分からない問題はここに書いてね 466

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/02/17(水) 00:42:07.42 ID:pOGUunX7.net] さあ、今日も１日がんばろう★☆ 前スレ 分からない問題はここに書いてね 465 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608546793/ (使用済です: 478) 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/12(月) 20:56:26.73 ID:sL5koGgx.net] k=1,2,...,n-1のどのkに対しても、nCk/(n^2+1)が整数にならないnが、無数に存在することを示せ。 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/12(月) 23:58:12.57 ID:d/DzSP/c.net] p≡1 ( mod 4 )である素数を任意に取る オイラーの定理よりn^2+1≡0 ( mod p ), 1 ≦ n ≦ p/2を満たすnが取れる この時n>√pである この時任意の0≦k≦nに対しC[n,k]の素因子はn以下であるからC[n,k]はpの倍数足りえない よってpi ≡ 1 ( mod 4 ), ni^2+1 ≡ 0 ( mod pi ), p(i+1)>ni^2と選べば良い 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/13(火) 08:00:33.39 ID:j+QCmQK0.net] >>718 いるよね。 助言でなく罵倒にしか喜びを見いだせないヤツ。 自分の考えと異なる人間は同一人物にみえるらしくすぐに自演認定するのがその特徴でもある。 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/13(火) 08:38:38.28 ID:VQQVIuEI.net] >>721 罵倒厨とか言ってるやつのことか？ 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/13(火) 13:29:25.91 ID:pvDz1UJH.net] 自分自身？ 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/13(火) 13:56:20.05 ID:lWQXuxEC.net] いるよね。 p ≡ 1 (mod 4) である素数pが無数にあると思ってるヤツ。 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/13(火) 13:59:54.59 ID:lWQXuxEC.net] 4m+1 形の奇素数は無数にある。 (略証) 5,13,17,･････,p は 4m+1形の奇素数とし、 　a = (2･5･13･17･････p)^2 + 1 とおく。 すなわち、上記の4m+1形の奇素数すべてと2との積を平方して、1を加える。 　(1)　aが素数なら、aは上記以外の4m+1形の奇素数。 　(2)　aが合成数のとき、 　　a = n^2+1 だから、aの素因数qは2または4m+1形の奇素数に限る。　(← 補題) 　　aの定義から、上記の4m+1形の奇素数や2は aの素因数ではない。 　　よって、qは上記以外の4m+1形の奇素数。 〔補題〕 　n^2 +1 の素因数qは、2または4m+1形の奇素数に限る。 (略証) qを法とすると、-1は平方剰余である。 　　((-1)/q) = +1 q≠2 のとき 　-1 ≠ 1　(mod q) 剰余類 (Z/qZ) の乗法群は、位数4の元を含む。 φ(q) = q-1　は4の倍数。　　　　(← ラグランジュの定理) q は 4m+1形の奇素数。 www2.wbs.ne.jp/~ykkym/MathNote/NoteSosuu.pdf www.youtube.com/watch?v=VVAeF9I1dn8 15:20, 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/13(火) 14:49:43.08 ID:wgnWxNBw.net] φn(x)をn次円分多項式、aを整数、pをφn(a)の素因子でnと互いに素とする時 p≡1 ( mod n ) ∵) ζ=exp(2πi/n)、R=Z[ζ]、PをpZの上にあるイデアルとする時(i1,n)=1なるi1をとってζ^i1≡a ( mod P ) よって任意の(i,n)=1であるiに対してζ^i≡b ( mid P ) (∃b ∈ Z) ∴ φn(x) ≡ f(x) ( mod P ) ( ∃f(x) ∈ Z[x] ) ∴ Frobenius置換Fは恒等射像 ∴ p ≡ 1 ( mod n ) 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/13(火) 14:53:55.66 ID:lWQXuxEC.net] 補題の方は 　n^2 ≡ -1　　(mod q) qが奇数だから φ(q)/2 乗して 　n^φ(q) ≡ (-1)^{φ(q)/2}　　(mod q) 一方、フェルマーの小定理から　(n,q)=1 のとき 　n^φ(q) ≡ 1　　(mod q) ∴　φ(q) は4の倍数。 ∴　q は 4m+1形の奇数。 4m-1形の奇素数の方は 　a = 4(3･7･11････p) - 1 とおくらしい。 なお、n^2 +1 形の素数が無数にあるかどうか、未解決らしい･･･ oeis.org/A002496 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/13(火) 15:14:02.46 ID:oIY6xqiV.net] Nを正の整数、aをNと素である整数とするとき lim[x→∞] #{ p | p≦x, p ≡ a ( mod N ) } / (x/logx) = 1/φ(N) ∵ K/Qをガロア拡大、C⊂G = Gal(K/Q)を共役類とするときチェボタリョフ密度定理より lim[x→∞] #{ p | p≦x, Fp ∈ C } / (x/logx) = #C/#G K=Q(exp(2πi/n))とするときGal(K/Q)は位数φ(n)のアーベル群で p ≡ a ( mod n ) ⇔ Fp(ζ) = ζ^a 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 00:31:03.32 ID:6YZhquKp.net] 自分に都合の悪いレス＝罵倒厨w 単に頭が悪いことを指摘されただけだろうが。 