならず有限である （一方で、いくらでも長い（有限の）長さの＞降下列が存在する） いっとくけど、Ｑに関する通常の順序は全順序だけど整列順序ではないよ Ｎと同値な整列順序構造を新たに導入することはできるけど その場合、Ｑのいかなる要素もあるＮの要素に対応するので キミがいうωにあたる元はない ま、むりやり作ってもいいけど、そうしたところで無限降下列はできないよ　 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/13(木) 08:56:06.90 ID:7a7PbqY8.net] >>883 ＞有理数Qの稠密性定理 もしかして 「Qは整列順序です！！！」 とかドヤ顔で語ってる？ 雑談君はパクチー🐎🦌野郎かな？ 985 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 11:07:42.22 ID:F3DpW0Ek.net] >>883 なんで>>882から逃げるの？ 間違いを認めるのがそんなに嫌？ 986 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/13(木) 11:50:31.70 ID:uhdqO0QU.net] >>871 補足 ＜整列順序と全順序の意味分かってない！＞（＾＾ １．整列順序とは、全順序であって、任意の部分集合が極小元を持つ ２．従属選択公理（選択公理でも）を使えば、「関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる」 ３．全順序とは、「元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である」 ４．実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる 　従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる ５．当然、R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって、無限降下列も、あるいは無限上昇列も持つ 　なお、有理数全体の成す集合 Qは、可算無限に限られる ６．自然数全体の成す集合 Nは、整列順序であり、最小限を持ち、降下列は有限である ７．しかし、N∪ωを考えると（wiki/Well-founded_relationより）”Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer. 　Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.” 　つまり、N∪ωでは、「∀降下列は、有限」が不成立（詳しくは下記英文嫁め） （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。 つづく 987 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/13(木) 11:52:00.30 ID:uhdqO0QU.net] >>888 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 二項関係が整礎（well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。 定義 集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。）つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば ∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R). X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。 順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。 集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。 整礎でない関係の例 ・負整数全体 {?1, ?2, ?3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。 ・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。 （上記「∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R)」関連は英文で分かり易く加筆されているね ） https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. つづく 988 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/13(木) 11:52:55.24 ID:uhdqO0QU.net] >>889 つづき In other words, a relation is well founded if (∀S⊆ X)[S≠ Φ ⇒ (∃m∈ S)(∀s∈ S)¬(sRm)]. Other properties If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer. Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n. The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈). つづく 989 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/13(木) 11:53:21.57 ID:uhdqO0QU.net] >>890 つづき （>>871より再録） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F 全順序（ぜんじゅんじょ、英: total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。 元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。 例 実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。 ・N は上界を持たない最小の全順序集合である。 ・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。 ・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在することを言う。 ・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。 ・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。 (引用終り) 以上 990 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/13(木) 12:06:04.31 ID:uhdqO0QU.net] >>879-880 補足 (引用開始) >”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目 >任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾ ”X の任意の(3つの)元 a, b, c に対して" 成り立つってことは つまり、X の全ての3つ組に対して成立するってこと それって、集合X全体って意味ですよ！ｗ（＾＾ 集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾； (引用終り) 下記、コンパクト性定理 「有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理」 「応用例 ・任意の順序集合が全順序に拡大できること」 なるほど、厳密にはコンパクト性定理を使うか 991 名前：X の任意の3つ組→任意の有限部分集合→元の集合X全体（それは当然無限集合）で成立 という証明の筋でしょうかね？（＾＾ コンパクト性定理ね なるほど、確かに便利だな（＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86 コンパクト性定理 コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。つまりある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理であり、モデル理論における最も基本的かつ重要な成果のひとつである。 歴史 1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。 応用例 コンパクト性定理はモデル理論を含む様々な分野において多くの応用を持つ。例として、以下の定理や命題がコンパクト性定理を用いて証明される。 ・上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理 ・任意の順序集合が全順序に拡大できること [3] 証明 コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理から導くことができる。 (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 992 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 12:08:00.62 ID:F3DpW0Ek.net] 屁理屈はいいから早く0の次の有理数を答えてくれない？ 無理筋だと言うなら有理数をすべて並べた＜列は存在しないことを認めるの？ どっち？ 逃げてないで答えて 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/13(木) 12:11:27.22 ID:7a7PbqY8.net] >>888 > Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer. > Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n. 翻訳は以下のとおり 「次のような例を考えてみましょう。Xを正の整数と、任意の整数よりも大きい新要素ωとの和とする。 　このとき、Xはwell-foundedな集合であるが、ωから始まる任意の大きな（有限の）長さの下降鎖があり、その鎖はω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 は任意の n に対して長さ n を持つ。」 どこにも、無限列がある、なんて🐎🦌なウソは書いてないが 994 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 12:23:32.37 ID:F3DpW0Ek.net] 嘘はいけませんね 数学どうこう以前に人格が破綻してます 995 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 12:32:08.31 ID:F3DpW0Ek.net] ω以下の順序数をすべて並べた∈下降列は存在しない。 理由は超簡単。ωは後続順序数でないから並べようにもωの前者が存在しない。 ωから始まる∈下降列は有限列。 理由は超簡単。ωの元はどれも自然数だから、ω∋▢∋…∋1∋0 の▢=自然数n。よってこの列の長さはn+2。 こんな超簡単なことも分からない落ちこぼれクンに数学は無理なので諦めましょう。 996 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/13(木) 12:36:16.19 ID:uhdqO0QU.net] >>847 (引用開始) >ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾； 数学を研究しない人が大部分を占める工学部の数学と数学科の数学は学習法も使い方なども違うから、 このようなセリフは数学を使用するだけの人がいっても殆ど意味ない。 工学部で代数は殆ど教えないし研究しないだろw (引用終り) 意味分からんけど、レスしておく 1．数学科出身が全て、数学を研究しているはずもない（ほんの一握りでしょ。学部や修士で、多少はやったとしても） 2．一方、数学科出身以外が、全く数学を研究していないのか？ 　数学研究に一番近いのが、理論物理系の研究者かな？ 有名どころでは、ウィッテンとか大栗先生 3．その他、非数学科出身で情報系で数学を教えている研究者や、東大京大などの化学やいろいろの理系研究者たち 　彼らは、必要な部分については、数学科の学部か修士レベルの勉強は必要に応じしているでしょ 　（ちょうど、アインシュタインが、数学者グロスマンに教えてもらった事例などもあるしね。この場合は、当時の最先端の数学だった） 4.だから、「数学科出身でございます」と、学部か修士レベルでハナタカしていたら 　世間の理系の非数学科出身でも、その程度のレベルは結構いたりして、 　「ちょうどいいところに来た。この問題で悩んでいたんだ、これ解いてみて」と、 　大学研究者から言われて（民間の研究者でもあるかも）、解けないで赤っ恥になりかねないよね（＾＾ 私？　私のことではございません。