- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/02/17(水) 00:42:07.42 ID:pOGUunX7.net]
- さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね 465
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608546793/
(使用済です: 478)
- 152 名前：イナ mailto:sage [2021/03/05(金) 16:08:56.00 ID:YFAe1aWz.net]
- 前>>85
>>130
球の中心が八面体表面を動いてできる領域かな？
- 153 名前：イナ mailto:sage [2021/03/05(金) 17:23:54.49 ID:YFAe1aWz.net]
- 前>>149
切り目の入ったマカロニ12本と球と内部の正八面体を足して掛ける2√2
となりあう正三角形の交わる内角109°ぐらいの値θ,
内部の正八面体の一辺の長さa,
マカロニの半径rがわかればわかる。
V/2√2=4πr^3/3+12πr^2a(360°-θ)/360°+2(1/3)a^2(a√2/2)
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 18:03:40.83 ID:yfTfCAgL.net]
- x^2021+y^2=z^2
を満たす0でない整数の組(x,y,z)は無数に存在することを示せ。
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 18:21:38.18 ID:XaujjeFo.net]
- >>121
隣り合った平方数の差は3以上の全ての奇数をとることからxが3以上の奇数であればそれに対応する(y,z)の組が必ず1つ以上存在する
したがって(x,y,z)の組は無限に存在する
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 18:21:58.46 ID:XaujjeFo.net]
- >>151でした
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 18:25:02.88 ID:Rb1mF9A0.net]
- ((2n)^2021, 2^2019n^2021-1, 2^2019n^2021+1)
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 19:10:51.70 ID:yfTfCAgL.net]
- >>152
たった数行で華麗な解法ですね！驚きました
ありがとうございます
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 19:17:36.17 ID:s8OGtqZr.net]
- (±1, ±1/√2, ±1/2) での接平面
|x| + |y√2| + |2z| = 3,
は八面体をなす。その体積は
9√2 = 12.728
う～む、だいぶ大きい。
曲面は角が丸く、主軸の長さが 2√7, √14, √7.
一方、八面体は角が尖っていて 主軸の長さは 6, 3√2, 3.
なので大きくなった？
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 21:03:51.90 ID:Hly8nBWJ.net]
- x>0, y>0, z>0ならば
(x+y)^z+(x+z)^y+(y+z)^x>2
どうしたら示せますか？
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
にあった不等式です
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 22:03:50.63 ID:sM9soQvU.net]
- 微分して最小値でも求めてみな
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 22:29:49.35 ID:3GbSQsN2.net]
- >>87
赤い部分の面積は2つ合わせてθ/2
あとは他の部分をどう計算するか
imgur.com/5IGmaVP.png
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 22:36:14.76 ID:3GbSQsN2.net]
- ＞赤い部分の面積は2つ合わせてθ/2
訂正：θ/4
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 22:49:01.10 ID:52YncrNE.net]
- >>157
関数はx≧0,y≧0,z≧0から原点を除いた領域まで連続に拡張できるからそこで考える
まずx+y=a, z=0の領域において端点での値は2、未定定数法より極値はx+y=a/2の時で、その値は2a^(a/2)+1
この最小値はa=1/eの時1+2e^(-1/2e)>2
領域x+y+z=aで考える
この領域では(a-x)^x+(a-y)^y+(a-z)^z
境界では>2
極値はやはり未定定数法よりx=y=z=a/3のとき3(2a/3)^(a/3)
コレの最小値はa=3/(2e)のとき3e^(1/(2e))>2
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 23:00:25.74 ID:SJdDEIP3.net]
- 集合論のブール値モデルを理解したい素人なのですが、前提知識として、集合論と位相空間論以外に何を理解している必要があるでしょうか？
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 23:30:56.35 ID:p4aTVShf.net]
- 0^0の極限が1だから最小値は3だと思ったけど違ったか
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/05(金) 23:41:48.45 ID:sM9soQvU.net]
- 「集合論のブール値モデル」って何や？
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 00:19:32.43 ID:l9+fujpg.net]
- >>158
>>161
ありがとうございます。x+y+z=a上の極値を未定乗数法で考えたらわかりました。