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 12:52:11.14 ID:OunzomDB.net] 動画に謝意を示す投稿とか、自分の考えと異なる人間は同一人物にみえるらしくすぐに自演認定するのが罵倒厨の特徴である。 >718には完全に同意。 742 名前：１３２人目の素数さん [2021/04/14(水) 13:05:27.12 ID:XG40KOs9.net] コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』 Cantorの集合を F とおく。 F + F = [0, 2] であることを示せ。 743 名前：１３２人目の素数さん [2021/04/14(水) 13:09:40.06 ID:XG40KOs9.net] 回答がない場合には、夕方に解答を書きます。 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 13:51:29.58 ID:xC8tpW4f.net] 以下三進展開は0または2が無限個持つものに限るとする Fは0以上1以下の三進展開が1を含まないものの全体とする xが(0,2)の元とする 三進展開が1を無限に含む時 1を２つずつ組みにしていく めんどくさいので一例で書けば 1220220221 =0220220222 +0222222222 と分けていく つまり2のところはどっちも2,0のところは0と2、最初の1のところはどっちも0,最後の1のところはどっちも2 仮定によりどちらにも0は無限個入る 三進展開が1を有限個しか持たない時 1が偶数個なら1が無限にある場合とほぼ一緒 0が無限に入るようにできるところがやや自明ではないが容易 1が奇数個数なら最後の1以降を 122202222000222202.... =022222222200222222.... +022202222022222202.... とわける つまり2のところは双方2,0のところは0と2,ただしいずれも0が無限に入るように振り分ける それが可能なのも容易 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 14:41:08.49 ID:XG40KOs9.net] >>733 ありがとうございます。 F + F ⊂ [0, 2] は明らか。 x ∈ [0, 2] とする。 x/2 ∈ [0, 1] である。 x/2 = a_1/3 + a_2/3^2 + a_3/3^3 + …, （a_i ∈ {0, 1, 2}） と書く。 a_i = 2 のとき、 b_i = 1, c_i = 1 とする。 a_i = 1 のとき、 b_i = 1, c_i = 0 とする。 a_i = 0 のとき、 b_i = 0, c_i = 0 とする。 y = b_1/3 + b_2/3^2 + b_3/3^3 + …, （b_i ∈ {0, 1, 2}） z = c_1/3 + c_2/3^2 + c_3/3^3 + …, （b_i ∈ {0, 1, 2}） とする。 x/2 = y + z である。 x = 2*y + 2*z である。 2*x, 2*y ∈ F である。 よって、 x ∈ F + F である。 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 17:45:21.05 ID:xC8tpW4f.net] >>734 カントール集合は各桁が0 or 2やろ？ なんで0 or 1に分解してるん？ 747 名前：１３２人目の素数さん [2021/04/14(水) 17:46:45.83 ID:XG40KOs9.net] 2*x, 2*y は各桁が 0 or 2 になります。 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 17:46:46.95 ID:xC8tpW4f.net] あぁ、あとで２倍してるのか 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 17:49:26.42 ID:xC8tpW4f.net] あとその構成だとaiに2が有限個の場合場合ciは有限個除いて全部0になる それは禁止やからあかんやろ 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 17:51:16.58 ID:xC8tpW4f.net] あ、失礼、逆やな 有限個除いて全部0は可やった 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/14(水) 22:45:59.22 ID:6YZhquKp.net] >>730 コピペしか能がないのか 752 名前：１３２人目の素数さん [2021/04/14(水) 23:01:19.41 ID:XG40KOs9.net] コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』 C[a, b] を区間 [a, b] で連続な関数全体の集合とする。 f, g ∈ C[a, b] に対して、 ρ(f, g) := sup_{x ∈ [a, b]} | f(x) - g(x)| とする。 ρ は距離の公理を満たす。 M_K := {f ∈ C[a, b] | |f(t) - f(s)| ≦ K*|t - s| for any s, t ∈ [a, b]} とおく。 M_K は閉集合であり、 {f ∈ C[a, b] | f は [a, b] で微分可能で |f'(t)| ≦ K を満たす} の閉包に等しいことを証明せよ。 で定義する。