分からない問題はここに書いてね 466

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/02/17(水) 00:42:07.42 ID:pOGUunX7.net] さあ、今日も１日がんばろう★☆ 前スレ 分からない問題はここに書いてね 465 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608546793/ (使用済です: 478) 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 19:21:08.96 ID:9f/P46t2.net] 問題　：　1000000以下の素数は78498個以下であることを示せ。 答： 数えたら78498個なので78498個以下である。 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 19:57:49.67 ID:dIKXxSsW.net] >>191 昇順に並ぶ素数列において、隣接二項間の比が√2を超えるものとして、 2と3、3と5、7と11の3組が見つかるが、これ以外にそのようなものが無いのならば、 11以上の n に対し　2*PrimePi[n]＞PrimePi[2n] が成立する。ただし、PrimePi[n]は、n以下の素数の数を表す。 Prime[100]=25はよく知られていて、101から124までの素数は101,103,107,109,113が加わるので、 Prime[125]=30となる。これに、上を適用すると、250以下の素数の個数はせいぜい59個、 500以下の素数の個数はせいぜい117個、1000以下の素数の個数はせいぜい233個であることが言える。 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 20:38:09.13 ID:cZsGWtDA.net] この問題、高校の知識を使うとあっという間に解けるのかな？ https://www.youtube.com/watch?v=jVjfBCTptHM トライしてみたけど途中で挫折した。私のやり方が間違っていたのか？ 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 21:10:00.70 ID:XBptqp0+.net] 前スレかこのスレの前の方で30N+1〜30N+30の中に2,3,5,7と互いに素であるものが高々7個が示されている よって1〜1020までの素数は高々34×7+4=242である事がすでに得られている あるいは同様の議論で990までの素数は高々33×7+4=235個で991〜1000には(多くとも)991,997の2個しかない事を認めるならこの時点の評価が237に改善される さらにこの237個の数は15個の合成数ab (a,b∈{11.13,17,29,23,29})を含む事からコレを抜けば222個以下まで改善される さらにさらに‥ この手の話はキリがない 208 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/07(日) 21:16:18.27 ID:Q7BHnSy1.net] (1+x)^α のべき級数展開の収束円上の点での収束・発散について松坂和夫著『解析入門上』に書いてありました。 他に書いてある本はありますか？ 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 21:17:52.61 ID:XBptqp0+.net] >>202 OA=x、OB=yとして条件は 1/2 2xy sin135°=15 x^2+y^2-2xycos135°=(19/2)^2 コレからx^2+y^3も(√2)xyもすぐ出せる 求めるのは √(x^2+y^2-2xycos45°) 210 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/07(日) 21:18:57.88 ID:Q7BHnSy1.net] >>204 藤原松三郎にも書いてありました。 他にありますか？ 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 21:30:21.20 ID:ZSgt+lpD.net] >>202 BC=a、CA=b=9.5、AB=c、A から BC に下ろした垂線の足を M、AM=h とすると、 BM=(a/2)-h、CM=(a/2)+hとなる AB^2 = AM^2 + BM^2 より c^2 = h^2 + ((a/2)-h)^2 �@ AC^2 = AM^2 + CM^2 より b^2 = h^2 + ((a/2)+h)^2 �A �A-�@ より、b^2 - c^2 = 2ah �B △ABCの面積は(1/2)ah=15だから、�Bより 9.5^2 - c^2 = 60 c^2 = 9.5^2 - 60 =30.25 c = √30.25 = 5.5 動画のやってるのは実質これと同じっぽい 212 名前：イナ mailto:sage [2021/03/07(日) 23:19:11.86 ID:qhdyvJxv.net] 前>>168 >>202 AからBCに下ろした垂線の足をH、 AH =h,BC=2aとすると、 題意よりah=15 △AHCにおいてピタゴラスの定理より、 h^2+(h+a)^2=9.5^2 2h^2+2ah+a^2=(10-0.5)^2=100-10+0.25=90.25 AB=√｛h^2+(a-h)^2｝ =√(2h^2-2ah+a^2) =√｛(2h^2+2ah+a^2)-4ah｝ =√(90.25-4×15) =√30.25 =5.5 ∴5.5cm 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 00:51:54.63 ID:cnGNECTQ.net] 1050以下の自然数で2,3,5,7と互いに素であるものは240個である　 161〜210の中に2,3,5,7と互いに素であるものは [163,169,,181,187,193,199],[167,173,179,,191,197,,209] の12個であるから1001〜1050の中で2,3,5,7と互いに素であるものも12個である 以上により1〜1000の自然数で2,3,5,7と互いに素である自然数の個数は228個である また11〜31の素数pに対してnが最小素因子がpである1000以下の合成数nになるのははn/pがp以上1000/p以下の素数となる時であり、100以下の素数をリストアップしてその数をそれぞれ数えるとp=11,13,17,19,23,29,31に対してそれぞれ20,16,10,8,6,2,1個ずつあり、計63個ある(補足参照) 