分からない問題はここに書いてね460

1 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/18(月) 23:25:16.78 ID:GetP2MDS.net] さあ、今日も１日がんばろう★☆ 前スレ 分からない問題はここに書いてね459 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1585492157/ (使用済です: 478) 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 01:15:22.41 ID:ASlt7m8R.net] >>774 > # Rが使えるなら > n=1000 > p=0.001 > x=0:1000 > # (1) > pbinom(2,n,p) [1] 0.91979065715979891 > #(2) > sum(x*dbinom(x,n,p)/sum(dbinom(x,n,p))) [1] 1 > #(3) > ppois(2,1) [1] 0.91969860292860584 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 01:37:14.17 ID:IYp3fSBH.net] 半径1の円Cに内接する正三角形△PQRと、C上を動く点Xを考える。 このとき自然数nの定め方によっては、a[n]=|XP|^n+|XQ|^n+|XR|^n がnのみに依存する値をとることがある（すなわち、C上のどの位置にXがあってもa[n]の値は不変である）。 そのようなnを全て決定せよ。 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 02:03:25 ID:ASlt7m8R.net] >>781 総当たりプログラムの練習にして遊んでみた。 library(gtools) library(gmp) v=c(4,7,9) fn <- function(n){ pm=permutations(3,n,v,rep=T) f <- function(x){ if(all(v %in% x)){ y=as.numeric(paste0(x,collapse = '')) if(is.whole(sqrt(y))) return(y) } } unlist(apply(pm,1,f)) } i=1 flg=is.null(fn(i)) while(flg){ flg=is.null(fn(i)) i=i+1 } fn(i-1) > fn(i-1) [1] 797449 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 05:06:03.77 ID:LuHy/Alh.net] >>784 C上のどの位置にあっても不変ならば、Xが点PにあるときとXが弧PQの中点にあるときのa[n]は等しい 2(√3)^n=2+2^n 右辺が整数であるから、左辺が整数になるためにnは偶数である。 (2/√3)^n=2-2/(√3)^n n≧6 のとき (2/√3)^n≧64/27＞2-2/27≧2-2/(√3)^n であるからこの等式は成り立たない。 したがって n=2 または n=4 である。 Xが弧PQ上にあるとき常にa[2]=6,a[4]=18であることを以下に示すが、弧PQ上,弧QR上にあるときも同様である。 |XP|=p ,|XQ|=q , |XR|=r とする。余弦定理から 3=p^2+q^2-2pqcos120° , 3=p^2+r^2-2prcos60° p^2+q^2=3-pq , p^2+r^2=3+pr 差をとって (r+q)(r-q)=p(r+q) r+q>0 だから r-q=p すなわち p+q=r r^2=(p+q)^2=3-pq+2pq=3+pq a[2]=p^2+q^2+r^2 =(3-pq)+(3+pq) =6 a[4]=p^4+q^4+r^4 =(p^2+q^2)^2-2p^2q^2+(3+pq)^2 =(3-pq)^2+(3+pq)^2-2p^2q^2 =18 825 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/29(月) 09:12:57.77 ID:pLxgzLOg.net] 関数 f(x) は x が無理数の時 、f(x) = 0 x が有理数の時、 x = n/m とし、 f(x) = 1/n をとる。 区間 0 < x < 200 で、 x が有理数の時、 f（x） の最小値 とその時のxの値を答えよ。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 09:31:49 ID:XuyQ1NeQ.net] >>787 最小値は存在しない: mを1以上の整数とするとき n=200m-1 とおけば 0＜n/m＜200 であるが f(n/m)=1/n より f(n/m) = 1/n = 1/(200m-1) よって, xが0＜x＜200の範囲にある有理数であっても f(x)はいくらでも0に近い値を取ることができる 一方で f(x)=0 を満たす有理数x＞0は定義上明らかに存在しない つまり f(x)は問題の条件下では最小値を持たないといえる 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 12:32:22.91 ID:aQRI+ZrR.net] >>784 プログラム解 > a=2*pi/3 > P=1+0*1i > Q=cos(a)+1i*sin(a) > R=cos(-a)+1i*sin(-a) > b=seq(-pi,pi,len=100) > X=cos(b)+1i*sin(b) > fn <- function(n){ + y=abs(P-X)^n+abs(Q-X)^n+abs(R-X)^n + if(round(min(y),1)==round(max(y),1)) print(n) + } > for(i in 1:1000) fn(i) [1] 2 [1] 4 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 14:43:33.97 ID:4ejNywyM.net] >>748 　第一象限の格子点(m,n)全体の集合をKと名付けるならば、 Kの各点に一つの番号を付けて、それを一つの無限点列にすることができる。 すなわち、Kはいわゆる可算（countable, denumerable, abzaelbar）集合である。 　次の図は、このような番号付けの例を示すものである。 高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961) 　　　第4章　§50. 二重級数　p.173　の右図 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/30(火) 04:23:26 ID:ujUIqCoe.net] >>788 ごめんね、おじさん馬鹿だから。 ちゃんと理解して練り直してくるわ。 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/30(火) 10:13:20 ID:ECJqkbpx.net] >>777 2016/Feb/15　衆院 予算委員会 www.youtube.com/watch?v=Cygo5zyjl6Y 04:11 (大意) ペット用のはペットボトルに入れて区別しよう････てワケではない。 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 00:17:34.35 ID:Auh+B/Ha.net] 三角形の２頂点と内心と傍心の４点を通って中心が外接円上にある円の名前はこの中にあるのでしょうか？ https://mathworld.wolfram.com/topics/TriangleCircles.html 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 03:16:36 ID:LIgN0JWi.net] a,b,c,d,e,fを整数とする。xy平面において、曲線 ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0 が放物線または双曲線であるとき、この曲線上には無数の格子点が存在すると言えるか。 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 10:49:26 ID:d6MZAXch.net] >>790 高木の本の情報はどうでもいいです 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 11:24:45 ID:jgItmxWQ.net] >>794 いえない。 例えば、双曲線 x^2-y^2=1 上の格子点は(1,0),(-1,0)の2点だけである。 (x+y)(x-y)=1 を満たす整数の組を考えればわかるだろう。 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 11:45:30 ID:1v4yCAZo.net] lim[k→0] ∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx) dx の極限と積分の順序交換をして良い理由は何でしょうか。 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 11:58:56.84 ID:Lxt/l9fd.net] F(x)＝∫[0,x] (sin(t)/t)dt と置くと、A ＝ lim[x→＋∞] F(x) が有限値で存在する。 特に、F(x)は[0,∞)全体で有界である。｜F(x)｜≦C (x≧0) を満たす定数Cを取っておく。 ∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx ＝[F(x)exp(-kx)]_0^∞＋k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx ＝k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx ＝k∫[0,∞](F(x)−A)exp(-kx)dx＋Ak∫[0,∞]exp(-kx)dx ＝k∫[0,∞](F(x)−A)exp(-kx)dx＋A ここで、M＞0を任意に取ると ｜k∫[0,∞](F(x)−A)exp(-kx)dx｜ ≦k∫[0,∞]｜F(x)−A｜exp(-kx)dx ＝k∫[0,M]｜F(x)−A｜exp(-kx)dx＋k∫[M,∞]｜F(x)−A｜exp(-kx)dx ≦(A＋C)k∫[0,M]exp(-kx)dx＋(sup[x≧M]｜F(x)−A｜)k∫[M,∞]exp(-kx)dx ≦(A＋C)kM＋(sup[x≧M]｜F(x)−A｜) なので limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)−A)exp(-kx)dx｜≦ sup[x≧M]｜F(x)−A｜ となる。 Mは任意だから、M→∞ とすると　limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)−A)exp(-kx)dx｜≦ 0 となり、つまり lim[k↓0] k∫[0,∞](F(x)−A)exp(-kx)dx ＝ 0 となる。よって lim[k↓0]∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx＝A となる。また、A＝lim[x→＋∞] F(x)＝∫[0,∞](sin(t)/t)dt (右辺は広義積分の意味)である。 よって、結果的にはこのケースでは極限と積分の順序交換が成り立っている。 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 16:06:51.60 ID:oUd/gfq5.net] >>796 xかyを１だけずらせば定数項が0になって問題に合う。 838 名前： mailto:sage [2020/07/01(水) 23:06:43.00 ID:2hRevtG6.net] 前>>778 12分じゃないの？ 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/02(木) 00:03:44.92 ID:tFqlB5eM.net] 半径Rの円C上に1点Aが固定されている。 Aを1つの頂点とし、Cに内接する正七角形をSとする。 同様にAを1つの頂点とし、Cに内接する正九角形をTとする。 領域「Sの外部　かつ　Tの内部」の面積をRで表せ。 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/02(Thu) 01:49:26 ID:cNqxcU4E.net] めんどいだけ 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/02(木) 20:35:13.51 ID:ceNKIuAv.net] >>794 fはどこにも使わないんでつか 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 04:49:32.90 ID:T/Vo2N/T.net] 平面にｎ本の直線を引くときに出来る有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？ 平面にｎ本の直線を引くときに出来る非有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？ 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 08:15:27.89 ID:4ba1V3lf.net] >>804 高校の教科書に載っているようなカス問題が解けないのか 今までの人生で何やってた？ 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 09:30:36 ID:YHIalzY2.net] n本目の直線を曳くと、 　新たにできる交点のうち最外のものよりも外側の部分で仕切られた 非有界な領域が２つできる。 （ただし、すべての直線が平行な場合は１つに減る。） ・n本目が 1〜(n-1)本目 のどれに平行でないとき、 　新たな交点が (n-1)個でき、それらの間の(n-2)個の線分で 　仕切られた有界な領域が(n-2)個できる。 ・n本目が 1〜(n-1)本目のどれかに平行なとき 　平行線の数だけ交点・線分・領域の数が減る。 