- 169 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/06(土) 01:36:01.64 ID:cLmO19UL.net]
- スレ違いかもしれないですが、教えて欲しいです。
例えば4月は10個5円、5月は3個20円のものがあれば、5月と4月の差は
3*20-10*5=10円で計算できますが、この計算式以外に5月と4月の差である10円を算出する方法はありますかね
- 170 名前：イナ mailto:sage [2021/03/06(土) 01:37:22.61 ID:A9yjV+HE.net]
- 前>>150
違うなぁ。正八面体表面を動き回る球体を2√2倍じゃない。
>>132の輪郭は辺に平行な線を描いてない。
辺や面の中央ほど中心方向にくぼんでる。
まるで重力に引っ張られてるみたいに。
立方体内部の立体の2√2倍と考えて、
0≦x≦√7,0≦y≦√14/2,0≦z≦√7/2だけを求めて16√2倍か。
>>130推定値を出してみる。
過不足相殺するとして(1/8)√7(√14/2)(√7/2)16√2=7√7
=7×2.64171……
=18.49197……
≒18.492
- 171 名前：イナ mailto:sage [2021/03/06(土) 02:04:43.26 ID:A9yjV+HE.net]
- 前>>167
内部の八面体の体積は√7(√14/2)(√7/2)=7√14/4=6.5……
端っこが丸いったって2倍に膨れるわけがねえでな、
11か、いって12か。
- 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 05:41:39.33 ID:dHW5XVEt.net]
- >>156
(±1, ±1/√2, ±1/2) で接する凸曲面
|x|^a + |y√2|^a + |2z|^a = 3,
は角が丸まる。
a = log(9)/log(7) = 1.12915
とおけば、主軸の長さも 2√7, √14, √7
体積は 11.4929 でやや小さめ…
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 07:23:45.77 ID:DOHEz9Hc.net]
- >>166
あるよ。
()を使わない前提で
3*20-10*5=10
の他に
3*20-5*10=10
20*3-5*10=10
20*3-10*5=10
3*20-10-10-10-10-10=10
20+20+20-5*10=10
20+20+20-10*5=10
3*20-10-10-10-10=10
20*3-10-10-10-10=10
列挙漏れがあるかなぁ？
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 07:58:15.77 ID:YunRwHNA.net]
- >>166
なぜその計算で出てくる10円が「5月と4月の差」と呼ばれるものになるのか理解出来ない
何を計算してんの？それ
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 08:34:05.40 ID:sIiQuxCB.net]
- 問題にしてみる
購入数と単価は
4月は10個5円、5月は3個20円、6月は5個10円、7月は4個15円のとき購入総額を括弧や空白を使わないで計算する式は何通りあるか。
計算式の例
10*5+20+20+20+10*5+15+15+15+15
5*10+3*20+5*10+15*4
系統的に列挙するのも面倒そうだな。
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 08:35:33.24 ID:sIiQuxCB.net]
- >>170
20+20+20-10-10-10-10-10が漏れていた。
- 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 08:53:31.10 ID:sIiQuxCB.net]
- >>172
順不同で途中で別の月の値を入れる
計算式20+20+15+15+15+15+20+10*5+5*10
とかでもいいことにすると更に厄介。
- 178 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/06(土) 12:23:48.66 ID:i38UJL/f.net]
- >>170
>>172
確かに*や+の選び方とか並べ替え方で数式が色々できるね、抜けてました。ありがとう。
>>171
情報不足で申し訳ない。
個数*単価の月額売上（支払でも可）を計算したかった。
4月と5月の売上を比べると5月の売上が10円多い計算だけど、この10円増えた根拠を知れる計算式ってあるかなという意図だった。
4月と5月を比べて、5月の売上が多いのは、
・（5月減要素）個数は4月が多い
・（5月増要素）数量は5月が多い
・（5月増要素）単価は5月が高い
だと、思うんだけど各要素の計算式（複数必要？）を使って、4月と5月の売上の差の10円を算出することってできるのかな
- 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 13:21:59.67 ID:gQBqIDqN.net]
- しっくりこない人と同じ匂いを感じる
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 17:08:43.54 ID:dHW5XVEt.net]
- >>150
計算シタイナーの公式
v(r) = (4π/3)r^3 + Mr^2 + Sr + v(0),
一辺の長さaの正八面体の場合
M = 6(2π-θ)･a,
S = (2√3)･a^2,
v(0) = (√2)/3･a^3,
ここに
θ = arccos(-1/3) = 1.910633236 = 109.47122°
>>167
面の中央 (±1, ±1, ±1) はかなり平坦…
|x| + |y| + |z| ≒ 3,
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 19:24:50.57 ID:dHW5XVEt.net]
- >>157
{x+y, y+z, z+x} の中に１以上のものが…
2個以上のとき 明らかに成立。
1個のとき
x+y ≧ 1 > y+z, z+x とする。
(x+y)^z ≧ 1,
(y+z)^x + (z+x)^y > (y+z) + (z+x) > x+y ≧ 1, (0<x,y<1)
辺々たす。
0個のとき
0 < x, y, z < 1.