228個の2,3,5,7と互いに素である1000以下の自然数の全体からコレらの合成数と1を除いた164個が2,3,5,7と異なる1000以下の素数の全体である 以上により1000以下の素数の個数は168個である 補足 p=11,13,17,19,23,29,31に対してpを最小素因子とする合成数nにおけるn/pのとりうる値のリスト [11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89] [13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73] [17,19,23,29,31,37,41,43,47,53] [19,23,29,31,37,41,43,47] [23,29,31,37,41,43] [29,31] [31] 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 01:14:26.24 ID:nGsXbFDB.net] >>202 余弦定理を使えば解ける。 https://i.imgur.com/FdxB31x.png 面積からac=15 余弦定理から AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(45°) = 2a^2+c^2-2ac (1) AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(135°) ∴ 9.5^2=2a^2+c^2+2*ac (2) (1)-(2)で AB^2-9.5^2= -4ac where ac=15 AB^2=9.5^2-4*ac=9.5^2-4*15 AB=√(9.5^2-4*15)＝5.5 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 01:40:31.66 ID:nGsXbFDB.net] >>208 余弦定理なしで解けたのはすばらしい。 イナ氏の文字割り当てに準拠して作図を修正。 https://i.imgur.com/zuFlyUX.png 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 02:10:37.41 ID:sPENQxD6.net] なんだこれ？ちゃんとした数学の問題なの？ ーーーーーー 眠り姫問題(英：Sleeping Beauty problem)とは決定理論、確率論に関する思考実験である。 内容はシンプルでありながら、専門家同士でも答えが分かれるパラドックスでもある。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%A0%E3%82%8A%E5%A7%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 02:10:57.54 ID:nGsXbFDB.net] >>211 ついでに一般解を出したみた。 https://i.imgur.com/KN4yZ3Z.png 面積からha=S 余弦定理から AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(π-θ) = (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(π-θ) AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(θ)= (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(Θ) " AB^2=(h/sin(θ))^2+a^2+2*h/sin(θ)*a*cos(θ) AC^2=(h/sin(θ))^2+a^2-2*h/sin(θ)*a*cos(Θ) AB^2-AC^2=-4*ha*cot(Θ) AB=sqrt(L^2-4*S) L=9.5 S=15 で > (AB=sqrt(L^2-4*S)) [1] 5.5 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 02:21:38.37 ID:nGsXbFDB.net] >>213 恥ずかしい計算ミスをしていたので修正(>213は忘れてくれ） 一般解は　AB=sqrt(L^2+4*S/tan(θ)) 問題ではL＝9.5cm, S=15cm^2, θ=135° https://i.imgur.com/KN4yZ3Z.png " 面積からha=S 余弦定理から AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(π-θ) = (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(π-θ) AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(θ)= (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(θ) " AB^2=(h/sin(θ))^2+a^2+2*h/sin(θ)*a*cos(θ) AC^2=(h/sin(θ))^2+a^2-2*h/sin(θ)*a*cos(θ) AB^2-AC^2=4*ha*/tan(θ) AB=sqrt(L^2+4*S/tan(θ)) L=9.5 S=15 θ=135*pi/180 sqrt(L^2+4*S/tan(θ)) > sqrt(L^2+4*S/tan(θ)) [1] 5.5 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 05:59:44.19 ID:UjfXykXB.net] >>202ですが、皆さん模範解答をアップしてれてありがとうございました。 帰宅後、再トライしてみます。 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 08:10:08.40 ID:aA52BxPK.net] >>202 動画は9.5*9.5の正方形を作ると中に小さな正方形が出来ることをなんか妙な方法で示しているけど、 △ACHを4つ組み合わせて9.5*9.5の正方形を作って、その中に出来る中くらいの正方形の中に△ABHを4つはめ込んでいくと小さな正方形が出来ることは簡単にわかるんじゃないのか？ 