有界な領域の数（最大）：　　　(n-1)(n-2)/2, 非有界な領域の数（最大）：　　2n 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 09:50:13 ID:jLhKI4Rq.net] >>805 お前のような書き込みが一番要らんだろう 回答する気がないのに揶揄するだけだから 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 12:18:59.25 ID:YHIalzY2.net] >>801 半径R=1 の場合を求め、あとで RR 倍すればよい。 A(1,0) B( 0.661337323892269, 0.703240293158150) (cos(40), sin(40)) を頂点とする△_1 C( 0.460960990844761, 0.818927622982359) D(-0.074276143175737, 0.941092006073824) (cos(80), sin(80)) を頂点とする△_2 E(-0.319077014266614, 0.897927007599567) F(-0.785024867306145, 0.526345994193652) (cos(120), sin(120)) を頂点とする△_3 G (-cos(π/7), 0.388169314943297) (cos(160), sin(160)) (cos(200), sin(200)) G~(-cos(π/7), -0.388169314943297) を頂点とする台形(trapezoid) の面積を求めてたす。 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 12:25:59.38 ID:YHIalzY2.net] △_1 = 0.0265805988291735　(2つ) △_2 = 0.0268429064059905　(2つ) △_3 = 0.0261815312905293　(2つ) 台形T = 0.0282756761401363 この7つを合計する。 　 S/RR = 2(△_1+△_2+△_3) + T = 0.1874857491915230 848 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/03(金) 13:47:50.90 ID:SEzJko/d.net] この問題の解き方、教えて下さい！サンドウィッチの詰め方 宿題の問題は以下の通りです。 「縦12センチ(3センチ×4)、横20センチ(10センチ×2)の大きさの容器に、パン屋の店員が、縦×横=3センチ×10センチの大きさの4種類 (ツナ、タマゴ、ハム、チーズ)のサンドウィッチを各2個ずつ、計8個、隙間なく詰めるとする。このとき、サンドウィッチの詰め方は何通りあるか？ ただし、実際はたかが4種類しかないが、パッと見、もっと色んな種類が入っているように客に見せるために、 1. サンドウィッチの短い辺同士が隣り合う場合は、互いに異なる種類のサンドウィッチ同士でなければならないとし、また、 2. 各縦の列にサンドウィッチを詰める際は、4種類すべてのサンドウィッチを詰めなければならないとする。 (これら1.、2.の条件を無視した詰め方をすると、 「商品として不合格！」と店長から叱られてしまうので、詰め方としては数えられない。人生は塩辛いのである。)。 また、容器を回転して同じ配列の場合は、同じ詰め方とする (今回は容器なので、裏返しにすると、載せることは出来ても、詰めることは出来ないので注意。店長は飽くまで、パンパンに詰めて販売したいのである。店長なりのサービス精神である。)。 ちなみに、同じ種類のサンドウィッチ同士は区別がつかないものとする。」 という宿題です。 回答宜しくお願い致します。 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 13:53:33.56 ID:l9EAO2Py.net] >>810 マルチポストな上に宿題丸投げとは驚いた 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:05:04.37 ID:1bUTMl+p.net] 6x6=36 8x8=64 10x10=100 36+64=100 これって、整数論か文字式で合理的な理由説明できる? それともただの偶然? 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:15:17.85 ID:l9EAO2Py.net] >>812 (6, 8, 10) はピタゴラス数だから 原始ピタゴラス数 (3, 4, 5) の2倍 ちなみに、 n^2 + (n+2)^2 = (n+4)^2 を満たす n は 6 と -2 のみ 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:18:08.61 ID:9bCtHQa7.net] >>812 ピタゴラス数でググれ 何を偶然と呼ぶのかが問題だけど 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:34:16.95 ID:1bUTMl+p.net] 中一で習うような(a+b)^2とかの式でキレイに変形してみたら当たり前だよねって説明出来るか否かかな。 >>813,814を検索してみて ピタゴラス数を作る公式は上の式とかに似てますね。 854 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/03(金) 14:39:53.26 ID:lBvnkrP8.net] >>815 次の等式は展開すればすぐわかる: (d(a^2-b^2))^2 + (2dab)^2 = (d(a^2+b^2))^2 つまり X=d(a^2-b^2), Y=2dab, Z=d(a^2+b^2) とおけば X^2 + Y^2 = Z^2 が成立している d=2, a=2, b=1 とすれば X=6, Y=8, Z=10 つまり 6^2 + 8^2 = 10^2 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:41:44.92 ID:1bUTMl+p.net] 九九の対角線と、最初の三桁の自然数の間の関係が、特別美しく見えたと言う私の"感想"と。 とりあえず、三平方の定理が自然数同士で成り立つ事に合理的な理由があるのは分かりました。 聞きたかったニュアンスとしては、"偶然ではない"ように"感じ"ます。 856 名前：ID:1lEWVa2s mailto:sage [2020/07/03(金) 14:52:20.76 ID:kvB40sa8.net] >>816 久しぶり。 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:52:22.56 ID:SJNnbIMQ.net] >>817 九九の対角線ってのは平方数だからある種の美しさはあるだろうが 最初の三桁の自然数が美しいってのは不思議な感性をしているね。 10進法が他のn進法に比べてそんなに美しいのだろうか。 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 15:03:17.34 ID:1bUTMl+p.net] >>816 ありがとうございます。 最初に全体4で割っておくと、 (A-B)^2+4AB=(A+B)^2 で100%中一数学ですね。 >>819 あとは、偶然って定義とかあったっけ。 859 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/03(金) 15:12:52.37 ID:SEzJko/d.net] >>811 私は以下のように考えました。 ツナ、タマゴ、ハム、チーズをそれぞれ、簡単のため、a, b, c, dとして、 例えば、容器の左の縦列に上から順番に(a, b, c, d)と詰めるとすると、右の縦列には、上から順番に、 (b, a, d, c)、(b, c, d, a)、(b, d, a, c)、 (c, a, d, b)、(c, d, a, b)、(c, d, b, a)、 (d, a, b, c)、(d, c, a, b)、(d, c, b, a) の9通りが考えられ、左の縦列の並べ方は、4！通りあり、それらの対称性から、各々9通りの右縦列の詰め方があるので、全部で、9×4！通りあるが、回転させて同じ詰め方が各々2通りあるので、2で割って、 (9×4！)÷2=108通り が答えになると思ったのですが、合っているでしょうか？ 何だか、色々と考えにくく、結局、泥臭い地道な解法を取ったのですが、別解として何かもっとスパッと簡単に解く方法はないでしょうか？他に別解として、どのような解法がありますでしょうか？ ご教示のほど宜しくお願い致します。 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 15:15:29.90 ID:l9EAO2Py.net] 5 進法で考えれば 3^2 + 4^2 = 10^2 同様に 13 進法で考えれば 5^2 + C^2 = 10^2 … 記数法や n 進法の話はともかく、自然数の組 (a, b, c) に対して a + b = c は全ての c ≧ 2 について a, b が存在するが a^2 + b^2 = c^2 を満たす c は限られる（例えば c = 6 は不可能）し、 a^n + b^n = c^n (n ≧ 3) なら一つもないこと（フェルマーの最終定理）を考えれば 美しいかもしれない 861 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/03(金) 17:46:47.84 ID:zd8ES0Nb.net] dy＋ydxdy=(1−y^2)dx のyを求めたいのですが。 もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 18:35:55.31 ID:+Y/uxVJK.net] >>823 dの数ちゃうやん？ 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 19:04:08.44 ID:nArnrYCm.net] どう間違えたらそうなるのか謎だ 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 19:38:01.08 ID:pJJSArnZ.net] nを3以上の自然数とするとき、 a^n+b^n=c^n+{2^(n-1)}*ab*cos(∠A) を満たす自然数a,b,cおよび実数Aは存在するか。 ただしa,b,c,Aは以下の条件を満たす。 （条件）a,b,cはある1つの三角形の3辺の長さとなる。その三角形を△ABCとしたとき、a=BCであり、∠A=∠BACである。 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 21:14:35.09 ID:90y63y3Z.net] >>810 120通り (1)回転しても同じになるのが24通り > x2mat(pm1[idx1[24],]) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 4 3 2 1 [2,] 1 2 3 4 (2)回転すると別の並べ方 > x2mat(pm1[216,]) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 4 3 2 1 [2,] 3 4 1 2 (1)+(2)が216通り (1)が24通りなので （216-24)/2 + 24 = 120通り 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 21:16:16.50 ID:90y63y3Z.net] >>810 プログラムを組んで数えさせた。 library(gtools) pm=unique(permutations(8,8,v=rep(1:4,2),set=FALSE)) x2mat <- function(x) matrix(x,ncol=4,byrow=T) # vector-> matrix x2mat(c(2,1,3,4,1,3,4,2)) # demo fn <- function(x){ y=x2mat(x) all( all(1:4 %in% y[1,]), # 1st row includes all of 1:4 all(1:4 %in% y[2,]), # 2nd row includes all of 1:4 all(apply(y,2,diff)!=0) # difference in each column is not zero ) } idx=which(apply(pm,1,fn)) length(idx) x2mat(pm[idx[100],]) # demo " identical after rotation : 'symmetric' 1234 1234 4321 4321 different after rotatio : 'asymmeric' 2134 2431 1342 4312 " pm1=pm[idx,] x2mat(pm1[216,]) # demo fn1 <- function(x){ (y=x2mat(x)) (z=matrix(c(rev(y[2,]),rev(y[1,])),ncol=4,byrow=T)) # after rotation all(y==z) } idx1=which(apply(pm1,1,fn1)) x2mat(pm1[idx1[24],]) s_as=length(idx) # symmetric + asymmetric sym =length(idx1) # symmetric (s_as-sym)/2 + sym > (s_as-sym)/2 + sym [1] 120 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 21:24:39.95 ID:90y63y3Z.net] >>821 (a,b,c,d)　 (d,c,b,a) だと回転させても回転前と同じになるから、こういうのを含めて２で割ると過小評価になると思う。 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 21:50:07 ID:90y63y3Z.net] >>801 作図だけしてみた。 https://i.imgur.com/IVC9jJk.png 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 22:32:17.22 ID:SJNnbIMQ.net] >>826 存在する。例えばa=b=c=2,∠A=60° 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 22:33:22.82 ID:7lES8FSM.net] 証明の行間って英語でどう書くのですか？ 