- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]
- 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3～6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 552 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/22(土) 01:18:59.63 ID:gDsAB6h+.net]
- >>525
素晴らしい
正解です
>>527
不正解
- 553 名前：イナ mailto:sage [2020/02/22(土) 04:04:04.64 ID:XhKI0L4t.net]
- 前>>527
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって放物線を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=1.4789･5
2t-at^2=14.789
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.789
(1+1/√2)t=14.789
t=14.789/(1+1/√2)
=14.789√2/(√2+1)
=14.789√2(√2-1)
=14.789(2-√2)
=8.66319563……(秒)
- 554 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/22(土) 05:31:26.48 ID:E6KJT570.net]
- >>529
不正解
- 555 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/22(土) 12:16:05.82 ID:0VJUtvuH.net]
- イナって小数好きだよね
- 556 名前：イナ mailto:sage [2020/02/22(土) 12:49:16.26 ID:XhKI0L4t.net]
- __∩∩__/__/__/__/__/
_((`.`)_/__/__/__/__/
_(っц~`～っﾞ_/∩∩_/
∥￣￣υ∥￣￣(`) )/
∥＼／∥∥＼／,U⌒ヽ/
__/__/__/__/_(＿＿＿)
__/__/＿/＿/＿/_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/少数……。前>>529
__/__/__/__/__/__/__/
__/__/__/__/__ﾁｭ_/__/
__/_ц~_/__∩∩∩ξ､/
∥￣￣∥∥( (-(`) )/
∥＼／∥∥(`っ,U⌒ヽ/
__/__/__/_ι_(______)
__/＿/＿/＿υυ_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/>>531好きだよ。愛してる。せやて数の大きさが実感できるじゃないか。
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/22(土) 16:04:26.49 ID:InYZG21C.net]
- >>525
左上の頂点Dを極とする極座標ですね。
DP = f(θ) = 5･e^{-(2log2)θ/π} = 5･2^(-2θ/π),
T(f) = (5/2)√{π^2
- 558 名前： + (2log2)^2} = 8.584657992882624266 (秒)
経路は対数らせん。 [] - [ここ壊れてます]
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/22(土) 17:47:24 ID:InYZG21C.net]
- >>529
t秒後の速度と位置を
v = 1 - at,
AP = t - (a/2)tt,
とする。
AD=10(m), ∠PAD = 45ﾟ ゆえ
第二余弦定理より
(DP/10)^2 = 1 - (√2)(AP/10) + (AP/10)^2
≧ 1 - (√2)(AP/10)
= 1 - (√2){t -(a/2)tt}/10,
また
v^2 = (1-at)^2,
題意 (v ≦ DP/10) を満たすために
a = 1/(10√2),
とすると、到達時間は
t｡ - (a/2)t｡^2 = 5√2 = 1/(2a),
より
t｡ = 1/a = 10√2 = 14.1421356 (秒)
となり、止まってしまう････orz
- 560 名前：イナ mailto:sage [2020/02/22(土) 18:37:12.15 ID:XhKI0L4t.net]
- ;;;;;;;;人;;;;;;;;;;
;;;;;;（＿）;;;;;;;;
;;;;;（＿＿);;;;;;;;
;;;;;（＿(`);;;;;;;;
;;;;;（＿_っ┓;;;;;;
;;ε=◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;;;;
ﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝ……。螺旋状に正方形の中心に近づくように泳いだほうがいいな。前>>532標的に対しできれば右回りで、左回りでもいいけどじゅうぶん近づいてから中心に切りこむ。湧水による減速を最小限にとどめるべきだ。
- 561 名前： 【大吉】 mailto:sage [2020/02/23(日) 00:37:59 ID:2zPyHRoL.net]
- 前>>535
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かってまっすぐ直線をt秒間泳ぐと、速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=5√2
2t-at^2=14.1421356
?を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.1421356
(1+1/√2)t=14.1421356
t=14.1421356/(1+1/√2)
=20/(√2+1)
=20(√2-1)
=20･0.41421356……
=8.28427123……(秒)
あれ？ まっすぐ泳いだほうが速いのか。
- 562 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 00:43:44 ID:IKEuiMDY.net]
- >>536
経路も計算も不正解
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 01:52:48.94 ID:6rqZMHpY.net]