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 05:21:11.90 ID:cEnfWYSS.net] 実数xについて定義された関数f(x)は、0<a<bなる任意の実数a,bに対して f(a)/a < {f(b)-f(a)}/(b-a) < f(b)/b を満たすという。 このようなf(x)の例を挙げよ。 754 名前：１３２人目の素数さん [2021/04/15(木) 07:21:21.98 ID:xLVMSrQW.net] >>741 M_K が閉集合であることは簡単に分かりますね。 f を M_K の触点とする。 M_K の関数列 (g_n) で f に収束するものが存在する。この収束は一様収束である。 任意の正の実数 ε に対して、 |g_N(x) - f(x)| < ε for any x ∈ [a, b] が成り立つような N が存在する。 For any x, y ∈ [a, b], |f(x) - f(y)| ≦ |f(x) - g_N(x)| + |g_N(x) -g_N(y)| + |g_N(y) - f(y)| < K*|x-y| + 2*ε. ∴|f(x) - f(y)| ≦ K*|x-y| for any x, y ∈ [a, b] ∴f ∈ M_K ∴M_K は閉集合。 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 08:59:43.80 ID:/uP9Fo0X.net] >>742 与式の右側から 　b{f(b)-f(a)} < (b-a)f(b), 　f(b)/b < f(a)/a, となって矛盾 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 12:02:04.24 ID:sjnFC7Th.net] 解明の無い数学題 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 13:05:00.50 ID:X9qcKTqm.net] f(x)をM_Kに属する関数とする 周期2πを持つ周期関数としてよい 閉円盤|z|≦1での連続関数u(z)を ・u(exp(ix)) = f(x) ・u(z)は|z|<1で調和関数 となるように取れる この時|z|=1と|ρ|=1に対して|φ(ρz)-φ(z)|≦K|ρ-1|であるから最大値原理を用いて|z|≦1でも成立する この時f_r(x)=u(rexp(ix))とおけばlim f_r(x)=f(x) (uniform)かつ|f'(x)|≦Kである 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 13:45:47.52 ID:/uP9Fo0X.net] a{[f(b)-f(a)]/(b-a) - f(a)/a} + b{f(b)/b - [f(b)-f(a)]/(b-a)} = 0, 両方が同時に正にはならない。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 13:51:16.90 ID:/uP9Fo0X.net] >>727 4m-1形の奇素数は無数にある。 (略証) 3,7,11,･････,p は 4m-1形の奇素数とし、 　a = 4(3･7･11･････p) - 1 とおく。 　(1)　aが素数なら、aは上記以外の4m-1形の奇素数。 　(2)　aが合成数のとき、 　　aは4m-1形の奇数だから、4m-1形の素因数qをもつ。 　しかし aの定義から 上記の4m-1形の奇素数はaの素因数ではない。 　∴　q は上記以外の4m-1形の奇素数。 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 18:06:46.64 ID:cEnfWYSS.net] 実数xについて定義された関数f(x)は、0<a<bなる任意の実数a,bに対して f(a)/a < {f(b)-f(a)}/(b-a) < f(b)/b を満たす。 というf(x)が存在しないことは、図形的にはどう説明できますか？ 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 18:43:14.58 ID:X9qcKTqm.net] p<<rの時 p〜rの傾き=p〜qの傾きとq〜rの傾きの加重平均 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/15(木) 21:06:42.63 ID:XjSeSAKy.net] >>749 不等式の各項から見える通りを表現するだけだな。 原点O:(0,0)、点A:（a, f(a))、点B:(b, f(b)) ここに　0＜a＜b　のとき、 OAの傾きがOBの傾きより小さいときはABの傾きはOBの傾きよりおおきく OAの傾きがOBの傾きより大きいときはABの傾きはOBの傾きよりちいさい。 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 00:14:17.68 ID:FMSmwK5I.net] 重積分の解き方がわかりません。 ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] e^x/(e^x+e^y+e^z) dxdydz wolframで答えは確認したのですが、どうやって解くのでしょうか。 