行間の英訳を検索すると行と行の間の空白部分の英訳が出てしまうのですが、日本語のニュアンスとしては、証明の詳しさ的な感じですよね 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 23:03:13.67 ID:90y63y3Z.net] >>832 implicit argument でどうでしょうか？ 872 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 11:44:56.83 ID:JsPC4r8O.net] fをアッカーマン関数とする. 以下を証明せよ. (1)x+y+1<=f(x, y). (2)f(x,y)<f(x,y+1)<=f(x+1,y). (3)任意のa,b∈Nに対してc∈Nが存在して任意のy∈Nに対してf(a,f(b,y))<f(c,y). (4)原始的関数g:N^n→Nに対してc∈Nが存在してg(x_1,...,x_n)<f(c,max(x_1,...,x_n)) (ただしn=0のときmaxの値は0とする). 上記の問題の(4)のgが原始帰納法によって定義された関数である場合の証明が分かりません. どなたかよろしくお願いします. 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 13:22:03.60 ID:bJzWIHZ7.net] 実数xに対して、"x"はxの小数部分を表すものとする。 任意の正の数εに対して、不等式 "(3^n)/(2^m)"<ε を成立させる自然数m,nが存在することを示せ。 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 13:30:40.47 ID:OUWbM4MU.net] ある集合が開集合であるかどうかは絶対的なものではなく、それを含む空間に依存するということですが、 原点を中心とする半径1の開球が開集合でなくなるような容れ物ってありますか？ 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 13:32:52.90 ID:OUWbM4MU.net] 開球はR^3の部分集合とします。 876 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 13:34:41.79 ID:OUWbM4MU.net] 単位開球⊂X⊂R^3で単位開球がXで開集合でなくなるようなXは存在しますか？という質問です。 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 13:48:33.01 ID:bpBdqHUs.net] Xの空間としての位相がR^3から自然に入れたものなら開球は(というかR^3の開集合でXに含まれるものならどんなものでも)開集合 ただしXとしてR^3とは全く関係ない位相を入れた空間と思うなら開球が開集合でなくなることはある 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 14:02:12.96 ID:VlSg+iRT.net] >>835 3/2^m → 0 (m → ∞) なんだから当然じゃね n と m に自然数以外の条件ないの？ あと普通 x の小数部分は {x} か frac(x) じゃね 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 14:13:28.20 ID:bpBdqHUs.net] 多分、整数部分が0でない想定なんだろうけど その場合は 3^(2^n)=(2^n)k+1 からわかる 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 14:53:51.99 ID:8jzJFpef.net] >>835 正数xについて常に"x"<xであるから、"(3^n)/(2^m)"<εが成り立つためには(3^n)/(2^m)<εが成り立てば十分である。 n=1とし、3/ε<2^M となるような自然数m=Mをとればよい。 >>836 いくらでもあるが簡単な例としては、R^3空間にR^3自身と空集合のみを開集合とする位相を入れればよい。密着位相というやつだな。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 15:04: ] [ここ壊れてます] 882 名前：26 ID:VlSg+iRT.net mailto: >>838 例えば、 X := {x ∊ R^3 | |x| ≦ 2} とすれば （単位開球） ⊂ X ⊂ R^3 [] [ここ壊れてます] 883 名前： ここで |x| は R^3 のユークリッドノルムとする。 o(ε) := {x ∊ R^3 | ε ≦ |x| ≦ 2} に対し、 S := {o(ε) | ε ∊ R} を準開基として生成される X の開集合系を O とするとき、 位相空間 (X, O) について単位開球は開集合ではない。 [] [ここ壊れてます] 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 15:08:28 ID:bpBdqHUs.net] 反例のための位相なら O(X)={Φ,X}(密着位相)で十分では 885 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 15:11:11 ID:oAKLKcEG.net] >>824 ＞＞dy＋ydxdy=(1−y^2)dx ＞＞のyを求めたいのですが。 ＞＞もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。 本当にこのままです。 886 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 15:32:03.11 ID:oAKLKcEG.net] >>825 あなたが見てきたのは本に書いている解ける微分方程式です。 分からないなら、分からないで構いません。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 15:33:47 ID:EP1Xe6XC.net] どちみち虹の微小量として消して計算するしかないんじゃない？ dy = (1−y^2)dx y(x) = (e^(2 x) - e^(2 c))/(e^(2 c) + e^(2 x)) 888 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 15:53:31.18 ID:VlSg+iRT.net] とあるサイトに 「一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず， 　たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」 と書かれていましたが、本当でしょうか？ 現在でも未解決ですか？ 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:15:39.74 ID:8jzJFpef.net] ディオフォントス方程式の整数解の一般解法は存在しないことが証明されているから未解決ではないぞ。 ある特定のディオフォントス方程式についてということなら、解けるものも解けないものも解く方法が見つかっていないものもあるだろう。 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:22:22.24 ID:vADwUpac.net] 次の微分方程式を解け。 dy+dx+dxdy = exp(dx) 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:24:33.26 ID:VlSg+iRT.net] >>848 再掲します とあるサイトに 「 x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」 と書かれていましたが、本当でしょうか？ 現在でも未解決ですか？ 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:29:07.54 ID:gGXiG/Hn.net] >>833 〜例えば を削除したら文脈が変わるから再掲じゃないんではないですかね 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:29:20.85 ID:gGXiG/Hn.net] >>851だった 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:34:24 ID:VlSg+iRT.net] 引用の仕方が良くなかったですかね ヒルベルトの第10問題（が否定的に解決されたこと）について書かれているサイトの文章だったので 「たとえば，〜」が現在でも具体例として有効なのかどうかがわかりません 895 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 17:55:23.51 ID:9wc4jh9T.net] ∫dx/(1 - x^2)^(3/2) って、計算可能でしょうか？ 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 17:57:59.42 ID:VlSg+iRT.net] >>855 https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%ABdx%2F%281+-+x%5E2%29%5E%283%2F2%29&lang=ja 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 18:28:49.31 ID:9wc4jh9T.net] >>856 なんと、こんな便利なサイトが……！！　とても助かりました、ありがとうございます。 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 18:48:11.54 ID:VlSg+iRT.net] >>851 Wolfram大先生に聞いたら https://www.wolframalpha.com/input/?i=find+integral+solution+of+x%5E3+%2B+y%5E3+%2B+z%5E3+-+3+%3D+0 と「答え」を返してきましたけど 実際はどうなんでしょうか？ 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 18:54:26.05 ID:nLP217oC.net] >>845-846 >>850 それを微分方程式と書く本がおかしい 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 19:03:20.56 ID:SXs5Zk63.net] 微分形式については次から次へと俺様微分形式が湧いて出るな。 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 19:23:29.13 ID:Fvn4+d+y.net] き、きっと>>823は無限次元多様体上のすべての次元の微分形式からなる多元環における方程式なんだよ え？>>850？そんなもん 902 名前：知らんな [] [ここ壊れてます] 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 20:46:47.74 ID:SXs5Zk63.net] >>861 そう解釈すると一次のとこの解>>847が二次の方程式満たしそうにないから解なしだな。 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 11:41:48.76 ID:6pnuWzuz.net] ∫[0,∞] exp(-x^3) dx の値は知られていますか？ -x^3の場合の記述が見つからなかったので、ここでお聞きしました。 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 11:45:57.39 ID:b6WTgL0g.net] 置換積分とガンマ関数で表わす 906 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 14:47:10.85 ID:6pnuWzuz.net] xyz空間の６点A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),E(0,0,1),P(a,b,c)を頂点とするn面体Kを考える。 （１）c<0の条件のもとで、Kが凸n面体となるような実数a,b,cの範囲を求めよ。 （２）△PABの重心をG、△PECの重心をHとする。a,b,cが（１）で求めた範囲を動くとき、線分GHが通過する領域をＸとする。Ｘを平面z=t(ｃ≦t≦1)で切った切り口の面積を求めよ。切り口が1点や線分である場合、または存在しない場合の面積は0とする。 （３）Kの体積を求めよ。 907 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 17:20:29.39 ID:2QM6mHlN.net] 定積分の問題です。 mathematicaで Integrate[Sin[ax]x/(1+x^2)^c,{x,0,∞}](ただし aは正の実数,cは実数) とすると、 (2^(1/2-c) a^(-1/2+c) Pi^(1/2)BesselK[-3/2+c,a])/Gamma[c]（ただしｃ>1/2) と出てきます。 これを証明したいのですが、できません。 留数を使うと思うので、そちらの文献を少しは調べてみたのですが、、、。 どなたか、上の定積分の証明をお分かりの方がいれば、 ご教示のほど、よろしくおねがいいたします。 908 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 17:55:46.16 ID:mES7tl/s.net] >>847 御解答ありがとうございます。 おっしゃる通りです。 私の計算でもwolframの計算でもその解答です。 しかし dy＋ydxdy=(1−y^2)dx のydxdyを無視してはいけないことに気付きました。 近似解でも良いから求められないでしょうか。 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 18:45:55.97 ID:LpPEvrn4.net] 有名な話で恐縮ですが、ガンマ関数と解析接続の γ(-1)=-1/12=Σ1/n^(-1)=Σn=∞ という式はどう解釈すれば良いでしょうか。 