- 長さが1の正三角形ABCの辺を単位長さが1オームの導線で結び、
辺AB,BC,CAに中点E,F,Gを取り、EF,FG,GEに対しても同じ導線で結ぶ。
さらに辺BCを共有する三角形EBFと三角形GFCに対しも同様にして辺の中点を取り導線で結ぶ。
この操作を無限に繰り返したとき、AB間とBC間の抵抗値を求めよ。
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 02:59:55.72 ID:D9pzXkW3.net]
- Aから、Dを中心とする半径10mの円周に沿って30ﾟ進む。v=1 (m/s)
20π/12 = 5.235988 (秒)
そこから対角線の交点に向かって y軸方向に直進する。
点(5,y) での速度は v ≦ DP/10 = (1/10)√(25+yy)
T = ∫[5,5√3] (1/v)dy
≧ ∫[5,5√3] (10/DP)dy
= ∫[5, 5√3] 10/√(25+yy) dy
= [ 10 arcsinh(y/5) ](5, 5√3)
= 10 (1.3169579-0.8813736)
= 4.355843 (秒)
これを合計して 9.591831 (秒)
- 565 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 03:04:18.09 ID:IKEuiMDY.net]
- >>539
不正解
- 566 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 03:22:55 ID:eIKUodWL.net]
- イナとかいう計算機にぶち込んで出てきた小数を脳死でレスして毎回間違う意味わからんクソコテ何者だよ
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 04:04:02.45 ID:D9pzXkW3.net]
- >>536
v = 1-at,
AP = t -(a/2)t^2,
より
v^2 - (DP/10)^2
= (1-at)^2 - {1 -(√2)(AP/10) +(AP/10)^2}
= AP(10√2 -200a -AP) /100,
・ここで a = 1/(10√2) なら
v^2 - (DP/10)^2 = -(AP/10)^2 ≦ 0,
v ≦ DP/10 で題意を満たす。
・ところが
1-at｡= 1/√2,
t｡ -(a/2)t｡^2 = 5√2,
と置くと
a = 1/(20√2),
v^2 - (DP/10)^2 = AP(5√2 -AP)/100 ≧ 0,
v ≧ DP/10,
となり、題意を満たさない。
- 568 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 06:49:54 ID:rxwEFURs.net]
- F:R→RはC^2級で以下の条件を満たすとする
・ある定数0<c,Cがあり、c≦F’’(x)�
- 569 名前：�C (x∈R)
・x^2≦F(x) (x∈R)
このとき、min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) }が存在することを示せ. [] - [ここ壊れてます]
- 570 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 09:58:15 ID:rxwEFURs.net]
- >>543
失礼しました修正します
任意のa,b∈Rに対して
min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) ,u(0)=a, u(1)=b}が存在することを示せ.
です
- 571 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/23(日) 10:45:08 ID:2zPyHRoL.net]
- 前>>536
>>538
EA間の抵抗値は1/2[Ω]のはずだが、Eで三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/2)^3/(1/2+1/2+1/2)
=(1/8)/(3/2)
=1/12
になる。
BEの中点からEまでの間の抵抗値は1/4[Ω]のはずだが、BEの中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/4)^3/(1/4+1/4+1/4)
=(1/64)/(3/4)
=1/48
になる。
BとBEの中点の中点からBとBEの中点までの間の抵抗値は1/8[Ω]のはずだが、BとBEの中点の中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/8)^3/(1/8+1/8+1/8)
=(1/512)/(3/8)
=1/192
AB間の抵抗値は、
1/12+1/48+1/192+1/768+1/3072+……)
=(1/3)(1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024+……)
=(1/3){1/(1-1/4)}
=4/9[Ω]
BC間の抵抗値は、
CA間の抵抗値がAB間の抵抗値と同じ4/9[Ω]だから、
推定すると、1/9[Ω]
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 11:22:55.26 ID:6rqZMHpY.net]
- >>545
不正解
- 573 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 11:23:58.21 ID:FPOdVTcq.net]
- イナさん絶好調
- 574 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/23(日) 12:37:29 ID:2zPyHRoL.net]
- 前>>545
>>512
Aから初速1[m/秒]、加速度-a[m/秒^2]で螺旋を描くようにＬ[m]を減速しながらt[秒]泳ぎ、終速1/√2[m/秒]で正方形の中心に到達したとすると、
速度について1-at=1/√2
at=1-1/√2
距離についてt-(1/2)at^2=Ｌ
t{1-(1/2)(1-1/√2)}=Ｌ
t(1-1/2+1/2√2)=Ｌ
t(1/2+1/2√2)=Ｌ
t(2√2+1)/2√2=Ｌ
t=Ｌ･2√2/(2√2+1)
=Ｌ･2√2(2√2-1)/7
=Ｌ(8-2√2)/7
もしも今対数螺旋とかいうＬが、
Ｌ=5･(√2)^eなら、
t=5･(√2)^e･(8-2√2)/7
=9.4762526……(秒)
螺旋泳ぎおっせー。
短距離だからかな。