答えを知ってしまうと天才なら瞬殺出来る問題だった 221 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 13:11:42.67 ID:psxnYC+1.net] sin(π*x) = π*x*Π_{n=1}^{∞} (1 - x^2/n^2) という命題があります。 無限積 Πa_n の定義においては、 a_n ≠ 0 for any n という条件が課されます。 そして、いろいろな命題を、この定義を採用して証明していきます。 ところが、例えば、 sin(π*x) = π*x*Π_{n=1}^{∞} (1 - x^2/n^2) というような具体的な結果においては、 1 - x^2/n^2 = 0 となるような n がある場合も考えています。 このあたりはどう考えればいいのでしょうか？ 222 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 13:28:58.96 ID:ZkyXfdLj.net] 6面体のサイコロをa回振った時、それぞれの数字がb回出る確率ってどうやって計算できますか？ 例えば、サイコロ100回振って6が30回出る確率は？ 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 13:37:01.82 ID:M62AUW01.net] 計算機で 0.66667×6＝4.00002 0.66666667×6＝4.00000002 0.6666666667×6＝4 になるのはなんでですか？ 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 13:39:58.96 ID:YvBsAQGd.net] a_n = 0となるnがある場合「無限乗積が収束する」と言えなくなるだけで、Πa_nの値自体は存在する Πa_nは収束しないが、Πa_n=0 ということかと 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 13:50:10.44 ID:YvBsAQGd.net] >>218 100C30 (6が出る確率)^100 >>219 計算機によっては正しい値を出力する あなたの計算機の内部仕様なので正確なことを知りたければメーカーに問い合わせるしかない 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 13:53:55.21 ID:5X8iAnue.net] 10進法表記したときにどの桁にも9が現れない整数全体からなる集合をSとする。 Sの要素を小さいものからa[1],a[2],...とするとき、 lim[n→∞] Σ[k=1,10^(n-1)] 1/a[k] < N を満たす整数Nが存在することを示せ。 またNと10,100の大小をそれぞれ比較せよ 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 14:21:42.28 ID:St5og0IQ.net] x^(log10/log9)くらいのオーダーかな？ の逆数和？ 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 14:27:04.14 ID:psxnYC+1.net] >>220 ありがとうございました。 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:06:55.52 ID:St5og0IQ.net] >>222 a[n]はnを9進数表記をn=Σc[n,i]9^iとするときのΣc[n,i]10^iに等しい 特にr=log10/log9とおくとき(n/9)^r<a[n]<n^rである 実際9/n<m≦nを満たす9べきmをとれば (n/9)^r<m^r=a[m]≦a[n] であり、正の数x,yに対しx^r+y^r<(x+y)^rであるから後半の評価を得る 以上によりa[n]の逆数和は収束し、その和は下から Σ1/a[n]>Σn^(-r)>1/(r-1)=log9/(log10-log9)=20.854345326783 と評価される 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:35:18.27 ID:pKgEu0Ik.net] >>218 6の目の出る確率を1/6としてサイコロ100回振って6が30回出る確率を計算してみました。 1835771238850684051497735/40832413968754431088974760597596307513586923952743787370990412577082234109952 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:36:54.48 ID:pKgEu0Ik.net] >>226 Wolfram先生からは 203974582094520450166415/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704 という御神託 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:46:03.76 ID:pKgEu0Ik.net] >>226 分母choose(100,30)と6^30を別々に計算すると 29372339821610944823963760 / 653318623500070906096690267158057820537143710472954871543071966369497141477376 約分したら 203974582094520450166415/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704 でWolfram先生の結果と同じになった。 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:53:15.47 ID:YvBsAQGd.net] >>221 ごめんこれ普通に間違ってた 100C30 * (6が出る確率)^30 * (1-6が出る確率)^70 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 16:38:45.84 ID:pKgEu0Ik.net] >>229 > dbinom(30,100,1/6) [1] 0.0003808148 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 16:52:58.72 ID:pKgEu0Ik.net] >>229 それで計算してみました。 