計算していけばγ(-1)=-1/12となるのは納得できます。となるとΣ1/n^aにおいてa<0を考えたことに誤りがあるのでしょうか。 ご教示お願いいたします。 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 18:47:02.00 ID:wQ7bH17G.net] 何かをモデル化してその数式を導いたなら、モデル化か数式化がおかしいとしか言えない 近似も何も、モデル化や数式化が近似なのだから、その数式になるせめてもう一歩手前が分からんことにはどうにもならない 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 18:50:15.66 ID:277VsiZx.net] >>868 Γ(s+1)=sΓ(s)で解析接続する。 Γ(s)=Γ(s+2)/(s(s+1)) で右辺はs=-1で一位の極。 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 19:04:31.69 ID:iV7kmL62.net] >>864 に従って 　x^n = t　とおく。 ∫[0,∞] exp(-x^n) dx 　= (1/n)∫[0,∞] t^(1/n -1) exp(-t) dt 　= (1/n)Γ(1/n) 　= Γ(1+1/n), n=1 のとき　Γ(2) = 1, n=2 のとき　Γ(3/2) = (√π)/2 = 0.886226925452758････ n=2.166226964260763････ で最小値 0.8856031944108887 n→∞ のとき 正方形（1×1）に近付く。 数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らか。(Kelvin) 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 19:44:07.30 ID:iV7kmL62.net] >>855 (1) ∫ dx/(1 - x^2)^(3/2) = ∫{1/√(1 - x^2) + x^2 /(1 - x^2)^(3/2)} dx 　　= x/√(1-x^2), (2) 　x = tanh(t)　とおく。 (3) 　x = sinθ とおく。 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 22:15:33.76 ID:rpUuAKzr.net] 有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？ n=10 p=0.005 感染源がi人である確率は nCi*pi*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i Σ{(n-i)/i * nCi*pi*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*pi*(1-p)^(n-i) = 8.887473379 手計算は面倒なのでプログラムして計算 R0 <- function(n,p){ i=1:n w=dbinom(i,n,p) r0=(n-i)/i sum(r0*w)/sum(w) } R0(10,0.005) > R0(10,0.005) [1] 8.887473379 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 22:35:01.86 ID:rpUuAKzr.net] （脱字修正） 有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？ n=10 p=0.005 感染源がi人である確率は nCi*p^i*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i Σ{(n-i)/i * nCi*p^i*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*p^i*(1-p)^(n-i) = 8.887473379 手計算は面倒なのでプログラムして計算 R0 <- function(n,p){ i=1:n w=dbinom(i,n,p) r0=(n-i)/i sum(r0*w)/sum(w) } R0(10,0.005) > R0(10,0.005) [1] 8.887473379 916 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 22:39:23.42 ID:zaLNiyGh.net] f(x) のn階導函数を求めよ (1) f(x) =1 /x(x + 1) (2) f(x) = cos2xcos4x 917 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 22:40:55.41 ID:zaLNiyGh.net] arctanx + arccos 2/ 3 = 0 を満たす x を求めよ. cosarcsinx の導函数を求めよ. 918 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 22:47:28.53 ID:zaLNiyGh.net] f(x) =1/ 2x(x^2 −1) (x < 0) x(e^x − 3/ 2) (x ≥ 0)のとき (1) f′(0)を求めよ. (2) f′(x)を求めよ. (3) f ∈ C＾n(R)としたとき, 最大のn ∈N∪{0}を求めよ ただし、以上のうちで定まらないものがあればその理由を述べよ 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 23:00:59.02 ID:b6WTgL0g.net] ただの計算問題はツマラン 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 23:34:34.60 ID:6pnuWzuz.net] A君が坂の途中のP地点に立っている。 A君がP地点から東に歩いたときの勾配は3/4であり、南に歩いた時の勾配は2/3であった。 この坂の勾配が最もきついのはP地点から見てどの方角か。 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 23:40:10.31 ID:XbdysAQ6.net] >>875 (1)(1/x)(x+1)か1/{x(x+1)}か微妙な表記なのでスルーしておく。 (2)積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい。 >>876 (前半)これも (arccos2)/3 か arccos(2/3) か怪しい表記だが、どちらにせよ答えは x=-tan(arccos2/3) (後半)-sin(arcsinx)/√(1-x^2) >>877 これも (1/2)x(x^2-1) か {1/(2x)}(x^2-1) か 1/{2x(x^2-1)} か微妙な表記なのでスルーしておく。 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 00:04:29 ID:/c2y1QbB.net] >>879 坂の形状がわからないので、坂が平面であると勝手に決めつけて答えてみる。 東をx軸正の向き、南をy軸正の向き、上をz軸正の向き、A君の位置を原点としたxyz座標空間上で、坂平面の方程式を ax+by+cz=0 とする。 xz平面との交線が z=(3/4)x だから a=(-3/4)c 、yz平面との交線が z=(2/3)y だから b=(-2/3)c 。坂平面の方程式は 9x+8y-12z=0 この坂平面とxy平面の交線は y=-(9/8)x で、これに垂直な直線 y=(8/9)x が求める方角である。 すなわち南東方向に真東からみてarctan(8/9)の方角。 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 00:11:26 ID:cE8uMBSB.net] >>880 さすがにarccos2ってことは無いだろう。 arccos(2/3)だとすると>>876前半は x=-(√5)/2 924 名前：イナ mailto:sage [2020/07/06(月) 02:27:41.24 ID:EjjkoMDB.net] 前>>800 >>865 (1)x+y+z＜1 x-y+z＜1 -x-y+z＜1 -x+y+z＜1 の領域にPがある。 ∴a+b+c＜1 a-b+c＜1 -a-b+c＜1 -a+b+c＜1 (2)保留 (3)(1/3)×2×1+(1/3)×2×c=(2+2c)/3 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 05:46:30.4 ] [ここ壊れてます] 926 名前：8 ID:IqOckpzP.net mailto: >>882 計算機に解かせた。 > f <- function(x) atan(x) + acos(2/3) > uniroot(f ,c(-10,10),tol=1e-15)$root [1] -1.118034 > -sqrt(5)/2 [1] -1.118034 > [] [ここ壊れてます] 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 06:44:49 ID:IqOckpzP.net] >>879 library(pracma) east=c(4,0,3) south=c(0,-3,2) (nv=pracma::cross(east,south)) # c(9,-8,-12) 外積=法線ベクトル " dot(c(x,y,z),nv)==0 9x-8y-12z=0 平面の式 z=(9x-8y)/12 fn <- function(x,y) 9*x - 8*y # 最大値でいいので/12は無視 x=cosθ, y=sinθとおいて " fn <- function(theta) 9*cos(theta) - 8*sin(theta) curve(fn(x),-pi,pi) (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max) > (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max) [1] -0.726642 °で表示すると > th*180/pi [1] -41.63352 東から南に向かって41.6°の角度が最大の勾配 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 06:56:57 ID:IqOckpzP.net] >>885 勾配０の方向のθは（degree表示) > uniroot(fn,c(-pi,0))$root*180/pi [1] -131.6335 > uniroot(fn,c(0,pi))$root*180/pi [1] 48.36646 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 07:04:42 ID:IqOckpzP.net] >>885 Wolfram先生によるとθ＝　-2arctan(8/(9+√145)のときが最大とのこと。 https://ja.wolframalpha.com/input/?i=9*cos%28x%29+-+8*sin%28x%29 > -2*atan(8/(9+sqrt(145))) [1] -0.7266423 > (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max) [1] -0.726642 まあ、あってる 930 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/06(月) 09:51:08 ID:yUYT+NI/.net] 恥ずかしながら、どう着手したらいいか分かりません...。 小学生レベルの私に解法ご教示ください。 出発地点から峠を越えて目的地に着き、すぐに来た道を通って出発地点に戻った。 行きは6時間半を要し、帰りは7時間半を要した。 出発地点から目的地までの道のりを求めよ。 ただし、峠を上るには毎時6kmで歩き、下るには毎時8kmで歩くとする。 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 10:17:02 ID:b/qHWYwf.net] >>888 中学生レベルなら教えられるが小学生に教えるのは難しいかな 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 10:22:07 ID:uh4BMQna.net] >>888 出発地点から峠までの道のりをx(km) 峠から目的地までの道のりをy(km) と置いて式を２つ立て、そこからxとyを求め、x+yを回答する 933 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/06(月) 11:10:10 ID:EjjkoMDB.net] 前>>883 >>888 道のりをＬkmとすると、 峠までの道のりlkmと峠から目的地までの道のり(Ｌ-l)kmについて、 行きはl/6+(Ｌ-l)/8=6.5 帰りは(Ｌ-l)/6+l/8=7.5 辺々24倍し4l+3Ｌ-3l=156 l+3Ｌ=156――? 4Ｌ-4l+3l=180 4Ｌ-l=180――? ?+?より、 7Ｌ=336 ∴Ｌ=48(km) 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 11:22:28 ID:s8I58AGk.net] >>888 これは問題がいやらしいな。 行き帰りでコストが異なる非対称の距離の問題、 それをあえて、身近な坂道で例えて 簡単そうに見せかけている。 出題者のねちっこい性格を表している。 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 11:28:58 ID:s8I58AGk.net] >>888 行きの上り 斜面を x km 、 下り斜面 を ykm とする。 （帰りは、この 上りと下りを逆にすればよい） 行きに要した時間より式A、 帰りに要した時間より式B A. x/6 + y/8 = 6.5 B. x/8 + y/6 = 7.5 見やすいように両辺を 24倍して A … 4x + 3y = 24 * 6.5 B … 3x + 4y = 24 * 7.5 ここで、 （A + B） とすると より 7x + 7y = 24 * (6.5+7.5) が得られる。 