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 13:12:59.17 ID:x1qWF4GD.net]
- Aから対角線の交点まで直進する。
A付近では加速度aを大きく {a=1/(10√2)} せねばならんが、
そのままａ一定にすると、後半で遅くなり過ぎる。 >>534
制限速度いっぱいで直進すると
v = DP/10
= √{１ - (√2)AP/10 + (AP/10)^2}
= (1/√2)√{１ + (1 - AP/5√2)^2},
T = ∫[0,5√2] (1/v) dAP
= 10 ∫[0,1] 1/√(1+uu) du {← u = 1 - AP/(5√2)}
= 10 [ arcsinh(u) ](u=0,1)
= 10 arcsinh(1)
= 10 log(1+√2)
= 8.81373587 (秒)
2.7%ぐらい遅いが。。。
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 14:18:34.00 ID:x1qWF4GD.net]
- A(0,-10)
B(10,-10)
C(10,0)
D(0,0)
とし、放物線 y = bxx -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから b=1/5.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + (1-bxx/10)^2}
= √{1 - ((20b-1)/100)x^2 + (bb/100)x^4},
ds = √{1+(2bx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2}/√{1 -((20b-1)/100)x^2 +(bb/100)x^4} dx
= 8.6463092 (秒)
0.72%ほど遅い。。。
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 14:56:48 ID:x1qWF4GD.net]
- >>550
3次関数 y = cx^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから c=1/25.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (c/10)x^3]^2},
ds = √{1 + (3cxx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2}/√{(x/10)^2 + [1-(c/10)x^3]^2} dx
= 8.78206166 (秒)
2.3%ぐらい遅い。遠回りし過ぎ？
- 578 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/23(日) 15:15:40 ID:2zPyHRoL.net]
- 前>>548
一辺10[m]のプールのA側の1/4を使って螺旋状に泳ぐべく右蹴り足をやや強く蹴り、左に旋回しながら一周で半径と同じピッチ上がる螺旋の長さのぶんだけ時間がかかると考えて、
ピタゴラスの定理より、
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
=7.95283141……(秒)
最速!!
- 579 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/23(日) 15:39:58 ID:2zPyHRoL.net]
- 前>>552
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって螺旋を描くようにt秒間で7.952813141[m]泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=7.952813141
2t-at^2=15.90
- 580 名前：5626282……
?を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=15.905626282……
(1+1/√2)t=15.905626282……
t=15.905626282(2-√2)
=9.31730016……(秒)
たいして速くない。 [] - [ここ壊れてます]
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 15:44:26 ID:x1qWF4GD.net]
- n次関数 y = d x^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから d=1/5^(n-1).
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (d/10)x^n]^2},
ds = √{1 + [nd･x^(n-1)]^2} dx,
T(n) = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+[nd x^(n-1)]^2} (10/DP) dx
n T(n)
----------------------------------------------------
1 8.8137358702 +2.67% >>549
2 8.6463092000 +0.718 >>550
3 8.7820616603 +2.30% >>551
4 8.9261905925 +3.98%
5 9.0515773221 +5.44%
6 9.1577166076 +6.675
----------------------------------------------------
正解 8.5846579929 >>525 >>533
近似式 (n≧2)
8.584658{1 +0.0182(n-1.62) -0.0007(n-1.62)^2}
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 16:15:53.38 ID:UpuezNYO.net]
- >>512はもう>>525で答え出てるんじゃないの？
- 583 名前：イナ mailto:sage [2020/02/23(日) 16:23:02.86 ID:2zPyHRoL.net]
- √{π^2+(2log2)^2}
水平距離がπ、2πr=πとすると半径r=1/2
ピッチが2log2
──どういうことや？
前>>553ピタゴラスの定理より、螺旋の長さは、
√{π^2+(2log2)^2}
湧水の影響を避け螺旋状に中心に向かって右から旋回しながら中心に至る経路が最速なのはわかる。なんでピッチが2log2と一意に決まるのか。