11978966267095556063517207528404020840875/31456147505615925548986588676063137259061248=0.0003808148 2625.948回に1回となりました。 Wolfram先生によれば https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose%28100%2C30%29*%281%2F6%29%5E30*%285%2F6%29%5E70&lang=ja 1727731914364858948441810719185394995545124174896045587956905364990234375/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704 =0.0003808147919244379025193416446360750992129733301948433995580339... どうも、分数表示すると合致しないな。 236 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 17:15:13.61 ID:l2Zn2Rei.net] >>219 windows電卓でも4になる場合がある。 0.66666666666666666666666666666667×6 の場合だな。 237 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 17:22:19.95 ID:l2Zn2Rei.net] >>219 端数処理か丸めでググれ 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 18:03:44.31 ID:Vhpg2AFq.net] 　n/9 < m ≦ n, 　m ≦ n < 9m, m = 9^e とすれば 　e ≦ log(n)/log(9) < e+1, 　0.9･(10/9)^e < a[n]/n ≦ (10/9)^e, より 　0.81 < a[n] / n^r ≦ 1, ここに 　r = log(10)/log(9) = 1.0479516371447 　ζ(r) = Σ[n=1,∞] 1/(n^r) = 21.43504145264 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 18:41:21.14 ID:Vhpg2AFq.net] r>1 のとき 　∫[n,n+1] x^(-r) dx < n^(-r) < ∫[n-1,n] x^(-r) dx, より 　∫[1,∞] x^(-r) dx < ζ(r) < 1 + ∫[1,∞] x^(-r) dx, 　1/(r-1) < ζ(r) < r/(r-1), 　20.85434538971 < ζ(r) < 21.85434538971 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 19:22:46.80 ID:Vhpg2AFq.net] 下に凸だから　x=n で接線を曳いて 　n^(-r) < ∫[n-1/2,n+1/2] x^(-r) dx, より ζ(r) < 1 + ∫[3/2,∞] x^(-r) dx 　= 1 + (1/(r-1))(2/3)^(r-1) 　= 21.452796468183 また　台形近似で 　ζ(r) > 1/2 + ∫[1,∞] x^(-r) dx 　= 1/2 + 1/(r-1) 　= 21.354345326783 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 19:32:22.17 ID:pKgEu0Ik.net] 二進法で内部計算だから、大抵の言語で誤差がでる。 IPython 6.5.0 -- An enhanced Interactive Python. (1.2-1)*5==1 Out[1]: False (1.2-1)*5>1 Out[2]: False (1.2-1)*5<1 Out[3]: True (1.2-1)*5 Out[4]: 0.9999999999999998 Haskell Prelude> (1.2-1)*5 0.9999999999999998 Prelude> 0.72*5-3.6 -4.440892098500626e-16 R > options(digits=22) > (1.2-1)*5 == 1 [1] FALSE > (1.2-1)*5 > 1 [1] FALSE > (1.2-1)*5 < 1 [1] TRUE > (1.2-1)*5 [1] 0.99999999999999978 242 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 20:17:18.01 ID:psxnYC+1.net] 宮島静雄著『微分積分学II』に以下の定理が書いてあります。 定理8.2 f_n (n = 1, 2, …) は集合 A 上の関数とし、これに対し数列 {M_n}_n で |f_n(x)| ≦ M_n が任意の x ∈ A, n ∈ N で成り立ち、 Σ_{n=1}^{∞} M_n が 収束するようなものがあるとする。このとき Π_{n=1}^{N} (1 + f_n(x)) は N → ∞ のとき A 上である関数に一様収束する。 これは本当に成り立ちますか？ 243 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 20:27:02.04 ID:psxnYC+1.net] >>238 証明は、以下です： https://i.imgur.com/WdLamHs.jpg 244 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 20:29:28.02 ID:l2Zn2Rei.net] >>232は LM217やウルフラムアルファではきちんと出る。 >0.66666666666666666666666666666667*6 = 4.00000000000000000000000000000002 https://ja.wolframalpha.com/input/?i=0.66666666666666666666666666666667%C3%976 結果: 4.00000000000000000000000000000002 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 23:04:55.39 ID:5X8iAnue.net] nを2以上の整数とする。1≦k≦n-1を満たす整数の定数kを考え、a[n,k]=C(2n,n)/(n+k)とする。 