7 936 名前： * (x+y) = 24 * 14 (x + y) = 24 * 14 ÷ 7 = 48 答え 48 km [] [ここ壊れてます] 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 11:51:46 ID:ET+hu8oz.net] >>888 帰りのほうが長い時間かかっているので帰りのほうが上りの距離が長い つまり峠の頂点は出発地点に近い側にある 出発地点から峠までの距離と同じ距離だけ峠から下った地点をAとすると、行きに出発地点からAまでにかかる時間と帰りにAから出発地点までにかかる時間は同じ 従って行きと帰りの差1時間は、行きにAから目的地までにかかる時間と帰りに目的地からAまでかかる時間の差 この区間は行きは下りなので時速8km、帰りは上りなので時速6km 例えば48kmをそれぞれの速さで進むと6時間と8時間かかるから2時間差（※） だから「Aから目的地」は24km(X）ってことになる ここを行きは3時間、帰りは4時間かけて歩いている 残りの「出発地点からA」は上りと下りが同じ距離であり、行きも帰りも3時間半 例えば上りも下りも24kmずつだとそれぞれ4時間、3時間かかるので計7時間(※） なので「出発地点からA」上りも下りも12kmずつの計24km(Y） よって「出発地点から目的地」はXとYを足して48km また出発地点から峠まで12km、峠から目的地まで36kmなので検算してみると、 行きは上りに2時間下りに4.5時間で計6.5時間、帰りは上りに6時間下りに1.5時間で計7.5時間で合っている ※のところは計算しやすい数値を用いているだけ 938 名前：イナ mailto:sage [2020/07/06(月) 12:18:17.93 ID:EjjkoMDB.net] 前>>891 小学生は作文の時間に、たとえば感想文とかを書くとき、ちょっと書ける子でも3行60文字ぐらいで詰まる。したがって答案に使う文字数もそのぐらいにしたほうがいい。 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 13:20:23.54 ID:b/qHWYwf.net] 現実的には48km歩いて直ちに行きと同じペースで引き返すとか無理ゲー 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 13:43:20.61 ID:ET+hu8oz.net] 鳥居強右衛門レベル 941 名前：875 [2020/07/06(月) 14:05:23.49 ID:/0aqWtmc.net] 補足です f(x) のn階導函数を求めよ (1) f(x) =1 /{x(x+1)} (2) f(x) = cos2xcos4x 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 14:14:43.88 ID:uITHUiBq.net] >>898 「n階導函数を求めよ」とかいう問題は一般項を推測できれば帰納法で証明できることが多いよね もし一般項の推測ができないなら、具体的に f'(x), f''(x), f'''(x), f^(4)(x), … を書いてみれば 誰か推測してくれるかもよ まさかこの程度の計算もせずに書き込んでいるわけじゃないでしょ？ 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 14:20:20.67 ID:HPDcrjtp.net] 鳥居みゆきレヴェル 　鳥居ユキの服なんか持ってないのに･･･ 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 14:56:04 ID:HPDcrjtp.net] >>888 本問では、峠の両側の勾配に大差ない（平均で見て）と思われる。 場所によって勾配が大きく変わる場合も 「ある場所を上るときの速さは、そこを下るときの速さの 3/4 とする」 とすれば、所要時間は求まる。 (行き) 　出 → 峠　2時間 　峠 → 目　4時間半 (帰り) 　目 → 峠　6時間 　峠 → 出　1時間半 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 15:13:44.59 ID:cE8uMBSB.net] >>898 (1) 1/{x(x+1)}=(1/x)-1/(x+1) と部分分数分解してから微分し始めるとよい (2) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい 946 名前：888 [2020/07/06(月) 15:47:33.22 ID:mK7KZ70L.net] 皆さま、ご回答ありがとうございます！ 理解できるよう内容確認させて頂きます！ 947 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/06(月) 15:59:54.57 ID:qGWlc6nd.net] 次の函数の3階導函数を求めよ �@ cosxcos3x �Ae^x sinh2x (x > 0) 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 16:06:32.26 ID:uITHUiBq.net] このスレにもWolfram大先生のテンプレ貼ったほうがいいんじゃね 高校数学の質問スレPart405 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592497360/1-4 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 16:09:19.43 ID:y/W8tFYs.net] R^nの部分距離空間Aの点aが孤立点だとします。{a}はAの開集合ですが、違和感があります。{a}が開集合であるということが何かの役に立つんですか？ 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 16:21:21.76 ID:vZuo8Rqd.net] かつ閉集合でもあるからいいんじゃない 閉かつ開に違和感持ったらp進解析できないよ 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 17:09:52.57 ID:FI2iVHF+.net] >>906 {a}は開集合か？と言う問に答えられる 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 18:16:54.23 ID:cE8uMBSB.net] >>904 (1) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい (2) {e^(3x)-e^(-x)}/2 の形から微分していけばよい。 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 18:55:05.17 ID:zrqa/esz.net] （無限）連分数ですべての実数が表記できるというのは、証明は簡単ですか？ 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 21:00:06.32 ID:uITHUiBq.net] >>910 ググれば出てくるし初等的だけど簡単ではないかも 大体こんな感じか [ ] をガウス記号とする。 実数 x に対し、 x の連分数 α を以下の「操作」によって再帰的に定める。 操作 a_0 := [x] とする。 x - a_0 = 0 ならば、 α := a_0 として操作を終える。 x - a_0 ≠ 0 ならば、 b_1 := 1/(x - a_0) として、 a_1 := [b_1] とし、操作 A(1) を実行する。 ここで、操作 A(n) は以下のように再帰的に定める。 操作 A(n) b_n - a_n = 0 ならば、 α := a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n)))))) として操作を終える。 b_n - a_n ≠ 0 ならば、 b_{n+1} := 1/(b_n - a_n) として、 a_{n+1} := [b_{n+1}] とし、操作 A(n+1) を実行する。 以上の操作が有限回で終わるとき、 α は有限連分数であると言う。 そうでないとき、 α は無限連分数であると言い、 α := lim[n→∞] a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n)))))) とする。 【定理】全ての実数 x に対し、 x の連分数 α が存在して、 α = x が成り立つ。 （証明の方針） (1) x が有理数のとき、 α は有限連分数となることを示し、実際に α = x となることを示す。 (2) x が無理数のとき、 α は無限連分数となることを示し、極限値 α は収束して α = x が成り立つことを示す。 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 22:07:54.10 ID:fgaeIocv.net] πだとこんな感じ > pi [1] 3.1415926535897931 > 3+1/(7+1/(15+1/(1+ + 1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+ + 1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(3 + +1/(3+1/(23+1/(1+1/(1+ + 1/(7+1/(4+1/(35+ + 1/(1+1/(1+1/(1+1/2))))))))))))))))))))))) [1] 3.1415926535897931 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 00:30:06.00 ID:yBUx0unO.net] 手間はかかるけど証明は自明に近いな 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 00:37:20.29 ID:gyGhnLCq.net] 2.34567=2+(3+(4+(5+(6+7/10)/10)/10)/10) みたいな要領で無限小数を無限連分数に表していくのは簡単なんだけど、普通はこの形を連分数とは言わないからなぁ… 分子が全部1で分母の方に連なっていく形の連分数で表そうとすると、それなりに手間がかかるのか。 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 01:03:12 ID:UC0vv9cS.net] Farey数列がらみの話ですな。 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 01:31:23.54 ID:DRPGbRnk.net] f(x)は[0,∞)で定義された実数xについての関数で、少なくとも1回は微分可能な関数とする。 g(a,x)は[0,∞)で定義された実数aおよびxについての関数で、aでもxでも少なくとも1回は微分可能な関数とする。 I(a) = ∫[0,∞] g(a,x)/f(x) dx とするとき、I(a)が連続でないようなf(x)およびg(a,x)の例を1つ挙げよ。 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 01:41:26 ID:UC0vv9cS.net] f(x)=exp(2πix) g(a,x)=1/(1/4+a^2)sinc(x/(1/4+a^2)) 961 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/07(火) 02:08:51 ID:BoTxtUvK.net] 前>>895 >>865(2) ヒットエンドラン♪ 長さ√2/3 傾き(0,1,1) GHの単位ベクトルは(1/√2)(0,1,1) 体積の微分かな？ 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 04:45:31 ID:LT2FasoV.net] 多様体をユークリッド空間に埋め込んで議論している本は 杉浦　解析入門2 ミルナー　微分トポロジー講義 ギルマン、ポラック　微分位相幾何 以外にありますか？ 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 05:06:33 ID:8QVuUDNk.net] >>903 ワイの>>893 の説明が一番わかり易いから 他は無視してええぞ。 三角定規を置いて、それを山に見立てる。 左側の斜面の長さを x km、 右側の斜面の長さを y km として考えたら、一目瞭然。 964 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 06:09:38 ID:8QVuUDNk.net] ゲームの課金ガチャを引いて、 だいたい、どういう中身が出てくるのかを おおざっぱに紹介する動画を作ろうと思った。 しかし、何個くらい引くのがいいのか分からん。 で、それを一般化すると 以下のような問題に落とし込めたので どなたかお願いします。その数だけのガチャを引いて紹介動画にします。 ・問1.1 全5色のいずれかの色のついた球が 入った巨大な袋がある。 （袋は巨大であり、大量の数の球が入っている） その5色が何色かは分からない。 （ e.g. 例えば、 ｛赤、青、緑、紫, 水色｝ かもしれない) 「袋から球を1つ取り出し、その色を記録し、球を破壊する。 これを繰り返す」 全5色のうち、4色が判明したら終了とする。 4色が分かるまでに、何回の操作が必要か？ （または、何回の操作が必要だと見積もられるか？） ・問1.2 色の数を全100色にして、 100色のうち80色が判明するまで続ける。 その場合は、何回の操作が必要か？ （メモ。 80色が必要なので最低でも80回以上なのは分かるんですが…） 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 06:14:50 ID:UC0vv9cS.net] 5/5+5/4+5/3+5/4 100/100+100/99+‥+100/21 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 07:54:42.82 ID:yR/EvhWJ.net] >>921 5色がどういう割合で入っているのかわかっていないなら計算出来ないと思う 967 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 08:01:20.77 ID:xPi9MVYZ.net] 答えを教えて欲しいです。 １．