- 584 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 16:26:55 ID:x1qWF4GD.net]
- 訂正
n次関数 y = d･x^ｎ -10 でした。
n→∞ のときは直角に近づく。
横： A(0,-10) → (5,-10)
DP = √(100+xx),
∫[0,5] (10/DP)dx = 10∫[0,5] 1/√(100+xx) dx
= 10 [ arcsinh(x/10) ](x=0,5)
= 10 arcsinh(1/2)
= 10 logφ {φ=(1+√5)/2=1.618034}
= 4.8121182506 (秒)
縦：(5,-10) → X(5,-5)
DP = √(25+yy),
∫[5,10] (10/DY) dy = 10∫[5,10] 1/√(25+yy) dy
= 10 [ arcsinh(y/5) ](y=5,10)
= 10 {arcsinh(2) - arcsinh(1)}
= 10 {log(2+√5) - log(1+√2)}
= 10 (1.443635475 - 0.88137358702)
= 5.6226188816 (秒)
これを合計して
T(∞) = 10 log{(2+√5)(√2 -1)φ} = 10.4347371322 (秒)
- 585 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 16:56:24.49 ID:eIKUodWL.net]
- 円卓の席に座る方法を考える。
4人席の場合、既に着席している4人が1,2,3,4と書かれたくじを引いて、反時計回りに1,2,3,4と並ぶように座り直すことにする。1の席が固定されているということはない。
すると、どのようにくじを引いたとしても高々2人の移動で済むことが簡単な考察で分かる。
では一般にn席あって着席済のn人が1,2,…,nと書かれたくじを引く時、移動しなければならない人は高々何人だろうか？
- 586 名前：イナ mailto:sage [2020/02/23(日) 17:55:09.17 ID:2zPyHRoL.net]
- 前>>556
>>558
4人いたら2人移動。
5人いたら3人移動。
n人いたら、
高々n-2人移動すれば半時計回りに番号順に並べると思う。
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 18:33:17.01 ID:SsuGIXB0.net]
- >>558
n人が『時計回りに』1,2,…,nの番号を引いた場合、
動かずに済む人数は、nが偶数の時2人、奇数の時1人となる。
また、どのようにくじを引いても1人は動かずに済むことから、
nが奇数の時の答えはn-1人であることがわかる。
nを偶数とし、Z/nZ上の任意の全単射fをとる。
g(x):=f(x)-x もZ/nZ上の全単射を与えていると仮定すると
Σ_(x∈Z/nZ) g(x) = Σ_(x∈Z/nZ) f(x) = Σ_(x∈Z/nZ) x = n/2 + nZ
となるが、これは
Σg(x) = - Σx + Σf(x)
と矛盾。ゆえにgは全単射でない。
�
- 588 名前：ｵたがって、f(x)-f(y)=x-y を満たす異なる x,y∈Z/nZ が存在。
以上の考察から、n人がどのようにくじを引いても、2人は動かずに済む。
よって、nが偶数の時の答えはn-2人。 [] - [ここ壊れてます]
- 589 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 23:22:59 ID:UpDOmukV.net]
- >>560
素晴らしい
- 590 名前：哀れな素人 [2020/02/24(月) 10:25:37 ID:Rt+v/L/g.net]
- 以前、たしかこのスレに、
円に内接する多角形を三角形に分割したとき、
どのように分割しても、
それらの三角形の内接円半径の和は一定である、
という問題があったが、四角形の場合の証明が分った。
円に内接する四角形を、右上から左回りにABCDとし、
各辺をAから左回りにa、b、c、dとする。
円の中心Oからa、b、c、dに下ろした垂線をe、f、g、hとし、
対角線AC、BDに下ろした垂線をi、jとする。
また円の中心Oは△ABC、△BCDの外にあるとする。
また外接円半径をR、
△ABC、△ACDの内接円半径をr1、r2
△BCD、△ABDの内接円半径をr3、r4とする。
するとカルノーの定理により、
e+f-i=R+r1、g+h+i=R+r2 ⇒e+f+g+h=2R+r1+r2
f+g-j=R+r3、h+e+j=R+r4 ⇒e+f+g+h=2R+r3+r4
∴ r1+r2=r3+r4
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/24(月) 10:42:38 ID:/4cfnoQR.net]
- それ日本の定理っていう名前がついてるやつか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/24(月) 10:50:29.59 ID:GWc2cyTj.net]
- へぇ、そんな名前がついてるのか。
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/24(月) 16:44:00.49 ID:Gb7vk4DT.net]
- >>557
楕円 y = -√(100-kxx) に沿って進む。
対角線の交点X(5,-5) を通るから k=3,
v = DP/10
= (1/10)√{100-(k-1)xx},
dy/dx = kx/√(100-kxx),
ds = √{(100+k(k-1)xx)/(100-kxx)} dx,
T = ∫(1/v) ds
= 10∫[0,5] (1/DP)(ds/dx)dx
= 10∫[0,5] √{(100+k(k-1)xx)/((100-kxx)(100-(k-1)xx))} dx
= 8.6698357840
0.992%ほど遅い。
近似式
T(n) = 10.434737 - 4.8644/n^0.6 + 3.2450/n^1.2
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/24(月) 22:47:05.10 ID:Gb7vk4DT.net]
- この式は n=1.61693 の辺りで極小値 8.61175 となる。(0.315%遅い)
この辺が曲線 y = 5(x/5)^n -10 に沿って進む場合の限界かな～
- 595 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 13:34:37.50 ID:xlZ4iTwN.net]