f(z) = (x+y)^(1-z) は下に凸だから
f(z) < f(0)(1-z) + f(1)z, (0<z<1)
(x+y)^(1-z) < (x+y)(1-z) + z < x+y+z,
(x+y)^z > (x+y)/(x+y+z) … ベルヌーイ
巡回的にたす。
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 19:28:54.70 ID:VMjWPceO.net]
- >>178
全部1未満の時は？
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 19:40:15.32 ID:ohKIuy2A.net]
- 不定積分ですが
∫(e^x)(sinx)dx
=(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx
=・・・
または
=(e^x)(-cosx)-∫(e^x)(-cosx)dx
=・・・
前者と後者ですが、計算を進めていくと両者とも当然同じ解になりますが、
計算のやりやすさを考えると、前者と後者はどちらがお勧めですか？
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 20:25:09.60 ID:Xer+Xp6F.net]
- >>180
天下り的になるけど、特に工学部は大学進学後もe^(-ax)sinbxやe^(-ax)cosbxの積分を嫌になるほど使うので、結果を暗記した方がいい
受験対策にもなるし大学進学後も役立つ
それほど多用するし暗記する価値があるとは覚えておいてほしい
- 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/06(土) 23:44:47.95 ID:6Nr03IRq.net]
- 知らんうちに暗記してるだろ
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 01:21:24.08 ID:gfZuqlK8.net]
- >>177
Measure
Surface area
Volume
を凸体の３基本量 と云うらしい。
木原太郎「分子と宇宙」岩波新書 (黄版) 104 (1979) 第7章
J. Phys. Soc. Jpn., ６, p.289 (1951)
J. Phys. Soc. Jpn., ８, p.686 (1953)
J. Phys. Soc. Jpn., １２, p.564 (1957)
Rev. mod. phys., ２５, p.831 (1953)
Rev. mod. phys., ２７, p.412 (1955)
- 187 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/07(日) 11:52:41.67 ID:Q7BHnSy1.net]
- 二項定理の収束域（(1+x)^αのαの値によって変化する）についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。
- 188 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/07(日) 11:53:14.19 ID:Q7BHnSy1.net]
- 二項定理の収束域（(1+x)^αのαの値によって変化する）についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。
- 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 13:15:54.41 ID:qCveJTcM.net]
- 収束域て何？
- 190 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/07(日) 13:24:23.98 ID:Q7BHnSy1.net]
- (1+x)^α が収束するような実数（複素数）全体の集合のことです。
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 13:32:21.54 ID:Q7BHnSy1.net]
- 上で (1+x)^α と書きましたが、 (1+x)^α を二項展開したべき級数に置き換えてください。
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 14:28:05.97 ID:yoB/qfT9.net]
- αが非負の整数である場合を除いて1でしょ？
そんな程度の事いちいち書いてある教科書なんかないんじゃないの？
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 15:14:57.60 ID:vpoJqSTl.net]
- 二項定理・二項展開じゃなくてマクローリン展開ね
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 15:34:46.30 ID:TEZO935t.net]
- 1000以下の素数は246個以下であることを示せ。
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 15:41:23.71 ID:yoB/qfT9.net]
- primes = let
sieve (p:ps) xs = let
(h,~(_:t)) = span (< p*p) xs
in h ++ sieve ps [x | x <- t, rem x p /= 0]
in 2: 3: sieve (tail primes) [5,7..]