私は、底辺も底辺です でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない 数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます 珍しいものを発見したとｗ（＾＾； 997 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 12:46:41.39 ID:F3DpW0Ek.net] >私？　私のことではございません。私は、底辺も底辺です 自惚れでしょう。 あなたは大学数学から入門を拒否された落ちこぼれです。 底辺とは大学課程修了者の中で最低レベルという意味です。あなたはそこまで達してません。 998 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 12:49:00.32 ID:F3DpW0Ek.net] >>897 >でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない >数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます 何重にも間違ってるｗ　馬鹿丸出しｗ 999 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 12:51:26.22 ID:F3DpW0Ek.net] さすがに入門を拒否された落ちこぼれだけのことはありますねｗ 何重にも間違ったことをドヤ顔で書きこむその度胸だけは褒めてあげますｗ しかし根拠の無い度胸なんて糞の役にも立ちませんよ？ｗ 1000 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 13:01:21.69 ID:F3DpW0Ek.net] >>897 >でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない >数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます まず 「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」 を証明してからドヤ顔して下さいね？ 無理だと思いますけど、偽ですからｗ 尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ 1001 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 13:17:01.19 ID:F3DpW0Ek.net] >>901 あなたはどうせ逃げるので答えを書いときますね 反例 全順序集合Rの0の次の実数rは存在しない。 反例であることの証明 存在すると仮定すると 0<r/2<r を満たす実数r/2が存在するため矛盾。 1002 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 16:09:41.89 ID:uhdqO0QU.net] 無限小数 0.999・・ を論ずる某スレと立場逆転している 無限長の列を認める立場（私）と 無限長の列を認めない立場（数学科出身を名乗るもの）と なんか、立場が逆転しているようだねぇ〜ｗ（＾＾； 1003 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 16:40:21.74 ID:F3DpW0Ek.net] >>903 だーかーらー おまえ日本語分らんの？ 誰も無限列を否定しとらんゆーとんの分らんの？　馬鹿？　阿呆？ 1004 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 18:03:42.15 ID:F3DpW0Ek.net] >>903 逆 最後の項がある列は有限列であって、有限しか認めてないのがおまえ。 おまえは口では無限と言ってるが、無限とは何かが分かってない。 無限とは限りが無いこと。最後の項があったら限りがあるじゃねーかｗ　馬鹿としか言い様が無い 1005 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 18:11:44.00 ID:F3DpW0Ek.net] 列に最後の項がある→限りが有る→有限列 列に最後の項が無い→限りが無い→無限列 おまえはここから分かってない。 おまえが言う無限列は有限列のこと。何故なら最後の項があるから。限りがあるから。限りが有ることを有限と言う。馬鹿。 だからおまえの主張の逆で、有限列しか認めてないのがおまえ。無限列を認めてるのがおまえ以外。 大学数学に入門を拒否された落ちこぼれは数学板に来んな。板が穢れる。 1006 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/13(木) 20:16:04.88 ID:0t/ScuZ1.net] 次スレ立てた このスレを使い切ったら、次へ（＾＾ 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/ 1007 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/13(木) 20:27:51.80 ID:0t/ScuZ1.net] >>906 (引用開始) 列に最後の項がある→限りが有る→有限列 列に最後の項が無い→限りが無い→無限列 おまえはここから分かってない。 おまえが言う無限列は有限列のこと。何故なら最後の項があるから。限りがあるから。限りが有ることを有限と言う。馬鹿。 だからおまえの主張の逆で、有限列しか認めてないのがおまえ。無限列を認めてるのがおまえ以外。 (引用終り) いやいや、おサル お主、数学科修士卒と言う触れ込みだったよね でもな、いくらFラン卒といえどもだ こんなあたまで、よく数学科が卒業できたね（＾＾ 「Rの0の次の実数rは存在しない」なんてのは 素朴な疑問で、高校から大学1年くらいなら 微笑ましいわな だが、50過ぎのおっさんで 大学を出て、30年経って まだこのレベルだとすれば いったい今まで、何を学んで来たのだと？ そういう疑問しか残らないぞｗ（＾＾； 小一時間問い詰めたいところだｗ 1008 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 20:39:57.01 ID:JKYPZ6bq.net] https:/twitter.com/gou_tanab?ref_src=twsrc%5Egoogle%7Ctwcamp%5Eserp%7Ctwgr%5Eauthor ゴキブリレイシスト田辺ニホンザルヒトモドキを銃殺せよ (deleted an unsolicited ad) 1009 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/13(木) 20:45:20.54 ID:0t/ScuZ1.net] >>908 下記「無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち」 志賀 浩二 あったな、読んでないけど おサルも、1920年ころのポーランドに生まれて、無限を研究したら良かったろうね（＾＾； だが、1988年とか今の2021年の時代に、「Rの0の次の実数rは存在しない」とか 微笑ましい通り越して、50過ぎのおっさんなら、不勉強だろ！ってことよ（＾＾ （参考） https://www.アマゾン/product-reviews/4535781613 無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち 1988 by 志賀 浩二 日本評論社 Customer reviews まげ店長 5.0 out of 5 stars ポーランドにおける無限を巡る数学の発展について Reviewed in Japan on November 2, 2013 ポーランド史、無限論（カントール）、ユダヤ人史に興味の有る方にはうってつけの本です。 私はたまたまワルシャワ蜂起と集合論と数学基礎論を勉強しているので、この条件には見事に当てはまるのです。 連続体仮説についての説明で、こんなに分かりやすい説明は初めて読みました。 決して簡単な内容ではありませんが、周辺の数学を少しづつ勉強すれば決して理解できないレベルではないと思います。 ポーランド数学！、歴史学と数学を一緒に学べるという他には無い貴重な機会です。是非、頑張りましょう。 冒頭に集合論の取り扱い、無限という概念の取り扱いが発見時の頃に比べると論理化・簡潔化・整然化 されてしまい、多くの人が非加算の無限に対して感動しなくなっている事に対する嘆きが語られます。 私自身もカントールの話に感動して集合論を勉強し始めた頃、あまりにも無味乾燥な表現で終始しており しかも全体の流れの中で軽んじられている傾向に違和感を感じました。 そんな私でさえもルベーグ測度を一所懸命に勉強した時もどうしてこんな当たり前の事を勉強しなければ いけないのか悩んだものです...（未だ完全に分かってはいませんが） こうした本を読むことで無限に対する尊厳を思い出したいものです。 集合論以外はトポロジーや関数解析で、一部は証明などもありますが定理だけがふらっと載っているだけの ものもあります。 殆どは今の私にはさっぱりですね...　何が書いてあるのかも分からないのですが、不思議とそれでも面白いのです。 (引用終り) 以上 1010 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 22:57:32.08 ID:F3DpW0Ek.net] >>908 おまえ真性のバカだろ 「0の次の実数が存在する」を真と考えてるのが偽と考えてるのか、自分の考えを述べることすらまともにできないのか？ その馬鹿頭でよく生きてられるな 1011 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 22:59:07.36 ID:F3DpW0Ek.net] >>910 だからおまえはどっちなんだよｗ 真性バカはそれすらまともに述べれないｗ　もう障害者レベルｗ 1012 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 2 ] [ここ壊れてます] 1013 名前：3:01:26.19 ID:F3DpW0Ek.net mailto: 真か偽か自分の考えすらまともに述べれない障害者はどっか行けよ 数学がどうこうなんてレベルを遥かに逸脱した馬鹿 [] [ここ壊れてます] 1014 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 23:06:27.43 ID:F3DpW0Ek.net] >>908 >素朴な疑問で なんで疑問になるんだよｗ　馬鹿かおまえはｗ 「存在するか？」だったら疑問だが、「存在しない」と断言してるんだから疑問じゃねーだろｗ もうこういうところからして馬鹿過ぎて話にならんよおまえ　もう馬鹿は消えて 1015 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/13(木) 23:08:16.12 ID:F3DpW0Ek.net] 肯定分と疑問文の区別すらつかない馬鹿は数学板に必要無い　消えろ 1016 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/13(木) 23:54:11.67 ID:0t/ScuZ1.net] >>883 (引用開始) この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、 「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う 区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても 逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる 即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾ (引用終り) 下記の 「この方面の先駆者であるスミスは、有理数の集合が任意に小さな区間に閉じ込められてしまうこと、に気付いており」 辺りがそうかも 100年くらい前の話だが（＾＾； （参考） https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/ 数学史シンポジウム報告集 https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/ 第25回数学史シンポジウム https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf カントールによらない実数の非可算性の証明 その発案の経緯と現在への影響を巡って 鈴木真治 2015年1月30日投稿 P134 3. 様々な「実数の非可算性の証明」の背景 この方面の先駆者であるスミスは、有理数の集合が任意に小さな区間に閉じ込められてしまうこと、に気付いており、 (引用終り) 以上 1017 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 00:40:09.96 ID:PZxRXNNQ.net] ↑ 馬鹿はまた逃げました 1018 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 01:37:06.44 ID:PZxRXNNQ.net] 安達も瀬田も結局最後は逃げるんだよなあ つまんねー 1019 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/14(金) 07:26:45.33 ID:SmKjZON/.net] 哀れな素人氏のスレに戻りな みんな、あきれていると思うよ （>>906） 列に最後の項がある→限りが有る→有限列 (引用終り) とか、不成立じゃね？ （>>901） まず 「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」 を証明してからドヤ顔して下さいね？ 無理だと思いますけど、偽ですからｗ 尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ (引用終り) これもな お主の言っていることは、意味不明だが おそらくは、「こんなところで躓いているのかな？」というのは、何となく分かる（＾＾ しかし、あまりにも低レベルで、評しようがないｗ（＾＾； 1020 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/14(金) 07:36:28.03 ID:SmKjZON/.net] >>916 追加 これ結構面白い、お薦めです 小平邦彦先生のお言葉（＾＾ https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf カントールによらない実数の非可算性の証明 その発案の経緯と現在への影響を巡って 鈴木真治 2015年1月30日投稿 P4 (16) 小平邦彦氏は対角線論法があまり好きではなかった。では、どんな証明方法を推していたのか 第4節参照 p7 測度論的証明については、選択公理は使うし、証明の途中に区間縮小原理を使うので、非述語的定義も含まれていて、基本性からは良いところがないようにも見える。しかし、後で説明するように小平邦彦氏は、「R は非可算であるだけでなく、R の可算部分集合は R の極めて小さい部を占めるに過ぎないことがわかる。」と言ってこの証明を評価している。 P15 小平邦彦氏はこの対角線論法を評して、「簡単明瞭であるが、何かうまく言いくるめられた感じがしないでもない。そこで別証を考えて見る。(「数学の学び方」 [71]より)」とされ、測度論的証明を自著『解析入門』(72)に書き記されている。更に、「これで実数全体の集合 R が非可算であることの別証が得られたのである。別証は対角線論法による証明よりも面倒であるが、うまくいいくるめられたという感じはない。別証により R は非可算であるだけでなく、R の可算部分集合は Rの極めて小さい部を占めるに過ぎないことがわかる。(同上)」と、してこの別証明53の持つ意義を力説されている。 (引用終り) 1021 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/14(金) 07:49:01.98 ID:SmKjZON/.net] >>919 つづき おぬし、鈴木真治 巨大数 辺りから勉強し直したらどうだ？（＾＾ https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo26/26_suzukis.pdf 鈴木真治 巨大数小史 有限と無限の狭間の揺らぎ 2016年1月30日投稿 0 はじめに 巨大数は,無限と同様に,太古から多くの人々を魅了し続けて止まない人気のテーマの一つである.ところが,無限論が,現在においても真っ当な専門書2から啓蒙書3, 果ては哲学書4に至るまで幅広く新著が出版され続けているのに対し, 巨大数論を主題とした邦書を寡聞にして著者は1冊しか知らない5.後はせいぜい,数学者のエッセイ集の1トピック6として紹介されているか,比較的小さな記事7が,発表されているくらいではなかろうか.このような差が生まれた最大の理由は,無限が,数学の発展において不可欠な概念であり続けて来たと云う歴史的重みと、門外漢からの安易な接近を拒む深淵を内包しながら発展を維持しているのに対し8,巨大数の方は,一見,鬼面人を嚇すと云った意外性から歴史的に語り継がれているものがあるにしても,現代数学はそれを必要とせず,将来も必要とされることはないと考えられているからかもしれない. 本質論から比較するなら,無限が,多様性を保持しつつも,数学的に明確な定義が与えられるようになったのに対し, 巨大数に対しては,精確で有効な定義がないことが致命的な差であろう.このような対象を,大抵の数学者は,研究対象にはしたがらないからである9. 著者は,当初,このような問題意識に対し,どちらかと言えば否定的で,「問題のための問題を解こうとしている」ように捉えていた.しかし,「数と無限の多面的アプローチ」を主たる研究テーマにしている関係上,擬無限としての「巨大数」は,無視できない存在であった.そこで,断続的に巨大数の歴史を調べていたのだが,ここからビジービーバーと云うチューリングの停止問題とも関連のある非常に興味深い関数や第一不完全性定理の具体的な例ともなったグッドステイン数列の終結定理, 非原始帰納関数の典型例であるアッカーマン関数, 証明論や計算理論に現れる急増加階層(F.G.H)とも密接に関わっていることを知るに及んで見えていた風景が一変した. つづく 1022 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/14(金) 07:49:27.04 ID:SmKjZON/.net] >>921 つづき 20 世紀以降の巨大数の歴史は,このような文脈のなかで,計算理論の発展 - 原始帰納関数から多重帰納関数の発見, 一般帰納関数への拡張,計算可能関数との同定,非計算可能関数の発見等 - を主軸に添えて,様々な表記方法の創出と具体的問題への応用を付記しつつ語られるべきものと考えるようになった https://www.hmv.co.jp/artist_%E9%88%B4%E6%9C%A8%E7%9C%9F%E6%B2%BB-%E6%95%B0%E5%AD%A6_200000001148068/item_%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E7%A7%91%E5%AD%A6%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%83%BC_7300972 巨大数 岩波科学ライブラリー 鈴木真治(数学) 発行年月 ： 2016年09月 内容詳細 無量大数ってどのくらい大きい数？グーグルの社名の由来となったグーゴルより大きい？アルキメデスが数えたという宇宙を覆う砂の数、仏典に登場する最大数である不可説不可説転、宇宙の永劫回帰時間、数学の証明に使われた最大の数…などなど、伝説や科学に登場するさまざまな巨大数の文字通り壮 1023 名前：大な歴史を描く。 目次 : 第１章　歴史に見る巨大数―宇宙の砂の数、極楽浄土までの道のり（アルキメデスの３つの巨大数/ 古代バビロニアやユダヤの巨大数/ 仏教やジャイナ教に現れた巨大数）/ 第２章　自然科学と巨大数―「天文学的」を超える「天文学的」な数（アボガドロ定数/ エディントン数とディラックの巨大数仮説/ 永劫回帰時間/ 猿の無限定理/ 指数表記の発明）/ 第３章　数学と巨大数―無限の一歩、手前（数学に現れた巨大数/ 巨大数を生み出す関数/ チャレンジコーナー/ 巨大数の数学的小品） 【著者紹介】 鈴木真治 : １９５８年生まれ。数学史家。金沢大学大学院理学研究科（数学専攻）修士課程修了。日本科学史学会会員。日本数学協会会員。日本アクチュアリー会準会員（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）（「BOOK」データベースより） (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 1024 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/14(金) 08:23:18.32 ID:SmKjZON/.net] >>919 下記≦は、原文では別の記号だったが、文字化けしそうなので、原文と換えた（数学やるには不便な板です（＾＾； ） 下記花木章秀先生で、小学生を並べる話と同様に、無限集合を扱うのが、大学数学の集合論だよ 分かってないね（＾＾ zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000000/ 集合論 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年 zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000004/main/chapter4.html 集合論 花木章秀 目次 4 関係 4.1 関係 4.2 順序関係 4.3 数学的帰納法と超限帰納法 4.2 順序関係 通常の生活でも、順序という言葉はよく用いられる。例えば、小学生でも背の低い順に列に並んだりする。この順序について考えよう。順序を表す記号として、よく使われるものを用いると、いろいろな先入観が入りやすいので、ここでは ≦ という、あまり使われない記号を用いることにする。 定義4.2.1 (順序関係). 集合 A 上の関係 ≦ が順序関係、または単に順序であるとは、以下の条件を満たすこととする。 [反射律] 任意の x ∈ A に対して x ≦ x [推移律] x ≦ y , y ≦ z ならば x ≦ z [非対称律] x ≦ y , y ≦ x ならば x = y このとき (A, ≦) を順序集合という。 定義4.2.4 (全順序). 順序集合 (A, ≦ ) の任意の二つの要素 x,y ∈ A に対して x ≦ y または y ≦ x が成り立つとき、この順序を全順序といい、この順序集合を全順序集合という。 例4.2.6. 前述の「小学生を背の低い順に並べる」ということを考えよう。ある小学校のクラスの生徒を、ある身体測定の際の身長の小さい順に並べるとする。より一般に、集合 X と写像 f : X → R が与えられ、 f による値によって、集合 X の順序を決めるということを考えよう。 順序集合 (A,≦ ) の元 x に対して x ≦ y ならば x = y が成り立つとき x を A の極大元という。同様に y ≦ x ならば x = y であるとき x を A の極小元という。任意の y ∈ A に対して y ≦ x のとき x を A の最大元という。任意の y ∈ A に対して x ≦ y のとき x を A の最小元という。最大元は極大元、最小元は極小元であるが、逆は成り立つとは限らない。最大元、最小元は存在するとは限らないが、存在すれば唯一つに定まる。 (引用終り) 以上 1025 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 09:28:47.30 ID:PZxRXNNQ.net] >>919 >列に最後の項がある→限りが有る→有限列 >とか、不成立じゃね？ 反例のひとつもあげれないの？ 「じゃね？」って何？俺に訊いてんの？馬鹿？ >（>>901） >まず >「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」 >を証明してからドヤ顔して下さいね？ >無理だと思いますけど、偽ですからｗ >尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ >(引用終り) >これもな >お主の言っていることは、意味不明だが え？？？ おまえの主張は >「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」 ではないってこと？じゃ何？ >おそらくは、「こんなところで躓いているのかな？」というのは、何となく分かる（＾＾ >しかし、あまりにも低レベルで、評しようがないｗ（＾＾； いみふｗ 主張が違うなら正せばいい話 証明ができないなら主張しなきゃいい話 いずれにしろおまえは逃げている　体の良い捨て台詞吐いてねｗ　逃げるくらいなら数学板に書きこまなきゃいい話 おまえそもそもなんで数学板に書きこむの？　何も分かってない馬鹿なのに 馬鹿は数学板に来なくていいから　なに勘違いしてんのおまえ？ 1026 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 09:34:56.01 ID:PZxRXNNQ.net] >>921 >おぬし、鈴木真治 巨大数 辺りから勉強し直したらどうだ？（＾＾ 大学一年4月に落ちこぼれた人に言われてもねえ キミこそ有限と無限の違いから勉強し直した方が良いよ？ >列に最後の項がある→限りが有る→有限列 >とか、不成立じゃね？ 限りが有ることを有限って言うんだよ？ 入門すらできずに落ちこぼれた人はそこから分かってないんだよなーｗ 1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 09:40:29.90 ID:4bdRyO1H.net] おやおや、雑談君はま~だ、 ・全順序と整列順序の区別もわからず ・単なる点列と＞列の区別もわからず 「ωから始まり０に至る＞降下列が存在する！」 と言い切ってるのかい？ そもそも＞列は 「＞の左と右の項が定まってる」 のが絶対条件だから ω＞･･･＞ｎ　 なんてダメに決まってるじゃんｗ 整列順序は、上にいくときは必ず次の項が決まるけど 下にいくときは、そうじゃないから 極限順序数の場合、前の項はないから で、極限順序数は、次の項をたどるだけでは到達不能だから　つまり ０＜１＜２＜・・・ という数列は、「次の項をたどるだけでは」決して、ωに到達しないから！ （注：何をしても到達しない、と入ってない　極限をとればいい 　しかし、極限をとる操作は、次の項をとる操作とは全く異なるから！） 1028 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 09:41:01.15 ID:PZxRXNNQ.net] >>923 >数学やるには不便な板です（＾＾； じゃ無理して来なくていいよ？ まるで数学分かってないキミの書き込みなんてゴミ以外の何者でもないし いまさら全順序の定義をコピペしてどうしたの？気でも狂ったの？ｗ おまえの主張は 「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」 なんだろ？だったら証明しないとｗ　妄想と証明は違うぞ？ｗ まあ無理だけどな、偽だからｗ 1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 09:46:34.26 ID:4bdRyO1H.net] >>891 QやRは、通常の順序では、整列順序集合ではないよ 知らなかった？ だって｛q∈Q｜0＜q｝って最小元ないじゃんｗ　はい、ロンパｗ だって｛r∈Q｜0＜r｝って最小元ないじゃんｗ　はい、ロンパｗ ついでにいうと ｛z∈Z｜0＜ｚ｝は最小元をもつけど ｛z∈Z｜0＞ｚ｝は最小元ないからｗ はい、ロンパｗ 要するにＮ以外、通常の順序では整列順序集合になりませ~ん (Q+で、正の有理数を考えても整列順序集合になりません　ざんね~ん） 1030 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 09:48:11.99 ID:PZxRXNNQ.net] >という数列は、「次の項をたどるだけでは」決して、ωに到達しないから！ 次の項をたどってωに達するならωは後続順序数になってしまうｗ 落ちこぼれクンは順序数の基本中の基本から分かってないｗ 1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 09:56:17.23 ID:4bdRyO1H.net] >>919 >あまりにも低レベルで、評しようがないｗ それは雑談君自身のことかな？ QやRの全要素からなる点列は、＞列にならないよ だってどの要素をとっても直前の要素がとれないじゃんｗ 「＞列」だっていうんなら、自分より小さい要素を具体的に指定できないとダメだよ ωの場合でいうと　ω＞ｎって具体的にｎを書かないとダメだよ どんな自然数ｎをとってもＯＫだけど、その時点で ０までの降下列の長さって有限だよね 無限降下列がないってそういう意味だよ 全然わかってないね　 それじゃ大学１年の４月の実数の定義で落ちこぼれるわけだ 最低レベル　どん底だね 修羅界　畜生界　餓鬼界　ときたら　その下の　地獄界だな 畜生以下、虫以下、ってもう単細胞生物かいｗ これからアメーバ君って呼んじゃうよｗ 1032 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 10:16:16.73 ID:6EcZj ] [ここ壊れてます] 1033 名前：P9v.net mailto: >>908 補足 >「Rの0の次の実数rは存在しない」なんてのは >素朴な疑問で、高校から大学1年くらいなら >微笑ましいわな 「Rの0の次の実数rは存在しない」ねぇ〜（＾＾ 昔、ポーランドの数学者たちも悩んだのかもね 実数を上手く扱うために、位相を導入して、位相空間を考えたと思う 開基を入れると、扱いやすいなと（＾＾； （参考） https://researchmap.jp/read0010844 大田 春外 オオタ ハルト (Haruto Ohta) http://www12.plala.or.jp/echohta/top.html by Haruto OHTA 位相空間に関するあらゆる質問にお答えします。 位相空間・質問箱 http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/Q001.html これまでの質問と回答 http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/QA004.html 読者からの質問と回答　01031 〜 01040 Ｍ．Ａ．さんからの質問　#01039 可分空間とは何を分けるのですか？　可分空間の目的は何ですか？ 「可分」の概念について質問します． 可分 (separable) は何が「分けられる」のでしょうか． また，可分という概念を取り入れた目的はなんでしょうか． どの本をみても可分の定義や可算公理との関係は書いてあるのですが， 可分という概念を導入した必要性が感じられません． ご教示いただきたく，宜しくお願いいたします． つづく [] [ここ壊れてます] 1034 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 10:16:54.48 ID:6EcZjP9v.net] >>931 つづき お答えします： 面白い質問をお送り頂きまして，ありがとうございました． 第 1 の質問について， 可分の定義は可算稠密集合が存在するということですので， 何が分けられる (separable) のか？という Ｍ．Ａ．さんの疑問はもっともだと思います． 可分という概念がはじめて定義されたのは，M. Frechet という数学者の 1906 年の論文 "Sur quelques points du calcul fonctionnel" だと言われています． M. Frechet はこの論文で，距離空間の概念を初めて導入しました． 本論文ではまだ距離空間という用語は使われていませんが，可分 (separable) という用語は定義されています． この論文を見てみると，M. Frechet は実数直線の性質を距離空間に一般化する過程で，可分の概念に到達したように思います． さて，なぜ「可分」と名付けたのか？という理由を知るためには， タイムマシーンに乗って M. Frechet 先生に尋ねに行く以外に方法はありませんが， 私の推理を述べてみます． 実数直線の稠密な部分集合 D は次の性質を満たします． 任意の異なる2つの実数 a ＜ b に対して，a ＜ x ＜ b をみたす D の元 x が存在する． すなわち，異なる2つの実数は D の元によって分離されます． この事実を念頭において，可算な稠密集合が存在することを，可分と名付けたのではないでしょうか？ もちろん，実数直線と異なり一般の距離空間では順序 ＜ が定まっていないので上の性質は無意味ですが，実数直線の稠密集合をモデルとして可算稠密集合が存在する空間を可分 (separable) と名付けたのではないかと思います． つづく 1035 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 10:17:34.18 ID:6EcZjP9v.net] >>932 つづき 第 2 の質問について， M. Frechet は，一般の距離空間において，実数直線の中の有理数の集合に相当する働きをする集合を必要として，可分性の概念を導入したのではないかと思います． 彼は，上記の論文の中で，今日の言葉で言えば「全有界かつ完備である距離空間はコンパクトである」という定理を証明しています．この定理は，「全有界」と「完備」という２つの距離空間の性質から「コンパクト」という位相空間の性質が導かれる興味深い結果ですが，全有界を位相的性質に翻訳すると「可分」になります． 詳しく言えば，次のことが成立します． 全有界な距離空間は可分である． 逆に，可分距離空間は，その位相構造を変えないような距離関数を与えて，全有界距離空間にできる． つまり，可分性は距離空間の全有界性を縁の下で支える位相的性質であると言えると思います． たぶん，Ｍ．Ａ．さんもご存知のように，距離空間では可分であることと第２可算公理をみたすことは同値ですので，第 2 可算公理があれば可分は不要ではないかと思われるかも知れません． しかし，その後の研究で，可分性は第 2 可算公理よりもはるかに強固で自由度が高い位相的性質であることが明らかになりました．例えば， (1) 非可算個の位相空間（ただし，２点以上を持つとする）の直積空間は第２可算公理 を満たさないが， 可分性は連続体濃度の個数の位相空間の直積空間まで保たれる (Hewitt-Marczewski-Pondiczery の定理）． (2) 可分な位相空間上の実数値連続関数全体の集合の濃度は連続体濃度を超えない． これ以外にも可分性が役立つ定理は多くあり，現在では，可分性は無くてはならない位相的性質として認められるようになりました． 上記の M. Frechet の論文は日本語訳が出版されています． 現代数学の系譜 13『フレシェ抽象空間論』斎藤正彦，森毅，杉浦光夫訳，共立出版 1987 年 (引用終り) 以上 1036 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 11:03:27.89 ID:6EcZjP9v.net] >> 補足 (引用開始) （>>906） 列に最後の項がある→限りが有る→有限列 とか、不成立じゃね？ (引用終り) 実数Rの部分集合を考える 最後の項を、通常の大小関係 ≦ の最大元とする 小数の列 0.999・・を考える 1. 0.9＝1/10^1 2．0.99＝1/10~2 　・ 　・ n．0.99・・＝1/10~n 　・ 　・ 　↓ ω｡lim n→∞ 1/10~n＝0.999・・・＝1 この”0.999・・・＝1” を、お主は認めるんだろ？（某スレで主張していたよね（＾＾　） 集合{0.9,0.99,・・,1/10~n,・・,1(＝0.999・・・）} は、全順序（実は整列集合）で 0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・）　(1) なる列ができる この列(1)を、有限列とする人は居ない だが、最後の項”1”がある！！（＾＾； 以上 1037 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 11:06:17.05 ID:hb79URou.net] 今日も、モピロン電波📶受信した。で アメーバより🐴🦌な🌍地球人たちがコッチでも数学バトルしてて面白い。 がそれは、ともかく、 >>923のリンク先の、「論理の基本」 の例1.1.4. は、スゴク面白かった で、例1.1.4. の要約 (notA ) ⇒ A は常に偽であるように思われるが、A が真なら「これは」真 とのことみたぃ。「これは」の部分が キニナルが、ともかく、 この読書感想文は、モピロン 恒偽命題の条件文というか、 条件文で ¬Pは正しいと仮定して、 その結果、Pが正しいとなっても、 条件文の¬Pが正しいと信込じゃう ∵地球人🌍の、直感 ∴地球人🌍は、アメーバより🐴🦌だ ちなみに、背理法 条件文でPを正しいと仮定して、 その結果Pが誤りと証明されれば 条件文のPは誤りだと理解してるのに by 👾の感想文 要約、直感ぢゃダメだからモピロン 霊感で考えよう 1038 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 11:26:09.54 ID:6EcZjP9v.net] >>934 訂正 >> 補足 　↓ >>919 補足 細かいことですが（＾＾； 1039 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 11:42:41.88 ID:PZxRXNNQ.net] >>934 >0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・）　(1) >なる列ができる できません。 だってあなた1の直前の項が何か答えられないでしょ？ｗ　馬鹿ですか？ 1040 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 11:47:09.65 ID:PZxRXNNQ.net] >>934 >0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・）　(1) >なる列ができる >この列(1)を、有限列とする人は居ない >だが、最後の項”1”がある！！（＾＾； 有限無限以前に(1)を列とする人は居ない。もし居たらそいつは入門すら許されなかった落ちこぼれ。 1041 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 11:51:24.02 ID:PZxRXNNQ.net] >>1 スレタイ間違ってますよ？ 「現実世界で数学から入門を拒否された落ちこぼれが意気揚々と脳内数学を語るスレ」に訂正して下さい。 1042 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 11:56:31.69 ID:PZxRXNNQ.net] 極限順序数は後続順序数ではない たったこれだけのことがどーして分からないんですかねー？ そりゃ入門させてもらえ� 1043 名前：ﾜせんわｗ [] [ここ壊れてます] 1044 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 11:59:33.86 ID:6EcZjP9v.net] >>935 どうも レスありがとう 余談ですが、花木章秀先生のテキストにはお世話になっています（＾＾ zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000001/main/chapter1.html 集合論 花木章秀 Chapter1 論理の基本 例1.1.4. (¬A ) =⇒ A は常に偽であるように思われるが、先に述べたようにA が真であればこれは真である。 