- https://matome.naver.jp/odai/2142193955410363201
Naver まとめ
おもしろく、素敵で、考えさせられる、大学入試問題 519gugさん 2015年01月23日
最も短い入試問題 （京都大学編）
tan１°は有理数か。
2006年 京都大学 後期 理系 第6問
超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。
出典
mathtrain.jp/tan1
- 596 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 14:05:48.96 ID:WMW0bPzH.net]
- >>567
>ほとんどの受験生が解けなかった
なんで？加法定理は有理式じゃん
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/25(火) 14:13:38.29 ID:INCWFL/L.net]
- 京都の後期受ける人ならみんな解けそうだけどな
- 598 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 14:56:45.78 ID:1YFg5R8p.net]
- >>567
tan１°が有理数であるならばtan30°も有理数で矛盾
- 599 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 15:26:52.86 ID:0KQ2py8l.net]
- 4Dエンジンを作った。
回転する4Dの超立方体のサンプルが付いている。
画像とソースコードは：
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3677-0
- 600 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 20:20:32 ID:9H9AGGze.net]
- そういう知識の活用ができる人は少ないって事でしょう
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/26(水) 21:29:35.91 ID:3UGv2jT6.net]
- 正の有理数
- 602 名前： x,y,z は xyz=1 を満たし、自然数 a,b,c と
a=12x(y+1),b=12y(z+1),c=12z(x+1)
の関係がある。
a+b+c の値が 100と最も近いもの および、1000 と最も近いもの、および、10000 と最も近いものを見つけよ。 [] - [ここ壊れてます]
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 02:03:08.51 ID:f9GfmhOJ.net]
- 1=144/(ab)+144/(bc)+144/(ca)+3456/(abc)
以下ry
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(Thu) 17:00:07 ID:5cc8+UEj.net]
- (tan(x))^2が有理数となるxを決定せよ。
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 18:49:07.28 ID:hxZioUH7.net]
- 訂正
(tan(π/n))^2が有理数となる自然数nを決定せよ。
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 20:16:26.22 ID:6SmBw6gg.net]
- >>570
tan(30ﾟ) が有理数でないことを示すには
sin(30ﾟ) = s とおく。
1 = sin(90ﾟ) = 3s -4s^3,
(s+1)(2s-1)^2 = 0,
s≠-1 だから s=1/2,
tan(30ﾟ) = s/√(1-ss) = 1/√3,
1/√3 が有理数でないことを示せばよい。
1/√3 が有理数だったと仮定すると
1/√3 = p/q (p,qは自然数)
q^2 = 3p^2,
ここで両辺を素因数分解すると
左辺の3の指数は偶数(または0)、右辺の3の指数は奇数
となって UFD に反する。 (矛盾)
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 20:29:00.81 ID:6SmBw6gg.net]
- >>575
{ sign(q)･arctan(√|q|) + nπ | q∈Q, n∈Z }
かな
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 00:09:34.34 ID:6+sDQgwJ.net]
- 和を1/2に保ちながらエジプト分数の項数を二倍に増やす
1/2=1/3+1/6=1/4+1/10+1/12+1/15=1/5+1/14+1/20+1/21+1/24+1/28+1/35+1/40=
1/6+1/18+1/30+1/30+1/33+1/36+1/44+1/45+1/60+1/65+1/63+1/70+1/77+1/84+1/88+1/104=
1/7+1/22+1/39+1/42+1/42+1/52+1/55+1/60+1/66+1/70+1/85+1/90+1/99+1/112+1/117+1/119+
1/126+1/126+1/130+1/133+1/144+1/152+1/154+1/165+1/168+1/170+1/198+1/204+1/209+1/228+1/234+1/273=1/2
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 09:17:13.90 ID:gtbRddYz.net]
- 有理数rに対して、rを約分しきった時の分子と分母の積をh(r)とおく。
ある実数xについて tan(x)^2=p/q (p,q>0 は互いに素な整数) が成り立っていると仮定すると、tan(2x)^2=4pq/(p-q)^2.
(i)p,qのうち片方が0でない偶数の時、もう片方は奇数であるから p-q は奇数。
ゆえに、4pq と (p-q)^2 は互いに素であるから
h(tan(2x)^2) = 4pq(p-q)^2 > h(tan(x)^2).
(ii)p,qの両方が奇数でありかつ少なくとも一方が5以上の時、4pq と (p-q)^2 の最大公約数は4.
したがって、h(tan(2x)^2)=(1/4)pq(p-q)^2.
仮に h(tan(x)^2)≧h(tan(2x)^2) が成り立っているならば、|p-q|=2 より tan(2x)^2=pq.
(p≧5 または q≧5) かつ |p-q|=2 より、pとqのどちらも3以上であるから、|1-pq|>2.