このとき、a[n,k]を素数とするようなnは有限個であることを示せ。 ただしC(a,b)は二項係数aCbのことを指す。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 23:17:55.74 ID:Vs8bbyg6.net] >>241 素数定理よりn>>0に対してn<p<q<r<2nを満たす素数p,q,rが取れる このときC(2n,n)はpqrの倍数であるが、n+k<2n<n^2<pq,pr,qrによりC(2n,n)/(n+k)は相異なる素因子を少なくとも２つ持つ 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 00:19:58.51 ID:tR6F6U87.net] 受験数学レベルでも解けるな 0≦k≦nに対して2n-k≧2(n-k)であるから C(2n,n)=2n/n (2n-1)/(n-1) ‥>2^n≧4n^2 for n≧8 C(2n,n)/(n+k)が素数pならpは(2n)!の素因子だからp≦2n よってこのとき C(2n,n)=(n+k)p≦4n^2 コレはn≧8では起こり得ない 248 名前：イナ mailto:sage [2021/03/09(火) 05:28:11.23 ID:z6TR5SNp.net] 前>>208 >>211この図いただきます。 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 14:57:01.19 ID:SKEI5bO2.net] 松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。 さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は やや実変数に 250 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 14:59:07.83 ID:SKEI5bO2.net] 松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。 「さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は やや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。しかしそれは容易であるから、ここではあらためて述べない。実際には この定理は、後の距離空間の位相の章でみるように、もっと一般的な状況のもとに直接かつ簡単に証明することができる。）」 251 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 15:02:01.20 ID:SKEI5bO2.net] これが正確に何が言いたいのかが分かりません。 252 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 15:05:37.32 ID:SKEI5bO2.net] 具体的に言うと、「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっている」というのが分かりません。 定理3を見てみても実変数に“局限”などされていないと思います。 定理3は区間 I で考えていて、複素連続関数列は、任意の C の部分集合で考えていることに関係していると推測しますが、いずれにしても大した問題ではないと思います。 253 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 15:11:14.62 ID:SKEI5bO2.net] 実連続関数列の場合には、区間 I で考えているため、 x_0 ∈ I は I の limit point になります。 複素連続関数列の場合には、任意の空でない C の部分集合 S で考えているため、 x_0 ∈ S が孤立点になる恐れがあります。 ですが、 x_0 が S の孤立点の場合には、どんな S 上の関数 f も、 z = x_0 で連続ですから、「多少の補正」というほどの「補正」は必要ないはずです。 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 15:37:05.19 ID:2G0n+lck.net] お前の感想に興味はない 教科書はヒントに過ぎん 理解は自力でしかできん 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 19:12:35.96 ID:llUuS/84.net] >>236 ζ(r) < 1 + 2^(-r) + ∫[5/2,∞] x^(-r) dx 　= 1 + 2^(-r) + (1/(r-1))(2/5)^(r-1) 　= 21.441547 ζ(r) > 1 + (1/2)2^(-r) + ∫[2,∞] x^(-r) dx 　= 1 + 2^(-r){1/2 + 2/(r-1)} 　= 21.414418 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 19:27:16.48 ID:MWWMesRr.net] 教えてください https://pbs.twimg.com/media/EuwxxRnUUAYXroH.jpg 257 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 20:22:57.81 ID:SKEI5bO2.net] >>246 松坂和夫さんの『解析入門上』のコピペ元のWalter Rudinの本を見てみたら、 f_n → f が距離空間 E 上で一様収束とし、 x が E のlimit pointとし、 lim_{t → x} f_n(t) = A_n が成り立つとすると、 {A_n} は収束し、 lim_{t → x} f(t) = lim_{n → ∞} An である という定理が書いてありました。 松坂さんはこの E を区間 I にして、コピペしていたんですね。 やはり、 >>248-249 の推測は合っていました。 一言でいうと、limit pointという概念を説明したくなかったということですね。 258 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 20:39:27.50 ID:SKEI5bO2.net] 数学の勉強の仕方についてなのですが、 https://youtu.be/aWPAHRsCU_Q?t=1368 上の動画で、証明の中で使われている定理は、その証明が分からなくても遡って考える必要はなく、ただプログラムでいうサブルーチンのように ブラックボックスとして利用するほうがよいというようなことを言っていますが、そのほうがいいのでしょうか？ 