注意. A が偽であれば、任意の命題B に対してA =⇒ B は真になるのだが、これが感覚的に受け入れがたいという学生も少なくはない。先の説明ではA =⇒ B を感覚的に理解したが、正確にはA = ⇒ B の定義が(¬A ) ∨ B であり、認めてもらうしかない。 同様の話が、下記 慶応 岡田光弘先生ですね https://abelard.flet.keio.ac.jp/note/basic_logic_and_logical_computation.pdf 「計算論理学」講義ノート 慶應義塾大学文学部 岡田 光弘 P11 3.2. 命題論理の意味論 上の 7 による A → B の真理表は，次の ¬A ∨ B の真理表と結果が同じになることが分かる． A B ¬A ¬A ∨ B t t f t t f f f f t t t f f t t この意味で，→ は ¬ と ∨ を使って A → B を ¬A ∨ B の形で定義可能であることが分かる． (引用終り) 以上 1045 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 12:08:05.12 ID:PZxRXNNQ.net] >>921 >列に最後の項がある→限りが有る→有限列 >とか、不成立じゃね？ キミ検索は得意なんでしょ？なんで検索しないの？都合が悪い検索は不得意なの？ｗ wikipediaより引用 　無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。 wikipediaより引用 　有限(ゆうげん、finite)とは、無限ではないことである。 wikipediaより引用 　たとえば「すべての自然数」を表す数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（むげんすうれつ、英: infinite sequence）と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列（ゆうげんすうれつ、英: finite sequence）と呼ばれる。 1046 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 12:11:41.89 ID:PZxRXNNQ.net] ω以下の順序数すべてをならべた 0<1<…<ω は末項が定まっているから無限列？ いいえ。ωの前者が定まらないから有限無限以前に列じゃありませんｗ　ばーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーかｗ 1047 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 12:14:55.05 ID:PZxRXNNQ.net] ちなみにω　未　満　の順序数すべてを並べた 0<1<… は無限列ですねー こちらは任意の項が定まってますからｗ 1048 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 14:21:35.85 ID:6EcZjP9v.net] 問題二つ（＾＾ Q１） いま、自然数の集合Nがある N＝{0,1,2,・・・} である。 右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？ これは決められない 決められないと、 Nは、集合ではない？ Q２） いま、N∪{N}を考える N∪{N}＝{0,1,2,・・・,N}となる ZFCでは、数は集合である。 右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？ これは決めらる。Nである では、Nのすぐ左の元は何か？ 上記１）同様に決められない N∪{N}は、集合ではない？ 以上 1049 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 14:23:54.59 ID:4bdRyO1H.net] >>937 >>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・）　(1) >>なる列ができる >できません。 >だってあなた1の直前の項が何か答えられないでしょ？ 然り 降下列であるためには、1>rとなる、ｒを具体的に明示する必要がある 雑談君は一度も明示せず誤魔化している　ガースーと同じ　日本の恥ｗ >>938 >>この列(1)を、有限列とする人は居ない >有限無限以前に(1)を列とする人は居ない。 然り 降下列であるためには、1>rとなる、ｒを具体的に明示する必要がある 雑談君は一度も明示せず誤魔化している　ガースーと同じ　日本の恥ｗ 1050 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 14:25:37.96 ID:4bdRyO1H.net] >>939 このスレッドの本当のタイトル 「変態数学（含まずガロア理論）」 ｗｗｗｗｗｗｗ 1051 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 14:28:31.18 ID:4bdRyO1H.net] >Q１） >いま、自然数の集合Nがある >N＝{0,1,2,・・・} >である。 >右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？ ないよ >これは決められない >決められないと、Nは、集合ではない？ いや、存在しなくても、Nは集合だよ 集合の定義、理解できないパクチー？ 日本語読めない在阪朝鮮人 祖国に帰りなよ　どうせ高射砲でバラ 1052 名前：バラにされるだろうけどｗ [] [ここ壊れてます] 1053 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 14:31:01.92 ID:4bdRyO1H.net] ＞Q２） 無意味ね 集合の定義　理解できるまで読んでね で、同じように＞降下列の定義　理解できるまで読んでね ＞の両側に項がいるね　そうでなければ意味がないから その瞬間　キミ　負けたよ　キミ　死んだよ キミの祖国　北朝鮮は核ミサイルで滅亡したよ ざまぁみろｗｗｗｗｗｗｗ 1054 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 15:02:11.91 ID:6EcZjP9v.net] 数列も一緒だよ というか、ZFCでは、数列も集合だよ 1055 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 15:06:34.83 ID:6EcZjP9v.net] >>941 補足 >例1.1.4. (¬A ) =⇒ A は常に偽であるように思われるが、先に述べたようにA が真であればこれは真である。 ここ、(¬A ) =⇒ Aの対偶 A =⇒ (¬A ) を考える方が分かりやすいかも 下の式 A =⇒ (¬A ) で 条件Aが偽なら、式全体で真 1056 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 15:12:31.10 ID:6EcZjP9v.net] >>951 訂正 (¬A ) =⇒ Aの対偶は (¬A ) =⇒ ¬(¬A ) だった ¬(¬A )＝Aとすれば (¬A ) =⇒ A か 戻っている（＾＾ (¬A ) が偽なら、式は真 (¬A ) が真なら、Aは偽で式全体では偽 か 1057 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 15:51:04.91 ID:qWAORN+w.net] >>870 >言っている意味が分からない >「教育のプロポーション」の定義は？ 日常言語を日常言語のみで論理的に遡って定義し続けることは不可能。 そんなことし出したらやがては「い」とは何かとかいうような下らない定義をすることになる。 まあ、少しは機転を利かせた方がいい。 >有理数の稠密性とか、実数の連続とか >昔の高校では普通だった気がするよ >（最近のゆとりは知らんけどね） 今でもやっていると思うが高校の実数では数直線を用いて考えていて、 無理数が直線上に占める位置が一意ではないから実数論をすることに至った訳で。 1058 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 16:11:17.85 ID:qWAORN+w.net] >>897 >意味分からんけど、レスしておく ハイ、大学出ていないことをほぼ実証したな。 工学部の連中は大体ラプラス変換とかの計算をするから、或る程度の数学は使える。 工学部は解析の原理は分からないだろうけど解析そのものは或る程度使える。 >1．数学科出身が全て、数学を研究しているはずもない（ほんの一握りでしょ。学部や修士で、多少はやったとしても） >2．一方、数学科出身以外が、全く数学を研究していないのか？ > 　数学研究に一番近いのが、理論物理系の研究者かな？ 有名どころでは、ウィッテンとか大栗先生 >3．その他、非数学科出身で情報系で数学を教えている研究者や、東大京大などの化学やいろいろの理系研究者たち >　彼らは、必要な部分については、数学科の学部か修士レベルの勉強は必要に応じしているでしょ >　（ちょうど、アインシュタインが、数学者グロスマンに教えてもらった事例などもあるしね。この場合は、当時の最先端の数学だった） >4.だから、「数学科出身でございます」と、学部か修士レベルでハナタカしていたら >　世間の理系の非数学科出身でも、その程度のレベルは結構いたりして、 > 　「ちょうどいいところに来た。この問題で悩んでいたんだ、これ解いてみて」と、 > 　大学研究者から言われて（民間の研究者でもあるかも）、解けないで赤っ恥になりかねないよね（＾＾ これ、数学科以外で数学を研究するとなると、研究者が占める割合の順位は解析や応用数学が一番多い。 その次が幾何。代数は一番低い。 経済学部でも高度になると解析は使っている。経済学部の解析は少し特殊になる。 だが、瀬田君は無限が分からないので、その解析が全く出来ません。 1059 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 16:19:26.78 ID:6EcZjP9v.net] >>953 >>「教育のプロポーション」の定義は？ >日常言語を日常言語のみで論理的に遡って定義し続けることは不可能。 そんなことは求めていないが 「 1060 名前：教育のプロポーション」をキーワード検索したが、まともにヒットしなかった 一般用語にさえなっていないのでは？ ならば、これを言い出した側が、少なくとも１回は説明すべきでは？ そうしないと、議論にならんよね >今でもやっていると思うが高校の実数では数直線を用いて考えていて、 >無理数が直線上に占める位置が一意ではないから実数論をすることに至った訳で。 「無理数が直線上に占める位置が一意ではない」の意味が取れない ほぼ一意でしょ？ で、実数論をすることに至った訳は 解析理論側の要請（超越関数など。それと測度論（積分）も）と 代数理論側の要請（代数的数が無理数になり、代数的数で実数が尽くされるのか？） あたりが、19世紀の後半に課題になってきたってことでしょ？ ここらは下記、鈴木真治氏に詳しいよ （>>916より） 第25回数学史シンポジウム https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf カントールによらない実数の非可算性の証明 その発案の経緯と現在への影響を巡って 鈴木真治 2015年1月30日投稿 [] [ここ壊れてます] 1061 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 16:28:17.74 ID:4bdRyO1H.net] >>950 完全な🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ いいからとっとと北朝鮮に帰れｗｗｗｗｗｗｗ 1062 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 16:36:03.37 ID:4bdRyO1H.net] >>842 ＞区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、 ＞不等号＜を使って整列させることができる 在阪朝鮮人の🐎🦌である雑談野郎は、上記を 「区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、 　かつ、不等号＜による整列順序集合である」 と致命的な🐎🦌誤読をしたｗｗｗｗｗｗｗ ●ね　今すぐガソリンかぶってライターつけて焼け●ね 1063 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 16:43:20.69 ID:qWAORN+w.net] >>955 >「無理数が直線上に占める位置が一意ではない」の意味が取れない > ほぼ一意でしょ？ 数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。 無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。 >で、実数論をすることに至った訳は >解析理論側の要請（超越関数など。それと測度論（積分）も）と >代数理論側の要請（代数的数が無理数になり、代数的数で実数が尽くされるのか？） >あたりが、19世紀の後半に課題になってきたってことでしょ？ >ここらは下記、鈴木真治氏に詳しいよ 実数論が生まれた訳は、フーリエ解析の影響が大きい。代数はその後。 1064 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 17:09:43.99 ID:PZxRXNNQ.net] >>945 >Q１） >いま、自然数の集合Nがある >N＝{0,1,2,・・・} >である。 >右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？ 愚問 なぜなら {a,b,c,…} の a,b,c,… は順不同だから。 おまえはそんなとこから分かってないのか？中学からやり直し。 >Q２） >いま、N∪{N}を考える >N∪{N}＝{0,1,2,・・・,N}となる >ZFCでは、数は集合である。 >右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？ 愚問 なぜなら {a,b,c,…} の a,b,c,… は順不同だから。 おまえはそんなとこから分かってないのか？中学からやり直し。 1065 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 17:16:41.63 ID:6EcZjP9v.net] >>958 >数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。 >無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。 まさか デカルトが座標系を考えたでしょ？ あの一次元版だよ、数直線 当然、原点0と距離が入るよね 距離が入れば、ある数ｒ∈Ｒの位置は、一意に決まる >実数論が生まれた訳は、フーリエ解析の影響が大きい。代数はその後。 だから、鈴木真治＞＞955を読め（下記） https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf カントールによらない実数の非可算性の証明 その発案の経緯と現在への影響を巡って 鈴木真治 2015年1月30日投稿 Ｐ９ 3. 様々な「実数の非可算性の証明」の背景 カントールによる最初の「実数の非可算性の証明」、いわゆる区間縮小原理による証明、の背景にフーリエ級数の収束問題と実数論に対する深い考察があったであろうと云う推測は通説化しているので、詳細はブルバキやカッツを参照されたい。ただ、意外かもしれないが、ガロア理論もまた有力な動機づけになっていたことは付言しておきたい。29 1066 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 17:21:56.70 ID:6EcZjP9v.net] >>957 じゃ 区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、 不等号＜を使って整列させることができる 　↓ 区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、 不等号＜を使って、一列（線型に）並べるることができる。可算無限でも非可算無限でも と訂正しておくわｗｗ（＾＾； 1067 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/14(金) 17:44:40.48 ID:qWAORN+w.net] >>960 ＞>数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。 ＞>無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。 ＞ ＞まさか ＞ デカルトが座標系を考えたでしょ？ ＞あの一次元版だよ、数直線 ＞ 当然、原点0と距離が入るよね ＞距離が入れば、ある数ｒ∈Ｒの位置は、一意に決まる 高校の座標系は代数幾何のような代物ではありません。高校の平面座標も分からんとは。 1068 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 17:53:40.94 ID:PZxRXNNQ.net] >>950 >数列も一緒だよ 大間違い。数列の項は順不同でない。中学からやり直し。 >というか、ZFCでは、数列も集合だよ 屁理屈。 X列は関数φ:N→Xであり、関数は定義域の元と値域の元の順序対全体の集合。 順序対(x,y)を集合で表現すると{{x},{x,y}}。{x,y}のx,yは順不同だが、{x}と{x,y}は異なる集合だから(x,y)のx,yは順不同でない。 おまえが基本をまるで分かってないだけのこと。 1069 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 18:08:38.79 ID:PZxRXNNQ.net] >>961 学習しない奴だなあｗ ある有理数の「次の」有理数なんて存在しないんだから、(a,b)∩Qのすべての元を並べた<列も存在しないんだよｗ 実際おまえ0の次の有理数を答えず逃げ続けてるじゃんｗ　その醜態を鏡で見てみろｗ 1070 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 18:19:22.29 ID:PZxRXNNQ.net] 落ちこぼれクンは大学の聴講生になるべき。自分がいかに馬鹿か自覚できると思うよ？ キミは自惚れ屋だからまず馬鹿であることを自覚するところから始める必要がある。 ネットはダメ。間違ってるのは相手という妄想から抜け出せないから。 1071 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 18:27:28.33 ID:6EcZjP9v.net] >>962 下記、デカルトやライプニッツが、代数幾何を知っていたとでも？ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99 座標 幾何学において、座標（ざひょう）とは、点の位置を指定するために与えられる数の組 (coordinates)、あるいはその各数 (coordinate) のことであり、その組から点の位置を定める方法を与えるものが座標系（ざひょうけい、英: coordinate system）である。例えば、世界地図にある緯度と経度のようなもの。座標系と座標が与えられれば、点はただ一つに定まる。 起源 座標という概念を初めに考え出したのは哲学者であり数学者でもあるフランスのルネ・デカルトといわれている。ただし、彼の著書『幾何学』では問題に応じて基準となる直線を適宜設定しており、現在のような固定した座標軸を設定する表現は用いられていない。 「座標」の由来である"co-ordinate"の用語を初めに用いたのはドイツの哲学者、数学者のゴットフリート・ライプニッツであり、現在の直交座標系の表記もライプニッツのものに由来する。日本語で「座標」の語を初めに用いたのは藤沢利喜太郎であるが、当時の表記は「坐標」であり、のちに林鶴一らによって現在の「座標」に改められた[1]。 地理座標 詳細は「地理座標系」を参照 地理座標（または地図座標）は地球上の位置を表す座標をいう。 1072 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 21:03:03.39 ID:PZxRXNNQ.net] とは言っても大学一年4月で落ちこぼれたんだから 聴講生になってもすぐに落ちこぼれるのは目に見えてるかｗ 救い様の無い程の馬鹿は救い様が無いってことだねｗ 1073 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/14(金) 21:04:35.54 ID:SmKjZON/.net] >>945 補足 >N＝{0,1,2,・・・} ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間 「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」（下記） あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ おれら常識だけどな（量子力学やるから）、まあ おサルには分からんかな（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93 ヒルベルト空間 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。 ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。 もう少し自明でない例 複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数 Σ _n=1〜∞ |z_n|^2 が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L2 で表す。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6 関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。 1074 名前：）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している[1][2][3][4]。 無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い[1][2][3]。 応用 関数解析の中でも特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である[5][6]。 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1001.pdf 特集／無限次元 河東泰之 東京大学大学院数理科学研究科 数理科学 NO. 559, JANUARY 2010 n 次元ベクトル空間の一番簡単な例は，数をn 個並べたベクトルたちを考えたものである．そう 思うと，n = 3 でもn = 1, 000, 000 でも理論的に はたいした違いはない． 数学的な立場からみたとき，無限次元のベクト ル空間が出てくる自然な状況は関数を考えるとき である． つづく [] [ここ壊れてます] 1075 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/14(金) 21:05:13.58 ID:SmKjZON/.net] >>968 つづき 普通関数を考えるときは，有限集合ではなく，実数全体や 区間のような無限集合を考えるので，その上の関 数たちは，無限個の数が並んだもの，すなわち無 限次元ベクトルにあたるというわけである． このように 「関数＝無限次元ベクトル」という考え方が出てき たのは比較的新しく，20 世紀前半のことである． 無限次元の研究が盛んになったもう一つの理由 は，物理学，特に量子力学の研究である．量子力 学が20 世紀前半に成立し，その数学的理解が当初 から大きな問題になった．そこで，物理的な「状 態」を数学的に考えるには，無限次元のヒルベル ト空間を考える必要があることがわかったのであ る． それでは無限次元は有限次元の違いはどこから発生するのであろうか． そこに出てくるさまざ まな議論，性質を見ると大きな違いは主に次の二 つから発生していることがわかる． 一つ目は，無限集合はその真部分集合と同じサ イズだ，ということである．これを無限の定義と することもよくある重要な性質である． このことに関連 して，どんどん番号をずらしていくと，いくらで も「遠く」に持って行けるということもある．こ れらの性質が，無限次元ベクトル空間の線形写像 の興味深い性質を導き，多くの重要で新しい側面 をもたらすのである． もう一つの重要なポイントは，無限個の数は普 通は足せないということである．もちろん和が収 束する級数もいくらでもあるが，勝手な数列を取っ たとき，その和というものは一般には定義できな い．自然な理論を有限次元の時と同様に考えよう とすると，何らかの意味で和がとれるようなもの に話を限定する必要があり，通常の関数解析学で はそうすることが多い．これは，話を特殊なもの に限定しているようだが，この限定のためにかえっ て，無限次元でのみ興味深い現象が起こったりす るのである． (引用終り) 以上 1076 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 22:00:33.01 ID:PZxRXNNQ.net] >>968 >あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ 最後の項が無い無限列を誰も否定してませんが何か？ 1077 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 22:02:05.03 ID:PZxRXNNQ.net] まだ何が間違いと指摘されてるかも分かってないｗ　馬鹿もここまで来ると救い様が無いｗ 1078 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/14(金) 22:04:12.58 ID:PZxRXNNQ.net] さすがに入門すら許されず落ちこぼれた馬鹿は手ごわいなｗ 無限列の存在を誰も否定してないことも分かってないｗ 否定されてるのは最後の項がある無限列ということも分かってないｗ 頭の中豆腐なんじゃね？