main = print $ length $ takeWhile ( <= 1000 ) primes
----
168
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 16:22:39.62 ID:TEZO935t.net]
- >>192
無意味な解答で時間の浪費ですね
素数の定義に基づき計算機を使わず示してください
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 16:33:25.67 ID:qCveJTcM.net]
- 二項級数は一般化された超幾何級数に含まれる
てのは牛刀だな
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 16:47:14.47 ID:Q7BHnSy1.net]
- 1000 以下の 2 の倍数である自然数の集合 = {2*1, …, 2*500}
1000 以下の 3 の倍数である自然数の集合 = {3*1, …, 3*333}
1000 以下の 5 の倍数である自然数の集合 = {5*1, …, 5*200}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数でもある自然数の集合 = {6*1, …, 6*166}
1000 以下の 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {15*1, …, 15*66}
1000 以下の 5 の倍数であり、 2 の倍数でもある自然数の集合 = {10*1, …, 10*100}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {30*1, …, 30*33}
以上の計算結果と包除原理により、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合の元の個数は、
500 + 333 + 200 - (166 + 66 + 100) + 33 = 734 個である。
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる素数は、 2, 3, 5 の３つのみである。
よって、 1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の数は、 731 個である。
100 以下の素数の個数は、簡単に分かるように、 25 個である。
それらを小さい順に、 p_1, …, p_25 とする。
p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 である。
(p_4)^2, …, (p^25)^2 ≦ 1000 であり、これらの 21 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれない。
(p_4)^3, (p_4)*(p_5) ≦ 1000 であり、これらの 2 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれず、
{(p_4)^2, …, (p^25)^2} にも含まれない。
以上より、 1000 以下の自然数の集合は、少なくとも合成数を 731 + 21 + 2 = 754 個含む。
よって、 1000 以下の自然数の集合は、多くとも素数を 246 個しか含まない。
- 199 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/07(日) 16:50:06.61 ID:Q7BHnSy1.net]
- 訂正します：
1000 以下の 2 の倍数である自然数の集合 = {2*1, …, 2*500}
1000 以下の 3 の倍数である自然数の集合 = {3*1, …, 3*333}
1000 以下の 5 の倍数である自然数の集合 = {5*1, …, 5*200}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数でもある自然数の集合 = {6*1, …, 6*166}
1000 以下の 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {15*1, …, 15*66}
1000 以下の 5 の倍数であり、 2 の倍数でもある自然数の集合 = {10*1, …, 10*100}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {30*1, …, 30*33}
以上の計算結果と包除原理により、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合の元の個数は、
500 + 333 + 200 - (166 + 66 + 100) + 33 = 734 個である。
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる素数は、 2, 3, 5 の３つのみである。
よって、 1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の数は、 731 個である。
100 以下の素数の個数は、簡単に分かるように、 25 個である。
それらを小さい順に、 p_1, …, p_25 とする。
p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 である。
(p_4)^2, …, (p^25)^2 ≦ 1000 であり、これらの 22 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれない。
(p_4)^3 ≦ 1000 であり、この自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれず、
{(p_4)^2, …, (p^25)^2} にも含まれない。
以上より、 1000 以下の自然数の集合は、少なくとも合成数を 731 + 22 + 1 = 754 個含む。
よって、 1000 以下の自然数の集合は、多くとも素数を 246 個しか含まない。
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 17:01:59.23 ID:yoB/qfT9.net]
- >>193
てか千葉大の問題で普通に解いて240以下が示せるのに246以下なんかなんの意味があんねん？
問題にそもそも意味ないやん
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 17:11:43.19 ID:yoB/qfT9.net]
- おっと訂正
244以下ね
1050以下の数に2,3,5,7と互いに素であるのが240個しかない
2,3,5,7と合わせても244
246にしても千葉大の普通の解答がそのまま通用するのに
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 17:59:18.95 ID:gfZuqlK8.net]
- >>177
面の中央 (±1,±1,±1) はかなり平坦なので
正八面体 |x| + |y| + |z| ≦ 3 で近似しよう。
辺(稜)の中央は たしかに 窪んでいる。
(0, ±√(√8 -1), ±√(√8 -1))
そこで稜を削って
- 203 名前：
|x| + |y| ≦ 2√(√8 -1),
|y| + |z| ≦ 2√(√8 -1),
|z| + |x| ≦ 2√(√8 -1),
としよう。
切稜正八面体 (20面体)
体積は 11.761802 (小さめ)
軸の長さは 4√(√8 -1) = 5.4087738 で