259 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 20:43:49.37 ID:SKEI5bO2.net] 証明の中で使われている定理はプログラミングでいうモジュールのようにいかに利用するかだけを考えればいいのでしょうか？ 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 23:04:29.34 ID:2G0n+lck.net] 状況次第 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 23:34:23.38 ID:jYqIDlqM.net] オイラーのトーシェント関数をφとして, そのn回合成をφ(n)とするとき, 正の整数mに対してnがφ(n)(m)=1を満たす最小のnとする. この時nのオーダーはランダウのビッグO記法でどれぐらいになりますか？ n=O(log(m))ぐらいになりそうだとは思うんですがもっと良い上界があるかもしくはもっと緩くすべきなのか… 262 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 11:11:48.77 ID:pTIKgpe6.net] f(x) を区間 [-π, π] で積分可能な関数とします。 このとき、 ∫_{-π}^{π} f(t) dt = ∫_{x-π}^{x+π} f(x-t) dt が成り立ちます。 置換積分の公式は使えませんので、定義に戻って確かめる必要があります。 確かに自明ですが、松坂和夫著『解析入門中』で、この事実を何の注釈もなく、当たり前のように使っています。 これはありですか？ 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/11(木) 11:31:28.48 ID:/hJkn62P.net] あり 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/11(木) 13:28:33.79 ID:pwIPOwKz.net] それを自明と思えんなら読む資格なし 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/11(木) 13:51:55.65 ID:8XZXmh4P.net] 解析的に解けない微分方程式で一番シンプルなのはなんでしょうか？ 266 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 14:00:48.47 ID:pTIKgpe6.net] >>259 ありがとうございます。 「f(x) を R で定義された周期 2*π の連続関数とする。 f(x) は R で一様連続である。」 この命題は明らかですが、きちんと証明を書いてください。 証明は、できるだけシンプルかつ自然かつエレガントなものをお願いします。 267 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 14:14:11.92 ID:93EbJzJq.net] >>258 積分区間は、小さい方から大きいだとおもってたが それだと逆転してるが平気なのか? それ以外、問題ない、いっしょだろ 268 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 14:27:32.50 ID:pTIKgpe6.net] >>263 下端 = x-π < x+π = 上端 です。 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/11(木) 14:28:55.06 ID:RP4EStDE.net] >>262 イヤです 自分でやりなさい できないならその本は諦めなさい 270 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 14:29:00.60 ID:93EbJzJq.net] 右辺、左辺で、tのプラスマイナスが逆転してるじゃん 271 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 14:30:50.85 ID:93EbJzJq.net] 自分がまちがってた もとのでい� 272 名前：｢んだ [] [ここ壊れてます] 273 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 15:26:32.55 ID:pTIKgpe6.net] >>262 証明： f(x) は [-π, 3*π] で連続であるから、 [-π, 3*π] で一様連続である。 よって、任意の正の実数 ε に対して、 x, y ∈ [-π, 3*π] かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε となるような正の実数 δ が存在する。 (1) 2*π < δ である場合。 x, y ∈ R かつ |x - y| < δ とする。 x - 2*m*π ∈ [-π, π] となるような整数 m が存在する。 y - 2*n*π ∈ [-π, π] となるような整数 n が存在する。 x - 2*m*π, y - 2*n*π ∈ [-π, 3*π] かつ |(x - 2*m*π) - (y - 2*n*π)| ≦ 2*π < δ であるから、 |f(x) - f(y)| = |f(x - 2*m*π) - f(y - 2*n*π)| < ε である。 (2) δ ≦ 2*π である場合。 x, y ∈ R かつ |x - y| < δ とする。 x = y であるとき、 |f(x) - f(y)| = 0 < ε　である。 x ≠ y であるとき、一般性を失わずに、 x < y と仮定できるからそう仮定する。 y - x < δ ≦ 2*π である。 x - 2*n*π ∈ [-π, π] となるような整数 n が存在する。 -π ≦ x - 2*n*π < y - 2*n*π < (x + 2*π) - 2*n*π = (x - 2*n*π) + 2*π ≦ 3*π である。 よって、 x - 2*n*π, y - 2*n*π ∈ [-π, 3*π] かつ |(x - 2*n*π) - (y - 2*n*π)| = |x - y| < δ であるから、 |f(x) - f(y)| = |f(x - 2*n*π) - f(y - 2*n*π)| < ε である。 