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 00:23:01.48 ID:jd5oFRy+.net] 対称性を使え 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 02:50:40.69 ID:SMl20eo3.net] dzdydxの順に累次積分 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 10:31:59.79 ID:FMSmwK5I.net] 途中でどうしても積分できない形になってしまうのですが、、、 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 11:47:48.60 ID:FMSmwK5I.net] >>752 すみません、どなたか解説お願いします、、、 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 12:08:03.62 ID:Jxk/mkxx.net] I = ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] e^x/(e^x+e^y+e^z) dxdydz = ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] e^y/(e^x+e^y+e^z) dxdydz = ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] e^z/(e^x+e^y+e^z) dxdydz 3I = ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] dxdydz = 1 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 12:24:19.11 ID:FMSmwK5I.net] ありがとうございます！ こんなにあっさりと解けるんですね、、、 こういう解き方の発想、どうやって思いつくのかをもしよかったら教えていただきたいです！ 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 12:36:49.51 ID:Jxk/mkxx.net] 対称性を使え 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 13:10:57.25 ID:xwfgxic/.net] >>749 0<a<b OBの傾きは、OAの傾きとABの傾きの加重平均だから それらの中間にある。 ∴　ABの傾きは f(a)/a と f(b)/b の中間にはない。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 13:19:21.08 ID:PH0kEqcg.net] コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』 p.65 演習3 つぎつぎに前の球に含まれるような適当な閉球列の交わりが空集合であるような完備距離空間の例をつくれ。 本当にこんな完備距離空間って存在するんですか？ 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 16:09:35.08 ID:SMl20eo3.net] R^n 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 16:10:33.56 ID:SMl20eo3.net] よく見たら閉集合でなく球限定か 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 16:21:54.68 ID:NiDHgcDH.net] そうそう 有界完備の閉集合で単調に減少していかないといけないのでコンパクトでない例をあげないとダメ 有界完備距離空間でコンパクトでない例だから有界だけど全有界でない例やね それ自体はすぐ上げられるけど、なおかつ閉球の単調減少列で反例を作らないといけないからなぁ 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 16:48:06.45 ID:Jxk/mkxx.net] math.stackexchange.com Example of nested closed balls with empty intersection? で挙げられている例 d(n,n) = 0, d(n,m) = 1 + 1/min(n,m) (n≠m) で距離付けされた空間: N = {1, 2, ,3, 4, ... } 球列: Ballₙ = B(n, 1+1/n) = {n, n+1, n+2, ... } Ball₁ ⊃ Ball₂ ⊃ Ball₃ ⊃ ... ∩ₙ Ballₙ = ∅ である. 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 17:47:21.55 ID:KWN7naKQ.net] Σ(2k)!!/(2k+1)!!=(2n+2)!!/(2n+1)!!-1 らしいのですが、帰納法以外でどうすれば右辺にたどり着けるでしょうか？ 和は k=0 から k=n までです 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 17:52:46.02 ID:djcsjBGz.net] !! を ! で書いてみたら？ 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 17:58:00.35 ID:KWN7naKQ.net] 和の中身=(2^k･k!)^2/(2k+1)! みたいな感じですか？ 780 名前：１３２人目の素数さん [2021/04/16(金) 19:42:31.97 ID:PH0kEqcg.net] >>765 ありがとうございました。 こういう極端な例を考えないといけないんですね。 こういう問題の場合、ユークリッド空間のイメージは捨てて考えたほうがいいようですね。 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 19:53:57.03 ID:DXqyicCC.net] 荒らしに優しいスレ、感動した 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 20:25:27.46 ID:xwfgxic/.net] >>766 Σ の中身に (2k+2) - (2k+1) を掛ける。 (2k)!!/(2k+1)!! = (2k+2)!!/(2k+!)!! - (2k)!!