2√7 = 5.2915026 より長い。 [] - [ここ壊れてます]
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 19:21:08.96 ID:9f/P46t2.net]
- 問題 ： 1000000以下の素数は78498個以下であることを示せ。
答： 数えたら78498個なので78498個以下である。
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 19:57:49.67 ID:dIKXxSsW.net]
- >>191
昇順に並ぶ素数列において、隣接二項間の比が√2を超えるものとして、
2と3、3と5、7と11の3組が見つかるが、これ以外にそのようなものが無いのならば、
11以上の n に対し 2*PrimePi[n]＞PrimePi[2n]
が成立する。ただし、PrimePi[n]は、n以下の素数の数を表す。
Prime[100]=25はよく知られていて、101から124までの素数は101,103,107,109,113が加わるので、
Prime[125]=30となる。これに、上を適用すると、250以下の素数の個数はせいぜい59個、
500以下の素数の個数はせいぜい117個、1000以下の素数の個数はせいぜい233個であることが言える。
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 20:38:09.13 ID:cZsGWtDA.net]
- この問題、高校の知識を使うとあっという間に解けるのかな？
https://www.youtube.com/watch?v=jVjfBCTptHM
トライしてみたけど途中で挫折した。私のやり方が間違っていたのか？
- 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 21:10:00.70 ID:XBptqp0+.net]
- 前スレかこのスレの前の方で30N+1～30N+30の中に2,3,5,7と互いに素であるものが高々7個が示されている
よって1～1020までの素数は高々34×7+4=242である事がすでに得られている
あるいは同様の議論で990までの素数は高々33×7+4=235個で991～1000には(多くとも)991,997の2個しかない事を認めるならこの時点の評価が237に改善される
さらにこの237個の数は15個の合成数ab (a,b∈{11.13,17,29,23,29})を含む事からコレを抜けば222個以下まで改善される
さらにさらに‥
この手の話はキリがない
- 208 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/07(日) 21:16:18.27 ID:Q7BHnSy1.net]
- (1+x)^α のべき級数展開の収束円上の点での収束・発散について松坂和夫著『解析入門上』に書いてありました。
他に書いてある本はありますか？
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 21:17:52.61 ID:XBptqp0+.net]
- >>202
OA=x、OB=yとして条件は
1/2 2xy sin135°=15
x^2+y^2-2xycos135°=(19/2)^2
コレからx^2+y^3も(√2)xyもすぐ出せる
求めるのは
√(x^2+y^2-2xycos45°)
- 210 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/07(日) 21:18:57.88 ID:Q7BHnSy1.net]
- >>204
藤原松三郎にも書いてありました。
他にありますか？
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/07(日) 21:30:21.20 ID:ZSgt+lpD.net]
- >>202
BC=a、CA=b=9.5、AB=c、A から BC に下ろした垂線の足を M、AM=h とすると、
BM=(a/2)-h、CM=(a/2)+hとなる
AB^2 = AM^2 + BM^2 より c^2 = h^2 + ((a/2)-h)^2 ①
AC^2 = AM^2 + CM^2 より b^2 = h^2 + ((a/2)+h)^2 ②
②-① より、b^2 - c^2 = 2ah ③
△ABCの面積は(1/2)ah=15だから、③より
9.5^2 - c^2 = 60
c^2 = 9.5^2 - 60 =30.25
c = √30.25 = 5.5
動画のやってるのは実質これと同じっぽい
- 212 名前：イナ mailto:sage [2021/03/07(日) 23:19:11.86 ID:qhdyvJxv.net]
- 前>>168
>>202
AからBCに下ろした垂線の足をH、
AH =h,BC=2aとすると、
題意よりah=15
△AHCにおいてピタゴラスの定理より、
h^2+(h+a)^2=9.5^2
2h^2+2ah+a^2=(10-0.5)^2=100-10+0.25=90.25
AB=√｛h^2+(a-h)^2｝
=√(2h^2-2ah+a^2)
=√｛(2h^2+2ah+a^2)-4ah｝
=√(90.25-4×15)
=√30.25
=5.5
∴5.5cm
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 00:51:54.63 ID:cnGNECTQ.net]
- 1050以下の自然数で2,3,5,7と互いに素であるものは240個である
161～210の中に2,3,5,7と互いに素であるものは
[163,169,,181,187,193,199],[167,173,179,,191,197,,209]
の12個であるから1001～1050の中で2,3,5,7と互いに素であるものも12個である
以上により1～1000の自然数で2,3,5,7と互いに素である自然数の個数は228個である
また11～31の素数pに対してnが最小素因子がpである1000以下の合成数nになるのははn/pがp以上1000/p以下の素数となる時であり、100以下の素数をリストアップしてその数をそれぞれ数えるとp=11,13,17,19,23,29,31に対してそれぞれ20,16,10,8,6,2,1個ずつあり、計63個ある(補足参照)
228個の2,3,5,7と互いに素である1000以下の自然数の全体からコレらの合成数と1を除いた164個が2,3,5,7と異なる1000以下の素数の全体である
以上により1000以下の素数の個数は168個である
補足
p=11,13,17,19,23,29,31に対してpを最小素因子とする合成数nにおけるn/pのとりうる値のリスト
[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89]
[13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73]
[17,19,23,29,31,37,41,43,47,53]
[19,23,29,31,37,41,43,47]
[23,29,31,37,41,43]
[29,31]
[31]
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 01:14:26.24 ID:nGsXbFDB.net]
- >>202
余弦定理を使えば解ける。
https://i.imgur.com/FdxB31x.png
面積からac=15
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(45°) = 2a^2+c^2-2ac (1)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(135°) ∴ 9.5^2=2a^2+c^2+2*ac (2)