ゆえに、h(tan(4x)^2) = (1/4)pq(1-pq)^2 > pq = h(tan(x)^2).
以上の議論から、tan(x)^2=p/qが(i)と(ii)のどちらかの条件に当てはまるならば、
数列 {tan(2^n･x)}_(n≧1)
- 610 名前：は周期的にならない。
一方、xがπの有理数倍の時はこの数列が必ず周期的になるので、
x/πとtan(x)^2の両方が有理数になるのは tan(x)^2=0,1/3,1,3 の時のみ。
これは x/π-n = 0, ±1/6, ±1/4, ±1/3 の場合に相当。 [] - [ここ壊れてます]
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 10:52:23 ID:TIr8ReLJ.net]
- >>580
正解です。
中々面白い解答で素晴らしい。
想定の解答は
(tan(mπ/n))^2 が有理数でm,nが違いに素ならQ(tan(π/n))はQの2次拡大なのでこのようなnを決定すればよい。
cos(2π/n)∈Q(tan(π/n)、[Q(cos(π/2):Q]=φ(n)/2 (n≧3) なのでφ(n)≦4が必要。
よってn=1,2,3,4,5,6,8,10,12が必要。
以下ry
でした。
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 20:04:08.62 ID:yyQ2syhj.net]
- (tan(2π/n))^kが有理数となる自然数n,kを決定せよ。
- 613 名前：イナ mailto:sage [2020/02/28(金) 22:04:49.54 ID:TMuPrCsw.net]
- 前>>559
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＲ
- 614 名前：イナ mailto:sage [2020/02/28(金) 22:09:53.42 ID:TMuPrCsw.net]
- 前>>583訂正。有理数の記号はＱでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＱ
- 615 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/29(土) 02:12:36 ID:Bn4PpVB4.net]
- 前>>584訂正。自然数の記号はＮでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＮに対して、
与式=1^k=1эＮ
∴n=8のとき、kは任意の自然数。
n≠8のとき、k=0
もっとありそうな感じがする。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 13:04:11 ID:fSHRQCgW.net]
- >>582の確認。
こんなの感でも答えはtan(2π/n)=1、またはk≦2のときに限られるのはわかります。
題意はそれを証明しなさいです。
すなわち
(tan(2π/n)^kが有理数となるのはtan(2π/n)=1、または(tan(2π/n)^2が有理数の場合に限る事を 証 明 せよ。
です。
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 16:36:14.05 ID:3cJe9Ye6.net]
- K:=Q(tan(2π/n))⊂Q(e^(2πi/n)) より K/Q はアーベル拡大であるから、
tan(2π/n)^k=p/q において k=2 とできなければならない。
あとは>>580と同じ…というのは飛ばし過ぎだろうか
- 618 名前：イナ mailto:sage [2020/02/29(土) 18:11:59.79 ID:Bn4PpVB4.net]
- 前>>585
1+tan^2θ=1/cosθより、
tan^2θ=1/cosθ-1
tanθ=√(1/cosθ-1)
θ=2π/nとして、
tan(2π/n)=√{1/cos(2π/n)-1}
tan^k(2π/n)={1/cos(2π/n)-1}^(k/2)
n=1のとき、
tan^k(2π)={1/cos2π-1}^(k/2)
0=0^(k/2)
kは任意の自然数。
n=2のとき、
tan^kπ={1/cosπ-1}^(k/2)
1^k=(-2)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
n=8のとき、
tan^kπ/4={1/cos(π/4)-1}^(k/2)
1=(√2-1)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
∴n=1,kは任意の自然数。
もしあってたとしても、どこが面白いかはわからない。
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 19:45:46 ID:GgyIebsL.net]
- >>587
まぁそれがほぼ想定解です。
しかしさすがに飛びすぎ。
実数tにおいてある自然数kにおいてt^kが有理数、かつQ(t)がQ上のアーベル拡大のときt^2が有理数である事を示せ。
です。
- 620 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 06:37:29.57 ID:+B38pBXy.net]
- 正方形の一辺の垂直二等分線を定規のみで作図せよ
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 08:54:32.79 ID:vlQ4BnF6.net]
- >>590
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)を4頂点とする。
E(a,0) (0<a<1/2) を適当にとる。
直線AC∩直線BD=F(1/2,1/2)∈S
直線DE∩直線AC=G∈S
直線BG∩直線AD=H(0,a)∈S
直線AH∩直線BC=I(1,1-a)∈S
直線EI∩直線CD=J(1+a,1)∈S
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S
この時□AEJCと□KACLのそれぞれの対角線の交点を結べば良い。
- 622 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 09:03:43.81 ID:zJUT57J7.net]
- 最近面白い問題がないな
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 09:20:09.03 ID:g3yGUOWL.net]
- >>589はダメ？