/(2k-1)!! telescoping と云うらしい 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/16(金) 21:27:09.26 ID:iuAaUDrV.net] >>771 あー答えの形から気づけと言われればそうですが僕には無理かな〜 ありがとうございました 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 00:41:54.76 ID:efHaSsJn.net] >>760 質問者>>749 は、これを読んで、加重平均って何のことなんだろって、またまた悩んでいることだろうなあ。 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 00:58:11.01 ID:noLBqZYE.net] 質問者>>749 はそれを読んで (OBの傾き) = {f(b)-f(0)}/(b-0) 　= {f(b)-f(a) + f(a)-f(0)}/{(b-a) + (a-0)} 　= {(b-a)(ABの傾き) + (a-0)(OAの傾き)}/{(b-a)+(a-0)} 　= {(ABの傾き) と (OAの傾き) の加重平均} のことだと思ってるよ。。。 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 01:16:20.84 ID:WSKRU0d1.net] まぁしかし加重平均というのをコレを機会に覚えるのはいい事に間違いはないし そもそもa〜cの傾きがa〜bの傾きとb〜cの傾きの間に必ず来るというのはいくつか図を書いてみれば常にそうなるのはわかる、わかるがじゃあ、「何例かかいてみたらいつでもそうなるから」なんてのが数学的証明として成立するわけない 結局次のステップとして「何故そうなるのか？」を理解しないと意味ないし そしてその理由は傾き＝平均変化率＝変化の“割合”の平均になってるのがエッセンスでa〜cの平均はa〜bでの平均とb〜cでの平均を(重みをつけて)平均を取り直したものになってるからというのがミソになってるのは間違いないからな 787 名前：766 mailto:sage [2021/04/17(土) 01:44:40.64 ID:noLBqZYE.net] 解説乙 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 09:38:01.31 ID:+1oB9kpo.net] 公平なコインがあり、コインを振って表が出た場合○を、裏が出た場合☓をノートに書くゲームを繰り返し行う。 ゲームを開始してちょうど10回コインを振ったところ、ノートには○が2つと☓が8つ書かれた。ノートの○と☓の数が同じになるまでコインを振るとき、あと何回コインを振ることになると考えられるか。その期待値を求めよ。 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 11:38:06.74 ID:cTPX2a7q.net] その試行が「終わらない」場合もあるけど、これは問題設定として適切なのか？ それとも終わる場合のみを考えた 条件付き確率として求めるのが正しいのか？ 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 11:51:44.72 ID:WSKRU0d1.net] 枚数差がnのとき同数となるまでの期待値をEnとおくAn=En+n^2とおけば漸化式 An=(1/2)(A(n+1)+A(n-1)) を満たすからE0,E1を求めれば良い E1=0 E1=Σ[k=0,∞]Ck/(2×4^k)(2k+1) よりカタラン数の母関数を使って以下ry 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 15:10:47.56 ID:noLBqZYE.net] 枚数差 n=2 とすると あと2k回コインを振ったとき初めて同じ枚数になる、という確率が 　p_k 〜 0.19925 / k^(3/2) よって 　E2 = Σ[k=1,∞] 2k･p_k　　は発散？ 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 15:26:17.92 ID:WSKRU0d1.net] 発散するな 惜しいね 確率が1/2でなければ収束するのに 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 16:30:04.48 ID:noLBqZYE.net] 枚数差 n=1 とすると あと2k+1回コインを振ったとき初めて同じ枚数になる、という確率が 　P_k 〜 1.13 / k^(3/2) よって 　E1 = Σ[k=0,∞] (2k+1)･P_k　　も発散 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 20:19:29.21 ID:6DAmp0q3.net] 応用(？)問題 ある大学の進級試験（本試験と呼ぶ）は○☓で答える問題が９問出されて正答率が５割を越える、即ち、５問以上正答で合格とする。 不合格者には追試が用意されていて１問ずつ問題が出されて本試験との通算成績が５割を越えた時点で合格となる。 追試には１問につき１万円が徴収される。 A君は本試験では問題も読まずに無作為に解答したため４問正答５問誤答で本試験は不合格となった。 追試料を100万円準備して追試も無作為に解答することにした。 A君が合格する確率はいくらか？ （尚、出題者は答をもっておりませんので悪しからず。） 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 20:20:28.63 ID:er1C6e/s.net] プロおじが似たような問題どっかで出してたね 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/17(土) 21:47:57.03 ID:WSKRU0d1.net] プロおじやろ 797 名前：772 mailto:sage [2021/04/17(土) 23:47:16.68 ID:noLBqZYE.net] n=2 と考えてよい 84.2382098507744% 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 01:34:00.87 ID:RBDdYvgz.net] n個の箱にk個の玉を入れていく。 