- 660 名前:132人目の素数さん [2021/04/06(火) 10:24:46.57 ID:D9cznXAr.net]
- コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
定義: 空でない集合系 R に対して、 A ∈ R, B ∈ R ならばつねに A △ B ∈ R、 A ∩ B ∈ R となっているとき、 R を(集合)環という。 定理: 任意の空でない集合系 S が与えられたとき、 S を含み、かつ、 S を含む任意の環 R^* に含まれる環 R(S) が、一つしかもただ一つ存在する。 この定理ですが、 >>639 の2分木で表せるような集合全体の集合を考えると、明らかに、 △、∩ について閉じているので、 R(S) が一意的に存在するのは明らかだと思いますが、 コルモゴロフらは、 S を含むような環たちの共通分をとって、それが R(S) であるなどと長い議論をしています。 無駄に複雑な証明をしているのはなぜでしょうか? △、∩ の演算子を有限回使って、表わされるような集合全体の集合が求める環であると書けば、一行で済む話です。
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