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 10:48:21.70 ID:YZSiuLon.net]
- じゃあまた投稿者には未解決だけど一�
- 625 名前：ﾂ
任意の複素数係数多項式 F∈C[x] について、次を満たす f,g,h∈C[x] は存在するか：
F(x) = f(x)^3 + xg(x)^3 + (x^2)h(x)^3 [] - [ここ壊れてます]
- 626 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/01(日) 14:45:50 ID:Yhf86Vyf.net]
- /∥__∥ □ ∥ |ﾟ○。
|∩∩∥ ｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`e) [￣]∥(`) )ﾟ
(￣,`っ｢￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ >>590正方形の対角線の交点は垂直二等分線が通る。前>>588あともう一点、垂直二等分線上の点が必要。定規にシャーペンを固定してコンパスみたいに回したらどうかな。
- 627 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 19:04:19 ID:+B38pBXy.net]
- >>591
直線AH∩直線BC→ 直線FH∩直線BC
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S → K(-a,0)
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S → L(1-a,1)
ということかな？
平行四辺形二つ作って刺す感じですか
なるほど正解です
想定していた解法はチェバを使うものでした
- 628 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 19:07:53 ID:+B38pBXy.net]
- >>595
ここでいう「定規」とは以下の能力しか持たない抽象的な道具です
・与えられた二点を結ぶ線分を引く
・線分を延長する
また、点とは「線と線の交点」、「線分の端点」のことを指します
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 20:05:10.17 ID:b16SM21O.net]
- >>596
チェバの解放ﾌﾟﾘｰｽﾞ
- 630 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 20:18:55.24 ID:fSBfHqBl.net]
- >>598
https://i.imgur.com/l0toryy.png
- 631 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 20:19:30.63 ID:fSBfHqBl.net]
- >>599
この要領で対辺にも中点を作ってそれらを結べばよい
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 20:21:51.07 ID:b16SM21O.net]
- >>599
なる
thx
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 21:38:30.26 ID:YZSiuLon.net]
- ユークリッド平面上に三点(-1,0),(0,0),(1,0)だけが作図されている状態から、
任意の有理数rについて点(r,0)を作図できることを示せ。
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 21:38:59.87 ID:YZSiuLon.net]
- >>602
すまん、定規だけで。
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 23:14:20.87 ID:i2VXPeIF.net]
- >>602
補題1
A1,A2,A3が同一直線上にこの順に等間隔に並ぶとき、この直線上の点A4をA1,A2,A3,A4が等間隔に並ぶようにできる。
∵)Pを直線外にとり線分PA2上にQを任意にとる。
PA1とQA3の交点をB1、PA3とQA1の交点をB3とすればB1B3//A1A3となる。
同じ手順をQを取り替えて行えばさらに線分PB1上のC1と線分PB3上のC3をとってB1B3//C1C3とできる。
C1C3とPA2の交点をC2とすればC2B3とA1A3の交点が求めるA4である。□
補題2
A1A2と線分PA1上のB1とPB2上のB2においてB1B2が平行でA1ある時A1とA2の中点がとれる。
∵)A1B2とA2B1の交点をQとする時、PQとA1A2の交点が求める中点である。□
補題3
n≧1と補題1の設定の元にA1A2を1:2^(n+1)-2に内分する点Xと2:2^(n+1)-3に内分する点Yがとれる。
∵)Pを直線外心に任意にとる。
補題1によりA1A2を2^n:2^n-1に外分する点Qがとれる。
Rを線分PA1上に任意にとりQRとPA2の交点をSとする。
A1SとA2Rの交点をTとしPTとA1A2の交点をUとすればUはA1A2を2^n:2^n-1に内分する点である。
補題2により中点を取る操作を何度もくりかえせばXとYが得られる。□
定理
補題1の設定の元に任意の1未満の正の有理数tに対しA1:A2をt:1-tに内分する点がとれる。
∵)t=a/bとなる自然数をとる。
補題2によりbが奇数の時しめせば十分である。
自然数nを2^n-1がbの倍数であるようにとれる。
この時2^n-1=bcとおけばa/b=ac/(2^n-1)であるから補題1,補題3により可能である。□
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 00:25:47.44 ID:OADBUKH6.net]
- >>604
わあすごい、お見事
想定していた流れは
・y=0 以外でy軸に平行な直線Lが作図可能。
・全ての整数nについて点(n,0)は作図可能。
・ゆえに、直線L上に、任意に長い等差点列を作図可能。
・任意の整数n,a>0,b>0について、二点(n,0),(n+1,0)をa:bに内分する点を作図可能。
最後のは、例えば直線Lが y=√2 で表され、なおかつ全ての点 (e+πm,√2) (m∈Z) が作図できたとして、
二点(n,0),(e,√2)を結ぶ直線と二点(n+1,0),(e+π(a+b),√2)を結ぶ直線の交点をPとおけば、
二点P,(e+πa,√2)を結ぶ直線とy=0の交点が求める点になる。