正常な硬貨を無造作に投げることを2000回続けたとき，表の出る回数の期待度数は1000であることは自明である．それでは，表の出る回数がそこから60回以上ずれる確率を求めよ．なお２項分布の正規分布近似とカイ二乗分布を使う 2.平均がμ=22.0, 分散が未知の正規母集団から大きさ５の標本の特性Ｘの値が 24.3 18.9 23.7 23.0 17.4 であった (i) このとき, 不偏分散U2を求めよ． (ii) F が講義資料第８回目（p.8) の式としたときＦの実現値F0を求めよ． さらに，確率Pr {F >F0}を求めよ． 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 08:06:22.24 ID:hqf5T3vF.net] >>924 ＞F が講義資料第８回目（p.8) の式としたとき 考える気失せる 969 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 08:11:12.21 ID:xPi9MVYZ.net] >>925 すみません。 2の問題は無視して下さい。 970 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 08:19:21.62 ID:8QVuUDNk.net] >>923 完全にランダムであり、同じ確率です。 割合に関しては、各色はいずれも とても大量の個数が、 同じ割合で偏りなく入っています。 大量の個数なので1万や1億個の球は誤差とします、 よって、袋の中の各色の割合は1億個取り出したとしても、 変わらないものとします。 ひょっとして、条件が不足しているのかな。 もしも条件が必要ならば、 「統計的に95%以上の確率で5色のうち4色を出すには、何回の操作が…」 と読み替えてください。 971 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 08:20:39.38 ID:8QVuUDNk.net] >>923 >>927の条件をつければ 計算できると思います。 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 08:22:01.48 ID:UFb6e8CE.net] >>924 バカだろw � 973 名前：ﾁえろ [] [ここ壊れてます] 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 09:07:28 ID:yR/EvhWJ.net] クーポンコレクターの亜種か 975 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 10:37:19 ID:BqvccBWc.net] まぢ意味不 1.10個の球が袋に入っている。このうち3個が赤である。袋から1個取り出したらまた戻す。初めて赤球を取り出すまでにかかった回数をXとする。 (1)P(X=4)を求めよ (2)確率変数Xの平均を求めよ。（公式を使う） 2.10個の球が袋に入っている。このうち6個が赤である。袋から一度に5個取り出したときの赤球の個数をXとする。Xの確率分布表を書きなさい。（例3のようにX=kのとりうる範囲に注意） 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 11:07:50 ID:gyGhnLCq.net] >>931 1.(1) 1~3回目が赤以外かつ4回目が赤。(7/10)^3*(3/10) 1.(2) 使うべき公式とやらが書いてないので、どんな解答を要求されているのかわかりません。 2.P(X=k)=6Ck*4C(5-k)/10C5 で k=0~5 でかけばよい。 977 名前：イナ mailto:sage [2020/07/07(火) 11:39:31.32 ID:BoTxtUvK.net] 前>>918 >>921 七夕🎋なんで五色といえば、 赤、白、黄色、青が緑、黒か紫の５つ。 期待値の問題じゃないかな。 五色の玉が1/5ずつ袋に入っているとして1回目なにを引こうが1色わかる。 2回目2色目がわかる確率は4/5 ３回目3色目がわかる確率の3/5と、 4回目4色目がわかる確率の2/5をかければどうだ。 4×3×2/5^3=24/125 2割弱か。そんなもんだろ。 978 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 11:42:01.50 ID:8QVuUDNk.net] >>933 計算機、スプレッドシートで手計算してみる！ 979 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/07(火) 12:09:13 ID:BoTxtUvK.net] 前>>933 >>921 4(24/125)+5(24/125)(1/5+2/5+3/5)+6(24/125)(…… 7ぐらいまでやればわかるかも。 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 12:14:22 ID:LSsU1iyt.net] 期待値なら即答されてる 981 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 12:16:41 ID:8QVuUDNk.net] アカン、スプレッドシート？が アホすぎて計算ができひん。 動作の軽いプログラミング言語を使った 再帰関数が必要だわ、書ける人は >>921を100色でやってみてほしい。 i 回の繰り返しで、 100色のうち、80色目の色が揃ったら停止させる。 i が いくらの時に80色目が出たか。 そのスクリプトを10周くらい回して、その平均値を教えてクレメンザ。 982 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 12:28:25 ID:8QVuUDNk.net] >>922 が答えなの？ ありがとうございます！ 計算してみました。 式 100/100+100/99+‥+100/21 = 80個の総和 = 1 + 1.01 + 1.02 + ... = 158.9.... ≒ 159 つまり、159回 やったら100色のうち、80色は 確率的には判明するんですね。 ありがとうございます。 ガチャを159回やります。 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 12:34:24 ID:LSsU1iyt.net] いや、だから期待値なら>>922が即答してるよ 期待値の計算を書き込もうと思ってスレ見てみたらすでに書かれてた 確率pで起きることは何回の試行で起きるかという期待値は1/pで与えられる 5色の場合、 1色目は何色でもいいので確率1だから1回で出る 2色目は残りの4色どれかが出る確率が4/5だから5/4回、3色目は5/3回、4色目は5/2回 合わせて1+5/4+5/3+5/2=77/12 5色全部出るまでの期待値はさらに5回 984 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 12:56:15 ID:8QVuUDNk.net] >>922 >>939 サンクス！！ ・5色のうちの4色 6.4 回 ・10色のうちの8色 14 回 ・50色のうちの40色 79 回 ・100色のうちの80色 159回 ・500色のうちの400色 803回 8割の色を出すには、色数 x 1.61 個 ほど 引けばいいようです。 985 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/07(火) 12:59:13 ID:BoTxtUvK.net] 前>>935 ７回。 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:07:49 ID:bx7umG9D.net] >>921 シミュレーションしてみた。 > sim <- function(n=5,m=4){ # n色のうちm色判明� 987 名前：ﾅ終了 + record=NULL # 記録された色 + color=0 # 記録された色の種類 + count=0 # 試行回数 + while(color!=m){ # m色記録されないなら + count=count+1 # １個取り出して + record=unique(append(record,sample(n,1))) # 記録に追加して重複抹消 + color=length(record) # 記録された色の種類 + } + return(count) # 試行回数を返す + } > > mean(replicate(1e6,sim())) # 百万回繰り返して平均を求める [1] 6.414439 > [] [ここ壊れてます] 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:12:25 ID:bx7umG9D.net] >>924 １．　単に足し算して求めた > sum(dbinom(c(0:(1000-60),1060:2000),2000,0.5)) [1] 0.0077771189019787117 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:26:21 ID:bx7umG9D.net] >>924 正規分布近似 > n=2000 > p=0.5 > mu=n*p > sd=sqrt(n*p*(1-p)) > pnorm(1000-60,mu,sd)+pnorm(1000+60,mu,sd,lower=FALSE) [1] 0.0072903580915356404 カイ二乗分布を使うという記述の意味がわからん。 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:31:59 ID:bx7umG9D.net] >>937 > mean(replicate(1e4,sim(100,80))) # １万回繰り返して平均を求める [1] 158.953 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:36:00 ID:bx7umG9D.net] >>945 > n=21:100 > sum(100/n) [1] 158.963786 わりといい線いっている。 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 14:06:09.05 ID:bx7umG9D.net] >>931 (1) 幾何分布なのでdgeo(4-1,3/10) (2) p=3/10 で期待値の公式は1/p=10/3 (3)超幾何分布なので > data.frame(X=0:5,Pr=dhyper(0:5,6,4,5)) X Pr 1 0 0.00000000000 2 1 0.02380952381 3 2 0.23809523810 4 3 0.47619047619 5 4 0.23809523810 6 5 0.02380952381 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 14:26:47 ID:bx7umG9D.net] >>931 百万回のシミュレーション解 bag=rep(1:0,c(3,7)) sim <- function(){ ball=0 count=0 while(ball==0){ count=count+1 ball=sample(bag,1) } return(count) } re=replicate(1e6,sim()) > mean(re==4) # (1) [1] 0.102998 > mean(re) # (2) [1] 3.338686 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 14:35:25 ID:bx7umG9D.net] >>931 ２．のシミュレーション解 bag=rep(1:0,c(6,4)) sim <- function(x) sum(sample(bag,5)) re=replicate(1e6,sim()) table(re)/1e6 1 2 3 4 5 0.024026 0.237994 0.476124 0.238167 0.023689 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 15:40:26 ID:8QVuUDNk.net] >>941-946 みなさん、ありがとうございます。 数行でかけるんですね。 こっちは スプレッドシートを500行 並べて 総和 SUM（A:B） と 総乗 PRODUCT(A:B) して >>940 の値を求めた。 1.61 ？ くらいに漸近するような感じ 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 15:43:24 ID:8QVuUDNk.net] >>950 1.6 あたりに漸近するんだけどさ。 ln (e !) x (a/b) ! = 1.63789 に近づいていくのかな。 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 15:51:31 ID:8QVuUDNk.net] >>921 の問題 >>922 が一瞬で答えてくれた。 色の数n を増やして 実際に計算してみると >>940 のように おおむね 1.6+ あたりへ 漸近していくのが見て取れる 5色のうち4色 → 10億色のうち8億色と 色数を大きくしていくと ln (e!) x (a/b) ! = 1.63789...... に漸近するんかな？ 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 15:56:43.91 ID:8QVuUDNk.net] >>942 すんません。 もっと大きな数 10億色のうち8億色 とか 10兆色のうち8兆色で 計算していただけませんか！ おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる 999 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 16:04:51.88 ID:8QVuUDNk.net] ln (e!) x (a/b) ! ↑ 根拠はないけど、 電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。 全a色の球が入った巨大な袋から、 取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な 試行回数の期待値。 a（およびb）が 非常に大きい整数であれば、 a x {ln (e!) x (a/b) !