各玉がどの箱に入るかについて、その確率は等しく1/nである。 全ての玉を入れ終わったあと、2個以上の玉が入った箱を取り除く。取り除かれる箱の数の期待値を、n=2kの場合にkで表せ。 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 07:21:01.95 ID:gK9RVIsx.net] >>783 10万回シミュレーション。 追試合格確率 > mean(y[,1]) [1] 0.84103 追試合格したときの追試料の分布 https://i.imgur.com/FAkT5AP.png 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 07:23:24.74 ID:gK9RVIsx.net] 合否を問わず、 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 07:23:44.85 ID:gK9RVIsx.net] A君の払う追試料金の分布 https://i.imgur.com/PSKJ3Wa.png 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 07:45:53.43 ID:gK9RVIsx.net] >>783 厳密解を出そうと思ったけど、(1/2)^100の計算は計算機がオーバーフローするので 10万円準備した場合の追試合格確率を計算 > sum(calc(nn)) [1] 0.548828125 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 08:00:52.85 ID:RdIaqb7f.net] フローするってわかってるなら型変えればいいのに 数値計算もそんなに詳しくないのかな あと自演はもうやめてね 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 08:13:29.39 ID:gK9RVIsx.net] >>787 ｋ=20までシミュレーション https://i.imgur.com/GQvk4GG.png 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 08:14:41.76 ID:gK9RVIsx.net] >>792 出題時はシミュレーション解しかもっていなかった。 いまも100万のときの厳密解はだせないでいる。 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 08:23:30.41 ID:RdIaqb7f.net] >>794 自演はもうやめてね 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 10:48:10.73 ID:FmOnSyhV.net] >>787 箱iに2個以上入らず取り除かれる確率は(1-1/n)^k k(1/n)(1-1/n)^(k-1) よって取り除かれる箱の個数の期待値は n((1-1/n)^k k(1/n)(1-1/n)^(k-1)) 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 11:09:31.21 ID:E0FLEhCb.net] >>795 なんだ分数での厳密解でも出せたのかと期待したのに 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 11:52:50.02 ID:T2x+9b6/.net] 2k,　　p_k ------------------------- 2,　0.250000000　　　1/4 4,　0.125000000　　　2/16 6,　0.078125000　　　5/64 8,　0.054687500　　　14/256 10,　0.041015625　　　42/1024 12,　0.032226563　　　132/4096 14,　0.026184082　　　429/16384 16,　0.021820068　　　1430/65536 18,　0.018547058　　　4862/262144 20,　0.016017914　　　16796/1048576 30,　0.009029028 40,　0.005970033 50,　0.004318276 60,　0.003308973 70,　0.002639596 80,　0.002168973 90,　0.001823285 100,　0.001560573 2〜10回 　0.548828125　　　　562/1024 　平均 4.220640569395回 2〜100回 　0.842382098507744 　平均 14.710974719367回 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 13:11:20.27 ID:gK9RVIsx.net] >>787 k=20,30,40,50で実験 https://i.imgur.com/ZINRFJc.png 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 13:20:00.71 ID:7oLWGUsy.net] >>797 そうやって誤魔化し続けることしかできないんだなお前 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 18:51:32.51 ID:gK9RVIsx.net] >>800 んで厳密解出せたのか？ 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 19:15:07.91 ID:6/ob1NSd.net] >>801 自演はもうやめてね 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 20:31:47.31 ID:gK9RVIsx.net] >>791 追試料20万円までなら計算が終了した。 