- 637 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 01:12:21 ID:qc9vWQ77.net]
- 簡単かもしれないけど
“円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形である事”
を初等幾何で証明できますか
まあ解ける人はサクッと解けるのだろう
- 638 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/02(月) 04:25:07 ID:6RLywf+z.net]
- 前>>595
>>590あ、わかった！
正方形を折り紙みたいにぴったり半分に折ればいいんだ。
で、その折り目に沿って定規で線を引く。
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 04:35:43 ID:0ORHzB3W.net]
- >>606
△ABC = (1/2)AB･CH
ここで CHは、頂点Cと直線ABの距離。
2頂点 A,B を固定し、中心Oから辺ABに垂線を下ろす。
垂線と円周の交点をX1,X2とする。
辺ABも、X1, X2 で引いた接線も、直径X1-X2 に垂直だから互いに平行。
円周は、この2本の接線の間にある。
Cがこの円周上を動くとき、 △ABCが最大になるのは CH が最大のとき。
すなわち Cが、2つの接点Xのうち ∠AXB が鋭角の方であるとき。
このとき AC=BC
A,B,Cを入れ替えても同様だから、正三角形。
- 640 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 04:41:31 ID:hCgOeWjY.net]
- >>606
△abcは円周上の相異なる三点から作られる三角形で、それらのうちで面積最大であるとする
いま、△abcが正三角形ではないと仮定し、abとbcの長さが異なるとする
するとacの垂直二等分線かつ円上のbのある側に点dがあり、△adc>△abcで矛盾
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 05:30:18.06 ID:0ORHzB3W.net]
- >>590
正方形S内の作図でも可能でした。
>>591 のあと、対角線BDに平行な線分EHを作ります。←これがミソ
線分EH ∩ 線分AC = M(a/2,a/2)
線分EF ∩ 線分BM = N(3a/{2(1+a)}, a/{2(1+a)})
直線AN ∩ 線分BC = P(1,1/3)
直線AN: y = x/3,
あとは簡単ですね。
ABCDが長方形のときも全く同じ。
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 05:43:17.17 ID:0ORHzB3W.net]
- >>609
ab≠bc から △adc > △abc を出すのはどうやるんでつか？
- 643 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 08:47:16 ID:r89pIk8E.net]
- >>607
「定規」とは>>597にある能力しか有しません
しがたって「折り目に沿って線を引く」という能力はありません
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 08:47:58 ID:0FXGIEti.net]
- >>602 関連
二点が与えられたときに中点を定木だけで作図はできない
証明ってどうやるんですか？
- 645 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 09:20:20 ID:hWkBRJKb.net]
- >>613
2点しかないんだったらできることはその2点を通る直線を引くことだけ
あと適当に引いた直線はその2点とは全く独立だから結論に何も役立たない
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:13:43.44 ID:pl+0uhr1.net]
- >>613
定規だけが使える状況では、与えられた二点の中点が作図できることは、
与えられた二点を通る直線と平行な直線が作図できることと同値になりそうだ
しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
別のある特定の点が作図できてしまうんだからな
- 647 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 10:19:13 ID:hWkBRJKb.net]
- >>615
>しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
>別のある特定の点が作図できてしまうんだからな <
- 648 名前：br> コンパスもあれば2次方程式を解けるということが重要
定規だけでは何も出来ない [] - [ここ壊れてます]
- 649 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 10:28:23 ID:hWkBRJKb.net]
- n点与えられているときに定規で出来ることは
そのn点から2点取って直線を引き
その交点も含めて点の個数を
n(n-1)/2(n(n-1)/2-1)/2=(n+1)n(n-1)(n-2)/8
に増やすことだけ
これを繰り返して点をいくらでも増やせるが
それだけ
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:30:20 ID:pl+0uhr1.net]
- とは言え等間隔な三点が与えられたら、602の通りに実際『何かができた』わけだからなあ…
定規だけを使った作図に何ができて何ができないのか、という問いに正確に答えようとしたら、
それは中々自明でない問題な気がする
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:38:11 ID:0FXGIEti.net]
- ２点をm:nに内分(外分)する点を与えたらm:nに外分(内分)する点は定木だけで作図できる
けど中点は無限遠点になる。。
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:48:01 ID:0FXGIEti.net]
- よく知らんけどもしかして平行線公理の独立性ってやつ？
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