} 回 � 1000 名前：ﾌような気がする。 [] [ここ壊れてます] 1001 名前：A欄既卒 [2020/07/07(火) 16:20:10.61 ID:8QVuUDNk.net] 大学で 「確率」とか「解析学」を 履修した理系の人たち、いませんか？ >>921 → >>922 で問題は解けて納得したけどさ。 >>940 から俺が閃いた 漸近する値 についてのナゾの式 （>>951 および >>952） の内容は正しいのか？ 間違っているなら、「漸近する値が間違っているぞ」 という反例を挙げて欲しい。 10兆色のうちの8兆色 とかで計算してさ。 1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 16:43:48 ID:bx7umG9D.net] >>940 １０００色までやってみた。 https://i.imgur.com/CSDDMr0.png 線形回帰で係数をもとめたら 1.609356 > # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値 > collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){ + library(gmp) + x=(n-m+1):n + x=as.bigq(x) + y=sum(n/x) + if(print) print(y) + return(asNumeric(y)) + } > collector(5,4) Big Rational ('bigq') : [1] 77/12 [1] 6.416666667 > collector(100,80) Big Rational ('bigq') : [1] 10075468010284923492783367185945796008025/63382159299738615604121644486647548688 [1] 158.963786 > n=1:1000 > r=0.8 > y=sapply(n,function(x)collector(x,round(r*x),print=F)) > plot(n,y,bty='l',col='gray') > lm=lm(y~n) ; lm Call: lm(formula = y ~ n) Coefficients: (Intercept) n -1.941193 1.609356 1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:11:00 ID:bx7umG9D.net] >>955 10億色のうち8億色でやってみた > collector(1e9,8e8,F) [1] 1609437910 １兆でやろうと思ったら > collector(1e12,8e11,F) Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb と怒られたｗ 1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:22:49 ID:wjRMaac8.net] 内田伏一の集合と位相の問題8.7が分かりません。集合Eの巾集合をXとする。写像φ:X->Xが包含関係による順序を保つ写像であれば、Eの部分集合E_0でφ(E_0)=E_0となるものが必ず存在することを示せ。 1005 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:24:30 ID:wjRMaac8.net] E_0をφ(A)⊂Aとなるような全集合の共通部分とします。するとφ(E_0)⊂E_0が成り立つことまでは分かりました。等号が成り立つのはなぜですか？ 1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:43:00 ID:xkZAJeQx.net] φ(A)⊂Aなら φ(φ(A))⊂φ(A) となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。 しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合 1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:53:41 ID:wjRMaac8.net] ありがとうございました。 1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 19:09:06.17 ID:7vxztQCR.net] >>808 の計算 正n角形Sの頂点を　S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)） 正(n+2)角形Tの頂点を　T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))） とおく。 　辺S_{k-1}S_k と 辺T_{k-1}T_k の交点をU 　辺S_{k-1}S_k と 辺T_k T_{k+1} の交点をV とおく。 Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。　↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1}, Vは辺T_k T_{k+1}上にある。　↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1}, U,Vは辺S_{k-1}S_k にある： 　↑u・↑s_{k-1/2} = ↑v・↑s_{k-1/2} = cos(π/n), ここに　↑s_{k-1/2} = (↑s_{k-1} + ↑s_k)/(2cos(π/n)), これを解いて 　L = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)} 　　/ {cos(2(k-1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}, 　m = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)} 　　/ {cos(2(k+1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}, △(U T_k V) = (1/2)UT_k・VT_k sin(∠UT_kV) 　= L m * (1/2)T_{k-1}T_k・T_kT_{k+1} sin(∠T_{k-1} T_k T_{k+1}) 　= L m *△(T_{k-1} T_k T_{k+1}), ここで 　T_{k-1}T_k = T_k T_{k+1} = 2sin(π/(n+2)), 　∠(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = π - 2π/(n+2), より 　△(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = 2{sin(π/(n+2))}^2 sin(2π/(n+2)), 1009 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 19:12:12.43 ID:7vxztQCR.net] >>808 ただし k=(n+1)/2 のときは 　台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))}, 　h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n), 1010 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 19:50:07.32 ID:xkZAJeQx.net] p(a,b) =Σa/(a-k) ≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx =-alog(1-b/a) だから b=[4a/5] でa→∞のとき lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5) かな 1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 19:59:46.44 ID:V0zbgviH.net] 鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？ 1012 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 20:31:00.79 ID:bx7umG9D.net] >>965 昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？ 次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？ 1013 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 21:17:50.33 ID:YXX3xhBe.net] 放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。 C:y=x^2+1 D:x=2y^2+2 このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。 …というような問題で、よくなんの断りもなしに 「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A) と書いているのを見かけます。 チャート式などの受験参考書に見られます。 (A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。 1014 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 23:27:30.77 ID:gyGhnLCq.net] >>967 このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。 論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。 自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。 受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。 ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。 いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。 1015 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 23:27:49.04 ID:UGF9ZM36.net] 分からない問題はここに書いてね461 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/ 1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 01:39:18.47 ID:E7sQrDhL.net] >>962-963 n 面積 ----------------------- 3 1.113653769170520 5 0.397944967183052 7 0.187485749191523 9 0.105399738651839 11 0.066428110136527 13 0.045288462094167 15 0.032681482667606 31 0.006502342848450 63 0.001434131704510 127 0.000336211588037 255 0.000081395165854 n>>1　では　〜 5/n^2 1017 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/08(水) 03:28:31 ID:ODJ2yoWq.net] 前>>941 >>967 C:y=x^2+1 D:x=2y^2+2 y=x^2+1のP(p,p^2+1)における接線をy=2x+aとおくと、 2p+a=p^2+1 p^2-2p-a+1=0が重解を持つためにa=0,p=1 P(1,2)が判明。 PQの式はy=-(1/2)(x-1)+2 x=2y^2+2 =1-2y+2 =3-2y =3-(� 1018 名前：�3-1) =2-√3 Q(2-√3,(√3-1)/2)が判明。 [] [ここ壊れてます] 1019 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/08(水) 04:38:30.25 ID:wpJjzlbG.net] >>956-957 すいません、 私の思いつきは的外れでしたね、 失礼しました。 1020 名前：イナ mailto:sage [2020/07/08(水) 04:53:28.69 ID:CkzpZnuD.net] 前>>971訂正。勇足おわび致す。かたじけない。 >>967 P(1/2,5/4) Q(5/4,1/2) ピタゴラスの定理より、 PQ=√(3/4)^2+(3/4)^2 =3√2/4 1021 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 07:34:45.40 ID:I3BoIViR.net] >>967 思考停止のプログラムでの数値解 > PQ <- function(xy){ + x=xy[1] + y=xy[2] + P=c(x,x^2+1) + Q=c(2*y^2+2,y) + sqrt(sum((P-Q)^2)) + } > > opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder') > x=opt$par[1] > (P=c(x,x^2+1)) [1] 0.6189828 1.3831398 > y=opt$par[2] > (Q=c(2*y^2+2,y)) [1] 2.0814249 0.2017733 > PQ(opt$par) [1] 1.87999 1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 08:08:33.01 ID:E7sQrDhL.net] >>966 ディリクレ(1805〜1859)の死後、明治〜大正時代は 「引きだし論法」だったかも。 