(1)-(2)で
AB^2-9.5^2= -4ac where ac=15
AB^2=9.5^2-4*ac=9.5^2-4*15
AB=√(9.5^2-4*15)＝5.5
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 01:40:31.66 ID:nGsXbFDB.net]
- >>208
余弦定理なしで解けたのはすばらしい。
イナ氏の文字割り当てに準拠して作図を修正。
https://i.imgur.com/zuFlyUX.png
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 02:10:37.41 ID:sPENQxD6.net]
- なんだこれ？ちゃんとした数学の問題なの？
ーーーーーー
眠り姫問題(英：Sleeping Beauty problem)とは決定理論、確率論に関する思考実験である。 内容はシンプルでありながら、専門家同士でも答えが分かれるパラドックスでもある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%A0%E3%82%8A%E5%A7%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 02:10:57.54 ID:nGsXbFDB.net]
- >>211
ついでに一般解を出したみた。
https://i.imgur.com/KN4yZ3Z.png
面積からha=S
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(π-θ) = (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(π-θ)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(θ)= (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(Θ)
"
AB^2=(h/sin(θ))^2+a^2+2*h/sin(θ)*a*cos(θ)
AC^2=(h/sin(θ))^2+a^2-2*h/sin(θ)*a*cos(Θ)
AB^2-AC^2=-4*ha*cot(Θ)
AB=sqrt(L^2-4*S)
L=9.5
S=15
で
> (AB=sqrt(L^2-4*S))
[1] 5.5
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 02:21:38.37 ID:nGsXbFDB.net]
- >>213
恥ずかしい計算ミスをしていたので修正(>213は忘れてくれ）
一般解は AB=sqrt(L^2+4*S/tan(θ))
問題ではL＝9.5cm, S=15cm^2, θ=135°
https://i.imgur.com/KN4yZ3Z.png
"
面積からha=S
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(π-θ) = (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(π-θ)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(θ)= (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(θ)
"
AB^2=(h/sin(θ))^2+a^2+2*h/sin(θ)*a*cos(θ)
AC^2=(h/sin(θ))^2+a^2-2*h/sin(θ)*a*cos(θ)
AB^2-AC^2=4*ha*/tan(θ)
AB=sqrt(L^2+4*S/tan(θ))
L=9.5
S=15
θ=135*pi/180
sqrt(L^2+4*S/tan(θ))
> sqrt(L^2+4*S/tan(θ))
[1] 5.5
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 05:59:44.19 ID:UjfXykXB.net]
- >>202ですが、皆さん模範解答をアップしてれてありがとうございました。
帰宅後、再トライしてみます。
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 08:10:08.40 ID:aA52BxPK.net]
- >>202
動画は9.5*9.5の正方形を作ると中に小さな正方形が出来ることをなんか妙な方法で示しているけど、
△ACHを4つ組み合わせて9.5*9.5の正方形を作って、その中に出来る中くらいの正方形の中に△ABHを4つはめ込んでいくと小さな正方形が出来ることは簡単にわかるんじゃないのか？
答えを知ってしまうと天才なら瞬殺出来る問題だった
- 221 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 13:11:42.67 ID:psxnYC+1.net]
- sin(π*x) = π*x*Π_{n=1}^{∞} (1 - x^2/n^2)
という命題があります。
無限積 Πa_n の定義においては、 a_n ≠ 0 for any n という条件が課されます。
そして、いろいろな命題を、この定義を採用して証明していきます。
ところが、例えば、
sin(π*x) = π*x*Π_{n=1}^{∞} (1 - x^2/n^2)
というような具体的な結果においては、 1 - x^2/n^2 = 0 となるような n がある場合も考えています。
このあたりはどう考えればいいのでしょうか？
- 222 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 13:28:58.96 ID:ZkyXfdLj.net]
- 6面体のサイコロをa回振った時、それぞれの数字がb回出る確率ってどうやって計算できますか？
例えば、サイコロ100回振って6が30回出る確率は？
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 13:37:01.82 ID:M62AUW01.net]
- 計算機で
0.66667×6＝4.00002
0.66666667×6＝4.00000002
0.6666666667×6＝4
になるのはなんでですか？
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 13:39:58.96 ID:YvBsAQGd.net]
- a_n = 0となるnがある場合「無限乗積が収束する」と言えなくなるだけで、Πa_nの値自体は存在する
Πa_nは収束しないが、Πa_n=0
ということかと
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 13:50:10.44 ID:YvBsAQGd.net]
- >>218
100C30 (6が出る確率)^100
>>219
計算機によっては正しい値を出力する
あなたの計算機の内部仕様なので正確なことを知りたければメーカーに問い合わせるしかない
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 13:53:55.21 ID:5X8iAnue.net]
- 10進法表記したときにどの桁にも9が現れない整数全体からなる集合をSとする。
Sの要素を小さいものからa[1],a[2],...とするとき、
lim[n→∞] Σ[k=1,10^(n-1)] 1/a[k] < N
を満たす整数Nが存在することを示せ。
またNと10,100の大小をそれぞれ比較せよ