脳みそが入っているとは思えないｗ 1079 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 00:36:23.51 ID:+/jN2Qmv.net] 落ちこぼれクンはいつも酷いが、今日は特に酷かったな 酷い、あまりに酷過ぎる 1080 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 07:21:14.49 ID:u8VNzVRh.net] >>968 補足 だから ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間 「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」 で z1=0.9,z2=0.99,・・、zn=9/10^n.・・ とす� 1081 名前：黷ﾎ 0.9<0.99<・・<9/10^n<・・ なる可算無限列ができる この列の任意の(∀)ｎ項目9/10^n<1 が成立 よって 0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1 なる算無限列ができるよｗ（＾＾ この話は、下記の順序数の理論と整合している （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 順序数の並び方を次のように図示することができる： 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。 (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 1082 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 07:44:17.83 ID:u8VNzVRh.net] >>974 補足 (引用開始) ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間 「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」 で z1=0.9,z2=0.99,・・、zn=9/10^n.・・ とすれば 0.9<0.99<・・<9/10^n<・・ なる可算無限列ができる この列の任意の(∀)ｎ項目9/10^n<1 が成立 よって 0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1 なる算無限列ができるよ (引用終り) 自画自賛ですがｗ（＾＾； この話は、結構分かり易いと思った つまり 1．N＝{0，1，2，・・,n,・・} 　なる、ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができて（それ普通ですがｗ） 2．ノイマン流 N=ω なる順序数を考えたとき 　0.99・・＝lim ｎ→∞ 9/10^n ＝1 （n=ωのとき） だと（＾＾ 3．即ち、ｎがNの内では、9/10^n＜1だが 　Nの外 n=ω で、0.99・・＝1が成立しているってこと ここの議論は、なかなかデリケートですね 分かりにくいよね（＾＾； 以上 1083 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 07:51:37.02 ID:+/jN2Qmv.net] >>979 >0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1 >なる算無限列ができるよｗ（＾＾ だからできませんってｗ　まだ分からんの？　阿呆だねえキミｗ それが列ならば、<1の左が定まっている必要があるが、0.9, 0.99,… のどの項が左に来たとしても有限番目の項ですよ？つまりこの列は有限列ｗ これでもまだ分からない？ｗ　なら数学諦めなよｗ　無理だからｗ 1084 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 07:52:36.49 ID:+/jN2Qmv.net] >>979は>>974の間違い 1085 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 07:53:48.99 ID:u8VNzVRh.net] >>975 さらに追加 1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること 2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω） 3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある ってことですね（＾＾； 1086 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 07:55:52.01 ID:+/jN2Qmv.net] >>975 >自画自賛ですがｗ（＾＾； >この話は、結構分かり易いと思った ただの自惚れですねｗ 分かり易い大間違いですからｗ 1087 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 08:05:24.00 ID:+/jN2Qmv.net] >>978 >1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること >2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω） >3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある いいえ、まったく違います。 0.999…:=0.9, 0.99, …の極限=1 実数列の極限の定義に極限順序数は不要。実数全体の集合と自然数全体の集合があれば十分。 実際、εN論法による実数列の極限の定義に極限順序数は登場しません。 大学一年4月の課程を履修していれば分る内容ですがｗ 1088 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 08:19:25.32 ID:+/jN2Qmv.net] >>975 >2．ノイマン流 N=ω なる順序数を考えたとき >　0.99・・＝lim ｎ→∞ 9/10^n ＝1 （n=ωのとき） だと（＾＾ 大間違いですね。 極限の定義を知らないんですか？大学一年4月に習うはずですけど。 極限の定義においてnは自然数ですよ？自然数ではないωを代入することはできません。定義を逸脱してます。 あなたは大学数学に入門を拒否されたのですから大学数学を語らないでもらえますか？ 1089 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 08:27:38.84 ID:+/jN2Qmv.net] あなたのやってる行為は、0除算できないというルールを逸脱して∞:=1/0を構成できた！と言ってるようなものですよ？ それがどれほど愚かか分かりますか？ 1090 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 08:37:05.49 ID:u8VNzVRh.net] >>978 参考 下記なども参考にして貰えれば、よろしいかと（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999... 0.999... 数学における循環十進小数 0.999… は、 "1" と同じ数。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/999_Perspe 1091 名前：ctive.svg/750px-999_Perspective.svg.png 無限に 9 の続く無限小数 超実数 「超実数」も参照 数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限であるが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999…;…999000…, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。 このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした。Jose Benardete は自身の著書 Infinity: An essay in metaphysics において、過度に制限された数体系に話を限定する限り、数学以前の自然な直観のいくらかは言い表すことができないのだと主張した。 [] [ここ壊れてます] 1092 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 08:45:03.36 ID:u8VNzVRh.net] 無限小数 0.999・・ を論ずる某スレと立場逆転している 無限長の列を認める立場（私）と 無限長の列を認めない立場（数学科出身を名乗るもの）と なんか、立場が逆転しているようだねぇ〜ｗ（＾＾； 1093 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 08:47:00.00 ID:+/jN2Qmv.net] >>983 実数論で落ちこぼれたあなたが超実数を語りますかｗ 1094 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 08:48:01.86 ID:+/jN2Qmv.net] >>984 錯乱してるんですか？ 自分が何を指摘されてるかも分からないようですけど 1095 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/15(土) 10:17:44.05 ID:jh03jHu0.net] >>984 0.999･･･　は認めますよ しかし、そこから＞降下列で０に到達する場合 いかほど長い＞降下列もつくれますがすべて有限長です 0.999･･･＞0.9･･･(n個)･･･9 🐎🦌な雑談君は、0から0.999･･･への収束列をひっくり返せば そのまま＞降下列ができる、と思い込んでますが、間違ってます なぜなら0.999･･･に一番違い0.9･･･(n個)･･･9なんてないからです 「＞降下列」の最初で、いかほど大きいｎをとっても その時点で、無限個の0.9･･･(m個)･･･9　(m>n)をすっとばします 「＞降下列」が有限長、というのはそういうことです 極限順序数ωの場合、最初で１段降りることが不可能です どうがんばったって、無限段降りるしかない 基本中の基本、初歩の初歩ですが、お🐎🦌の雑談君は 最初の一歩がどうしても踏み出せないようですねｗ 1096 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 10:19:17.26 ID:u8VNzVRh.net] >>978 補足 (引用開始) 1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること 2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω） 3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある (引用終り) ここは結構デリケートな話でね つまり、下記のコーシー列による実数構成に同じ 1．有理数のコーシー列(yn)で√2を表すものを考える 2．lim n→∞ yn =√2 だ 3．yn n∈N は、全て有理数。極限 lim n→∞ で、 　ynは有理数の外に出る。つまり、yω＝√2 4．これを、数学では、√2では、有理数内のコーシー列(yn)と同一視すると考えて 　有理数内のコーシー列(yn)で、無理数√2を構成できたとする ここは結構デリケートな話です（＾＾ 理解できない人もいるだろうねｗ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97 コーシー列 5 実数の構成 実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。 (xn) - (ym) が 0 に収束するという関係 〜 は同値関係になる。この同値関係 〜 で割った[5]商環 X/〜 は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/〜 を R と書き、実数体とよぶ。 X の元 (xn) に対して、その極限を標準射影によって lim _{n→ ∞} x_n:=[(x_n)_{n∈N }]∈ X/〜 と定める。もし、(xn) が通常の意味で有理数値の極限 r を持つならば、有理数列 (xn - r) は 0 に収束するので、ここで定義した極限は通常の意味の極限と両立している。 コーシー列同士の四則演算の極限は、演算を行う列のとり方によらずそれらの列の極限のみから定まるので、X/〜 における距離を自然に定めることができる。 