1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 08:11:46.16 ID:I3BoIViR.net] >>974 図示しないと気持ちがわるいな。 https://i.imgur.com/Sf54r6U.png x=seq(-2,2,len=100) plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F) y=seq(-2,2,len=100) lines(2*y^2+2,y) points(P[1],P[2],pch=19) points(Q[1],Q[2],pch=19) 1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 08:32:40 ID:0bsbQgCs.net] 正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。 （1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。 （2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。 1025 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/08(水) 08:37:03.05 ID:wpJjzlbG.net] みんな頭いいな。 ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、 ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？ ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？ ちなみに、おれが学生の頃は 旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。 1.5 問くらいしか解けんかったわ。 余裕で予選落ちだ。 1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 09:34:26.90 ID:wuJIFs5H.net] >>977 (1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。 (2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。 1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 10:16:11 ID:XD7Ql8W/.net] C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、 PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である ってどうやって証明できるんだろう？ 1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 11:22:54.39 ID:wuJIFs5H.net] >>980 条件設定が不十分すぎますが、>>967の話でしょうか？ 動点の片方を固定したとき、固定されてないほうの接線がPQに垂直となることを示せば十分ですが 垂直でなければPQを半径とする円と交わるので円の内部の点を取れば最小ではなくなるくらいでよいのではないでしょうか。 1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 11:56:09.02 ID:M5YUn+y1.net] X,Yを全 1030 名前：順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？ なりそうな気がしますがどうでしょうか？ [] [ここ壊れてます] 1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 12:44:39 ID:AhepFBJk.net] 全順序なら自明じゃね f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？ 任意の x, y ∈ X に対して f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、 もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y) これは f の単射性の仮定に矛盾する。 1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 12:56:11 ID:I3BoIViR.net] >>975 鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ 引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。 1033 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 12:58:19 ID:I3BoIViR.net] >>973 赤がイナ芸人の答 https://i.imgur.com/5eWWxGA.png 1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 13:10:57 ID:Pt4pRb+l.net] そういやDirichletのひきだし論法って言い方あるな。 どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？ 1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 14:12:29.85 ID:wuJIFs5H.net] >>980 さすがに>>981ではアバウトすぎた気がするので、もう少し丁寧に書いておく。 点Pは点Qを中心とした半径PQの円Oと曲線Cの共有点であるが、交点ではない（理由は後述）から接点である。 つまり点PにおけるCの接線は円Oの接線でもあるので、半径PQと垂直である。 同様に点QにおけるDの接線もPQに垂直であり、同一の直線PQに垂直な2直線は平行である。 （交点ではない理由） 円Oと曲線Cが点Pで交わると仮定すると、円Oの内部に曲線C上の点をとれることになるがこれはPQの最小性に矛盾する。 1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 14:45:28.68 ID:ljE/4Hhb.net] xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。 点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。 MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。 なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。 1037 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 15:06:41.16 ID:yiO6XJAl.net] lim [t→∞] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = ∞ lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞ 1038 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 15:31:59.19 ID:yiO6XJAl.net] lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) = c - π (√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )' = (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0 1039 名前：イナ mailto:sage [2020/07/08(水) 16:30:51.37 ID:5WH5GGpe.net] 前>>973訂正。 >>967 P(p,p^2+1) Q(2q^2+2,q) PQ^2=(2q^2+2-p)^2+(p^2+1-q)^2 =...... =(2q^2-p^2)^2...... p=q√2のときPQは最小。 PQ^2=8q^4-4(√2+1)q^3+15q^2-2(1+2√2)q+5=f(q)とおき、 f'(q)=32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0 この3次方程式が解ければP,Qの位置は決まると思う。 おおよそP(2/3,13/9),Q(22/9,√2/3)ら辺と考えられる。 1040 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 16:53:00.60 ID:wuJIFs5H.net] >>988 点Mを十分遠くにとればMPをいくらでも大きくできるのでMPの最大値は存在しない。 1041 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 18:16:48.79 ID:I3BoIViR.net] >>981 レスありがとうございました。 図示したらおっしゃることが理解できました。 https://i.imgur.com/b3RRYWW.png 1042 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 18:39:34.25 ID:I3BoIViR.net] >>991 32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0 をWolfram先生に解いてもらいました。 実数解は q　?　0.318819191675181 だそうです 1043 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 19:08:18.21 ID:NoIq/b5Q.net] MではなくOの間違いでした。ABの中点になっているからMだと勝手に思い込んでいまして、すみませんでした。 AP+BPはともかく、∠APBをどうやって 1044 名前：式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。 よろしくお願いします。 【修正】 xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。 点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。 OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。 なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。 [] [ここ壊れてます] 1045 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/08(水) 20:01:55 ID:A4Rmkg0O.net] 前>>991 >>994 q=0.318819191675181として、 P(0.45087842481,1.2329135396) Q(2.20329135396,0.318819191675181) PQの傾きは-0.914094347924819/1.75241292905＞-1/2 1046 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(Thu) 01:42:21 ID:t0ZWB8zx.net] 一辺の長さが1の正四面体Vの重心をGとする。 また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。 （1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。 （2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。 平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。 1047 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(Thu) 02:32:24 ID:XFAfLnLw.net] π/3<a<2π/3 1/4 1048 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(Thu) 07:39:23 ID:dYeNIQef.net] >>996 最短じゃないみたいだよ。 > P=c(0.45087842481,1.2329135396) > Q=c(2.20329135396,0.318819191675181) > sqrt(sum((P-Q)^2)) [1] 1.976492 > (P=c(x,x^2+1)) [1] 0.6189828 1.3831398 > y=opt$par[2] > (Q=c(2*y^2+2,y)) [1] 2.0814249 0.2017733 > PQ(opt$par) [1] 1.87999 1049 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/09(Thu) 08:04:04 ID:lBO5fTHS.net] 問 1. 定規とコンパスがある。 これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…） を作図できるだろうか？ 出来るなら作図の仕方を説明せよ （出来ないならば、それを証明せよ） 問 2. 折り紙がある。 これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…） を作図できるだろうか？ 出来るなら作図の仕方を説明せよ、 （出来ないならば、それを証明せよ） 1050 名前：1001 [Over 1000 Thread .net] このスレッドは１０００を超えました。 新しいスレッドを立ててください。 life time: 51日 8時間 38分 48秒 1051 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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