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 14:21:42.28 ID:St5og0IQ.net]
- x^(log10/log9)くらいのオーダーかな？
の逆数和？
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 14:27:04.14 ID:psxnYC+1.net]
- >>220
ありがとうございました。
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:06:55.52 ID:St5og0IQ.net]
- >>222
a[n]はnを9進数表記をn=Σc[n,i]9^iとするときのΣc[n,i]10^iに等しい
特にr=log10/log9とおくとき(n/9)^r<a[n]<n^rである
実際9/n<m≦nを満たす9べきmをとれば
(n/9)^r<m^r=a[m]≦a[n]
であり、正の数x,yに対しx^r+y^r<(x+y)^rであるから後半の評価を得る
以上によりa[n]の逆数和は収束し、その和は下から
Σ1/a[n]>Σn^(-r)>1/(r-1)=log9/(log10-log9)=20.854345326783
と評価される
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:35:18.27 ID:pKgEu0Ik.net]
- >>218
6の目の出る確率を1/6としてサイコロ100回振って6が30回出る確率を計算してみました。
1835771238850684051497735/40832413968754431088974760597596307513586923952743787370990412577082234109952
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:36:54.48 ID:pKgEu0Ik.net]
- >>226
Wolfram先生からは
203974582094520450166415/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
という御神託
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:46:03.76 ID:pKgEu0Ik.net]
- >>226
分母choose(100,30)と6^30を別々に計算すると
29372339821610944823963760
/
653318623500070906096690267158057820537143710472954871543071966369497141477376
約分したら
203974582094520450166415/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
でWolfram先生の結果と同じになった。
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 15:53:15.47 ID:YvBsAQGd.net]
- >>221
ごめんこれ普通に間違ってた
100C30 * (6が出る確率)^30 * (1-6が出る確率)^70
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 16:38:45.84 ID:pKgEu0Ik.net]
- >>229
> dbinom(30,100,1/6)
[1] 0.0003808148
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 16:52:58.72 ID:pKgEu0Ik.net]
- >>229
それで計算してみました。
11978966267095556063517207528404020840875/31456147505615925548986588676063137259061248=0.0003808148
2625.948回に1回となりました。
Wolfram先生によれば
https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose%28100%2C30%29*%281%2F6%29%5E30*%285%2F6%29%5E70&lang=ja
1727731914364858948441810719185394995545124174896045587956905364990234375/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
=0.0003808147919244379025193416446360750992129733301948433995580339...
どうも、分数表示すると合致しないな。
- 236 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 17:15:13.61 ID:l2Zn2Rei.net]
- >>219
windows電卓でも4になる場合がある。
0.66666666666666666666666666666667×6
の場合だな。
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 17:22:19.95 ID:l2Zn2Rei.net]
- >>219
端数処理か丸めでググれ
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 18:03:44.31 ID:Vhpg2AFq.net]
- n/9 < m ≦ n,
m ≦ n < 9m,
m = 9^e とすれば
e ≦ log(n)/log(9) < e+1,
0.9･(10/9)^e < a[n]/n ≦ (10/9)^e,
より
0.81 < a[n] / n^r ≦ 1,
ここに
r = log(10)/log(9) = 1.0479516371447
ζ(r) = Σ[n=1,∞] 1/(n^r) = 21.43504145264
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 18:41:21.14 ID:Vhpg2AFq.net]
- r>1 のとき
∫[n,n+1] x^(-r) dx < n^(-r) < ∫[n-1,n] x^(-r) dx,
より
∫[1,∞] x^(-r) dx < ζ(r) < 1 + ∫[1,∞] x^(-r) dx,
1/(r-1) < ζ(r) < r/(r-1),
20.85434538971 < ζ(r) < 21.85434538971
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 19:22:46.80 ID:Vhpg2AFq.net]
- 下に凸だから x=n で接線を曳いて
n^(-r) < ∫[n-1/2,n+1/2] x^(-r) dx,
より
ζ(r) < 1 + ∫[3/2,∞] x^(-r) dx
= 1 + (1/(r-1))(2/3)^(r-1)
= 21.452796468183
また 台形近似で
ζ(r) > 1/2 + ∫[1,∞] x^(-r) dx
= 1/2 + 1/(r-1)
= 21.354345326783
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 19:32:22.17 ID:pKgEu0Ik.net]
- 二進法で内部計算だから、大抵の言語で誤差がでる。
IPython 6.5.0 -- An enhanced Interactive Python.