https://i.imgur.com/AeVK0vS.png 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 20:34:43.46 ID:gK9RVIsx.net] >>802 んで、厳密解でたの？ 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 20:40:18.99 ID:gK9RVIsx.net] >>792 言語仕様上無理。 不定長整数の扱えない > 2^100+1 == 2^100 [1] TRUE > 2^50+1 == 2^50 [1] FALSE という仕様なので 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 21:01:20.78 ID:T2x+9b6/.net] >>798 2k,　　合格率 ------------------------- 2,　0.2500000000　　　1/4 4,　0.3750000000　　　6/16 6,　0.4531250000　　　29/64 8,　0.5078125000　　　130/256 10,　0.5488281250　　　562/1024 12,　0.5810546875　　　2380/4096 14,　0.6072387695　　　9949/16384 16,　0.6290588379　　　41226/65536 18,　0.6476058960　　　169766/262144 20,　0.6636238098　　　695860/1048576 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 21:17:32.25 ID:6/ob1NSd.net] >>804 自演はもうやめてね 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/18(日) 22:07:36.69 ID:z1zdvhKo.net] プロ爺よりソフトの方が有能適任だな 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/19(月) 08:48:49.18 ID:ynXYrH4x.net] nを3以上の整数とする。 x^n-nx+1=f_n(x)*g_n(x)をすべてのxに対して成立させる多項式f_n(x),g_n(x)が存在するならば、それらは有理数係数多項式でないことを示せ。 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/19(月) 09:18:53.62 ID:Kv6aPuJu.net] f_n(x)=x^n-nx+1 g_n(x)=1 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/19(月) 10:31:31.97 ID:wJ9Ijnpl.net] >>809 ムズイ ヒントおながいします 823 名前：801 mailto:sage [2021/04/19(月) 13:12:38.72 ID:dRjgjvaU.net] 訂正 多項式→定数でない多項式 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/19(月) 15:36:22.53 ID:wJ9Ijnpl.net] アレ？ また出題厨の答えなし思いつき問題？ 825 名前：１３２人目の素数さん [2021/04/19(月) 17:50:18.90 ID:5S2gubm7.net] https://youtu.be/5vtaPsr6zoc Topics in Combinatorics lecture 16.6 --- The Frankl-Wilson theorem on restricted intersection sizes このFranklってピーター・フランクルさんですか？ 826 名前：１３２人目の素数さん [2021/04/19(月) 20:22:56.36 ID:5S2gubm7.net] コルモゴロ 827 名前：おいては、この基本列 で決定される R^* の点 x^* に収束する。このことは R^* の構成からただちに結論される。」 「R の点からなる基本列 x_1, x_2, …, x_n, …」に登場する R は定理の証明中で構成された R^* へのもともとの R の埋め込み R' です。 x_i はもともとの R の基本列が属する類で、その類に属する基本列がすべて R の同一の元に収束するようなものです。 「R^* においては、この基本列で決定される R^* の点 x^*」の一番目の R^* は証明中で構成された R^* で、二番目の R^* は R' の完備空間 R'^* のことです。 「R^* においては、この基本列で決定される R^* の点 x^*」の x^* は R'^* の元です。 このように階層のことなるものを安直に完全に同一視してしまっても問題はないのでしょうか？ [] [ここ壊れてます] 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/19(月) 22:25:04.78 ID:7KbJFYAW.net] 他人を悪く言えば利口に見えると思ってるんだろうな 実際は下劣な性根がバレるだけ 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/20(火) 05:14:45.35 ID:C77OJIQE.net] >>816 罵倒厨と呼ばれているね。 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/04/20(火) 09:48:46.45 ID:rcCzw4O6.net] 三角形ABCの垂心をH、AからBCに下ろした垂線の先、BからACに下ろした垂線の先、CからABに下ろした垂線の先をそれぞれD,E,Fとする。直線ADと三角形ABCの外接円の交点でAでないものをGとする。このときの三角形EFHと三角形DEGの面積比を求めよ。

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