つづく 1097 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 10:19:41.18 ID:u8VNzVRh.net] >>988 つづき 有理数列 (y_n)_{n∈N } (yn) は R 内に極限値 z を持ち https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96) 射影 (集合論) 集合論における射影（しゃえい、英: projection）あるいは射影写像、特に標準射影は順序組に対してその一つの成分を対応させる写像である[1]。より一般に射影は、集合の添え字付けられた任意の族の直積（デカルト積）上で定義された、元の族から特定の添字をもつ成分を選び出す写像を言う。選択公理を仮定すれば、空でない集合からなる任意の族に関して、射影は必ず全射になる。4 2.2 成分への標準射影 添字集合が n 個の元からなる I = {1, …, n} であるとき、デカルト積 XI = X1 × ? × Xn は、i-番目の成分が xi ∈ Xi となっているような n-組の集合である。第 j-成分への標準射影 πj は写像 π_j： X_1ｘ・・・ｘX_n→ X_j; (x_1,・・・ ,x_n)⇒ x_j として与えられ、この値は j-番目の成分のみからなる一元集合としての順序組である[3]。任意の順序組 T ∈ XI は T = (π1(T), …, πn(T)) と書くことができる。 (引用終り) 以上 1098 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/15(土) 10:20:11.50 ID:jh03jHu0.net] 雑談君はこのスレが終わったら 哀れな素人　安達弘志氏の立てた 以下のスレにのみ書き込んでね 0.99999…は１ではない　その23 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617924909/ 1099 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/15(土) 10:30:41.90 ID:jh03jHu0.net] >>988 ＞ここは結構デリケートな話でね ま~だ、大学１年４月の実数の定義のつまづきを乗り越えられないんだねえ、チミは ＞yn n∈N は、全て有理数。 ＞極限 lim n→∞ で、ynは有理数の外に出る。 ＞ここは結構デリケートな話です ＞理解できない人もいるだろうね それは、チミだろ？チミｗ 「yn n∈N は、全て有理数。 　だったら、極限 lim n→∞ も　有理数の筈！」 とまったく非論理的な妄想思考を臆面もなく口にする 人間失格の🐎🦌は数学板に無用　シッシッｗｗｗ 1100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/15(土) 10:34:05.73 ID:jh03jHu0.net] 雑談君語録 　「結構デリケート」 →なんでそうなるのかわからん 　「理解できない人もいる」 →オレが理解できん！ わかってるからぁｗ 安達スレにいけ 安達が君をボコボコにするってさｗｗｗ 1101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/15(土) 10:44:47.64 ID:jh03jHu0.net] >>988 ＞集合Nの外に極限順序数ωを考えることができる 基本的に　¬(ω∈ω)ですが何か？ Ｏが後続順序数の場合 ｏ∈Ｏの中で最大のものが存在する Ｏが極限順序数の場合 ｏ∈Ｏの中で最大のものは存在しない ちなみに Ｏが順序数なら Ｏ∈Ｏ’となるＯ’の中で最小のものが存在します 1102 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 13:46:23.45 ID:u8VNzVRh.net] 列の長さが、有限でなければならない？　 バカすぎない？（＾＾ 下記、照井一成 補題 3.3 「X 上のどんな無限列」及び定理 4.1 など （(参考)） https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/zengaku2018.pdf NASH村� 1103 名前：ﾆスライム退治：整列擬順序入門 照井一成・京都大学数理解析研究所 P4 整列半順序には他にも有用な特徴づけがいくつもある。そのうち 2 つを以下で紹介する。 最初のものは (Nash-Williams 1963) による。 補題 3.3 半順序 X = hX, ≦i が整列半順序であることの必要十分条件は、X 上のどんな無限列 a0, a1, a2, . . . も広義単調増加な無限列 ai0 ≦ ai1 ≦ ai2 ≦ ・ ・ ・ (i0 < i1 < i2 < ・ ・ ・) を部分列として含むことである。 P7 定理 4.1 以下を満たす整列順序 (O(ω1), ≦) が同型を除いてただ 1 つ存在する。 (i) 0 ∈ O(ω1) (ゼロ) (ii) α ∈ O(ω1) =⇒ α + 1 ∈ O(ω1) (後続順序数) (iii) α0 < α1 < α2 < ・ ・ ・ ∈ O(ω1) =⇒ supi∈N αi ∈ O(ω1) (可算極限順序数) (iv) O(ω1) の要素はすべて (i), (ii), (iii) のいずれかにあてはまる。 O(ω1) の要素 α を可算順序数という。また集合 {β ∈ O(ω1) : β < α} を O(α) と書く。 たとえば O(ω1) の中には以下のような順序数が存在する。 ω := sup{0, 1, 2, . . . } ω ・ 2 := sup{ω, ω + 1, ω + 2, . . . } ω^2:= sup{ω, ω ・ 2, ω ・ 3, . . . } ω^ω:= sup{ω, ω^2, ω^3, . . . } ε0 := sup{ω, ωω, ωωω, . . . } ちなみに ω1 は最小の非可算順序数を表す。どんな実数にも O(ω1) の要素を 1 対 1 に対応 させることはできるだろうか？ 「できる」というのが Cantor の連続体仮説であるが、そ の成否は ZFC 集合論から独立である。 n を 2 以上の自然数とするとき、どんな自然数も n 進法により表すことができる。 n を大きくとればとるほど、大きな数を少ない桁数で表すことができる。つまり情報圧縮 が生じる。同様にして、(可算に限らず) どんな順序数も ω 進法により表すことができる。 (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 1104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/15(土) 13:58:24.60 ID:GSVfptGO.net] スレ主は 自分の間違いが認められない病 かつ 数学的な主張が理解出来ない病 なんだろね。 引用したものと自分の言ってることが別ものだということが全く理解出来てない。 1105 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 14:12:45.35 ID:+/jN2Qmv.net] >>994 >列の長さが、有限でなければならない？　 はい。最後の項があるならね。 >バカすぎない？（＾＾ バカすぎなのは最後の項が無い無限列ばかりコピペしてるキミだね。 いまだに何を指摘されてるかすら分かってないってバカすぎだよね。 1106 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/15(土) 14:15:18.26 ID:+/jN2Qmv.net] 指摘されて間違いに気づくのがふつーの馬鹿。これは救い様がある。 落ちこぼれクンは救い様の無い馬鹿。 1107 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 14:28:28.06 ID:u8VNzVRh.net] >>994 追加 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/ Homepage of Kazushige TERUI https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/summer2013.pdf 直観主義論理への招待 数学基礎論サマースクール 2013 講義資料 照井一成（京都大学） 1 はじめに 直観主義論理 (intuitionistic logic) とは、オランダの数学者ブラウワー (1881-1966) が提 唱した直観主義数学に由来する論理であり、直観主義数学で認められる推論の様式を弟子 のハイティング (1898-1980) が形式化したものである。 数学基礎論上の立場としての直観主義は、廃れて久しい。 ではなぜ今になって直観主義論理を勉強するのか？一つには、直観主義数学に限らず、 様々な構成的数学の論理的基盤になっているという事実がある。直観主義は忘れ去られて も、“構成” の重要性は変わらない。構成的な論証によりどこまで数学を展開できるのか は、基礎論的な問題意識を抜きにしても興味のあるところであろう。 もう一つには、“広義の構成主義” とでも呼ぶべき研究運動の原点としての意義がある。 これは基礎論的研究に端を発しつつ、計算機 1108 名前：科学寄りの論理学の中で発展してきたもので ある。広義の構成主義者は、哲学思想や基礎論的な立場に縛られず、それどころかいわゆ る “構成的証明” にすら縛られず、証明一般に潜む構成的要素を自由に探究する。ある者は 証明の分析を通してアルゴリズムを抽出し、有用な計算情報を獲得しようとする（プルー フ・マイニング）。またある者は証明そのものが持つ美しい代数構造に魅せられる。広義 の構成主義者は「この論法は構成的ではない」などといって排除しない。むしろ逆転の発 想で「この論法を構成的に解釈するとどうなるか」と考える。一言でいって、証明のダイ ナミズムを追求するのが計算機科学的な意味での “構成主義” である。その出発点にある のが直観主義論理であり、それとともに考案されたさまざまな道具立てなのである（構造 的証明論、実現可能性解釈、関数解釈、カリー・ハワード同型対応、古典論理の直観主義 論理への翻訳等）。 本講義の目的は、このように非直観主義的な観点から直観主義論理を導入し、慣れ親し んでもらうことにある。 (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 1109 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/05/15(土) 14:35:44.88 ID:u8VNzVRh.net] >>994 追加 NASH村 2018 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/kenkyubu/zengaku/18/terui.html RIMS 全学共通科目講義（１回生〜４回生対象） 現代の数学と数理解析 ――　基礎概念とその諸科学への広がり 授業のテーマと目的： 数学が発展してきた過程では、自然科学、 社会科学などの種々の学問分野で提起される問題を解決するために、 既存の数学の枠組みにとらわれない、 新しい数理科学的な方法や理論が導入されてきた。 また、逆に、そのような新しい流れが、 数学の核心的な理論へと発展した例も数知れず存在する。 このような数学と数理解析の展開の諸相について、第一線の研究者が、 自身の研究を踏まえた入門的・解説的な講義を行う。 数学・数理解析の研究の面白さ・深さを、 感性豊かな学生諸君に味わってもらうことを意図して講義し、 原則として予備知識は仮定しない。 第７回 日時： ２０１８年６月１日（金） １６：３０−１８：００ 場所： 数理解析研究所　４２０号室 講師： 照井 一成　准教授 題目： NASH村の命名規則：整列擬順序の理論へ 要約： 人名をひらがなで表す。名前AがBに埋め込めるとは、Bからいくつか文字を取り除くと Aになることをいう。たとえば「ゆか」は「ゆうか」や「かゆかゆ」に埋め込めるが 「かゆゆ」には埋め込めない。さて、NASH村では次々と子供が生まれていくが、 新生児の命名にはひとつきまりがあり、過去に 生まれた子の名前が新生児の名前に埋め込めてはならないとする。この命名規則は いつまでも維持可能だろうか？それともいつかは新生児に名前をつけられない事態が 生じるだろうか？「生じる」というのがHigmanの定理(1952)である。 この定理はNash-WilliamsやKruskal等 多くの研究者によって一般化され、今でも研究は発展し続けている。 本講義ではこの問題を取り掛かりとして、整列擬順序理論の一端を紹介したい。 参考文献： 照井一成. コンピュータは数学者になれるのか？ 青土社, 2015年（第3章）. https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/zengaku/18/terui-zengaku2018.pdf 1110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/15(土) 14:50:09.87 ] [ここ壊れてます] 1111 名前： ID:3cB7L6js.net mailto: もうこのスレ要らないね。 [] [ここ壊れてます] 1112 名前：1001 [Over 1000 Thread.net] このスレッドは１０００を超えました。 新しいスレッドを立ててください。 life time: 27日 3時間 44分 6秒 1113 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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