274 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 17:09:56.62 ID:pTIKgpe6.net] パーセヴァルの等式は成り立つが、フーリエ級数はもとの関数に収束しないような例ってありますか？ 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/11(木) 21:48:01.60 ID:pwIPOwKz.net] 両辺が無限大の場合 276 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/11(木) 21:50:26.75 ID:pTIKgpe6.net] y = f(x) は x = a で微分可能であるとし、 b := f(a) とおく。 z = g(y) は y = b で微分不可能であるとする。 このとき、 z = g(f(x)) は x = a で微分不可能であると言えるか？ 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/11(木) 22:44:27.80 ID:RP4EStDE.net] 言えない 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 00:30:10.97 ID:kRwCsA2V.net] f(x) ≡ b (定数関数) なら g(f(x)) = g(b) の定数関数 当然、微分可能 279 名前：イナ mailto:sage [2021/03/12(金) 05:12:18.99 ID:cfa7mmER.net] 前>>244 >>218 (1/6)^30(5/6)^70=5^70/6^100 同様に(1/6)^b(5/6)^(a-b)=5^(a-b)/6^a ∴｛2・5^(a-b+2)｝/｛3・6^(a-1)｝% 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 05:22:01.87 ID:49sjek60.net] それだと(a,b)=(1,2)のとき5/36になるな 281 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/12(金) 08:57:55.12 ID:jl30Wzp2.net] >>270, 272-273 ありがとうございました。 f_n(x) が f(x) に一様収束するとき、 (f_n(x))^2 は (f(x))^2 に一様収束する はいえますか？ 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 08:58:11.93 ID:M754q0Xo.net] 6が一回 ×◯◯◯◯◯ ◯××××× ◯××××× ◯××××× ◯××××× ◯××××× 10/36 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 09:02:35.44 ID:M754q0Xo.net] >>276 言えない いつまでそんなレベルの話してんの 284 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/12(金) 11:25:04.48 ID:jl30Wzp2.net] [a, b] で、連続な関数列 {f_n} が f(x) に一様収束するとき、 f_n^2 は f^2 に一様収束する。 証明： 有名な定理により、 f(x) は [a, b] で連続である。 M := max {f(x) | x ∈ [a, b]} M_n := max {f_n(x) | x ∈ [a, b]} m := min {f(x) | x ∈ [a, b]} m_n := min {f_n(x) | x ∈ [a, b]} とおく。 n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < 1 for any x ∈ [a, b] n > N ⇒ m - 1 ≦ f(x) - 1 ≦ f_n(x) ≦ f(x) + 1 ≦ M + 1 for any x ∈ [a, b] min{m_1, …, m_N, m+1} ≦ f_n(x) ≦ max{M_1, …, M_N, M+1} for any x ∈ [a, b] ∴∃K such that |f_n(x)| ≦ K for any n and for any x ∈ [a, b] ε を任意の正の実数とする。 n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < ε for any x ∈ [a, b] n > N ⇒ |f_n^2(x) - f^2(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * |f_n(x) + f(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * (|f_n(x)| + |f(x)|) < (K + |f(x)|)*ε for any x ∈ [a, b] ∴f_n^2 は f^2 に一様収束する。 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 11:25:39.71 ID:jl30Wzp2.net] >>278 連続という条件をつけると言えますね。 286 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/12(金) 11:31:02.17 ID:jl30Wzp2.net] >>279 今、演習問題を見ていたら、一様有界という概念が書いてありました。 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 12:05:12.38 ID:L1D9VTOC.net] >>280 勝手にコンパクトという仮定いれればそら言える もしコンパクトという条件があるならその旨明記しないと正しい答え出せるはずがない そんな事も未だにわかってないからダメなんだよ いつまでこんな事やってんの？ もう自分でもわかってるんじゃないの？ 君には無理だよ 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 12:33:57.38 ID:kRwCsA2V.net] 個別知識だけ集めてもなー 289 名前：イナ mailto:sage [2021/03/12(金) 13:00:44.58 ID:cfa7mmER.net] 前>>274訂正。 >>218 (1/6)^b(5/6)^(a-b)×10^2=5^(a-b+2)/｛2^(a-2)3^a｝ ∴ 5^(a-b+2)/｛2^(a-2)3^a｝% 290 名前：イナ mailto:sage [2021/03/12(金) 13:30:35.42 ID:cfa7mmER.net] 前>>284検証。 たとえば2回振って1回4を出す確率は、 5(a-b+2)/｛2^(a-2}3^a｝にa=2,b=1を代入すると、 5^3/(2×3^2)=125/18 =6.944……(%) 7%弱か。そんなもんだろ。 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 13:34:00.28 ID:AvOlJ4F1.net] 複素平面上の円周C:|z|=1と、Cの周上または内部に定点A(α)がある。 C上を動点Pが一周するとき、PにおけるCの接線をl_P、l_Pに関してAと線対称な点をQ(w)とする。 u=w^2-wとするとき、点R(u)が動いてできる領域をαで表せ。 292 名前：イナ mailto:sage [2021/03/12(金) 14:04:10.43 ID:cfa7mmER.net] 前>>284検証を訂正。 たとえば2回振って1回4を出す確率は、 5(a-b+2)/｛2^(a-2}3^a｝にa=2,b=1を代入すると、 5^3/3^2=125/9 =13.88……(%) 1回さいころ投げて4が出る確率は1/6 2回目4が出ない確率は5/6 掛けると5/36 逆に1回目4が出ず2回目4が出る確率は(5/6)(1/6)=5/36 足して5/36+5/36=10/36 =5/18 百分率で5/18×100=500/18 =250/9 =27.7…(%) ちょうど倍だな。 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 15:14:30.75 ID:/C8ENeYZ.net] >>257 これ分かる方いますか？ 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/12(金) 18:23:17.37 ID:SU3lE1h/.net] >>218 これを正規分布近似で計算するとき P[X<31] - P[X<30] P[X<30.5] - P[X<29.5] P[X<30]-P[X<29] のどれで計算するのが正しいやり方？ どれも、0.0003808148に近似しないだけど？ 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/13(土) 01:58:40.52 ID:hkXiZxMf.net] >>257 こういうのは、面白い問題教えてーなスレでさも自分は答え知ってる風に出題すると誰かが教えてくれる 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/13(土) 05:22:53.56 ID:cJn1W8wd.net] あそこはなるべく答えあるやつにしてほしいんだがな 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/13(土) 07:47:52.76 ID:qoKpvgut.net] ここまでレスつかないんだから解けないんでしょ 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/13(土) 18:36:24.38 ID:M2COfFLG.net] 何回操作でアルゴリズムが終了するか？系の問題は難問多そう 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/14(日) 10:54:32.85 ID:zKCQ28Jn.net] >>286お願いします 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/14(日) 15:25:23.52 ID:zKCQ28Jn.net] C[2021,314]を3で割った余りを求めよ。 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/14(日) 15:55:18.85 ID:tbIfX8gb.net] >>294 答は分からないけど、どんな形状になるのかは興味があったのでAの位置をランダムに選んで描画してみた。 軌跡に重なりがあるのでモンテカルロ法で数値解を出すのも難しそう。 https://i.imgur.com/i0pnefD.gif 動き始めるまで数秒かかります。 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/14(日) 15:59:37.24 ID:tbIfX8gb.net] >>295 Wolfram先生のお告げでは 余り０で商は 301983115909103483509004063940644603909090817284162792879834706942678752925627499240204407980065868314025660690154546773808290452918116762380038082112282892615967360242777120758819027974503024206472930141071558921465590250303826575057958274872586222281214425256648508964861643928802042093601868475224808866213147030426789706606859944301892801477395393158600292428157672301414000 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/14(日) 17:29:59.66 ID:RlXtdjhC.net] >>294 w=2e^(iθ)-α'e^(2iθ) (α'はαの複素共役) でw^2-wを計算する、かな >>295 Lucasの定理 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/14(日) 20:30:14.25 ID:birDomIn.net] 2021 = 729×2 + 243×2 + 27×2 + 9×2 + 3 + 2 = 2202212 (三進) 312 = 243+27×2+9+3×2 = 102120 (三進) 2202212 - 102120 ───── 2100022 繰り下げが出るから3の倍数 繰り下げが出ない素数を選ばないと面白くない

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