(1.2-1)*5==1
Out[1]: False
(1.2-1)*5>1
Out[2]: False
(1.2-1)*5<1
Out[3]: True
(1.2-1)*5
Out[4]: 0.9999999999999998
Haskell
Prelude> (1.2-1)*5
0.9999999999999998
Prelude> 0.72*5-3.6
-4.440892098500626e-16
R
> options(digits=22)
> (1.2-1)*5 == 1
[1] FALSE
> (1.2-1)*5 > 1
[1] FALSE
> (1.2-1)*5 < 1
[1] TRUE
> (1.2-1)*5
[1] 0.99999999999999978
- 242 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 20:17:18.01 ID:psxnYC+1.net]
- 宮島静雄著『微分積分学II』に以下の定理が書いてあります。
定理8.2
f_n (n = 1, 2, …) は集合 A 上の関数とし、これに対し数列 {M_n}_n で |f_n(x)| ≦ M_n が任意の x ∈ A, n ∈ N で成り立ち、 Σ_{n=1}^{∞} M_n が
収束するようなものがあるとする。このとき Π_{n=1}^{N} (1 + f_n(x)) は N → ∞ のとき A 上である関数に一様収束する。
これは本当に成り立ちますか？
- 243 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 20:27:02.04 ID:psxnYC+1.net]
- >>238
証明は、以下です：
https://i.imgur.com/WdLamHs.jpg
- 244 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/08(月) 20:29:28.02 ID:l2Zn2Rei.net]
- >>232は
LM217やウルフラムアルファではきちんと出る。
>0.66666666666666666666666666666667*6
= 4.00000000000000000000000000000002
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=0.66666666666666666666666666666667%C3%976
結果:
4.00000000000000000000000000000002
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 23:04:55.39 ID:5X8iAnue.net]
- nを2以上の整数とする。1≦k≦n-1を満たす整数の定数kを考え、a[n,k]=C(2n,n)/(n+k)とする。
このとき、a[n,k]を素数とするようなnは有限個であることを示せ。
ただしC(a,b)は二項係数aCbのことを指す。
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/08(月) 23:17:55.74 ID:Vs8bbyg6.net]
- >>241
素数定理よりn>>0に対してn<p<q<r<2nを満たす素数p,q,rが取れる
このときC(2n,n)はpqrの倍数であるが、n+k<2n<n^2<pq,pr,qrによりC(2n,n)/(n+k)は相異なる素因子を少なくとも２つ持つ
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 00:19:58.51 ID:tR6F6U87.net]
- 受験数学レベルでも解けるな
0≦k≦nに対して2n-k≧2(n-k)であるから
C(2n,n)=2n/n (2n-1)/(n-1) ‥>2^n≧4n^2 for n≧8
C(2n,n)/(n+k)が素数pならpは(2n)!の素因子だからp≦2n
よってこのとき
C(2n,n)=(n+k)p≦4n^2
コレはn≧8では起こり得ない
- 248 名前：イナ mailto:sage [2021/03/09(火) 05:28:11.23 ID:z6TR5SNp.net]
- 前>>208
>>211この図いただきます。
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/03/09(火) 14:57:01.19 ID:SKEI5bO2.net]
- 松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。
さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は
やや実変数に
- 250 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 14:59:07.83 ID:SKEI5bO2.net]
- 松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。
「さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は
やや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。しかしそれは容易であるから、ここではあらためて述べない。実際には
この定理は、後の距離空間の位相の章でみるように、もっと一般的な状況のもとに直接かつ簡単に証明することができる。）」
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 15:02:01.20 ID:SKEI5bO2.net]
- これが正確に何が言いたいのかが分かりません。
- 252 名前：１３２人目の素数さん [2021/03/09(火) 15:05:37.32 ID:SKEI5bO2.net]
- 具体的に言うと、「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっている」というのが分かりません。
定理3を見てみても実変数に“局限”などされていないと思います。
定理3は区間 I で考えていて、複素連続関数列は、任意の C の部分集合で考えていることに関係していると推測しますが、いずれにしても大した問題ではないと思います。
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