- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]
- 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3～6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 19:46:52.71 ID:yBFcK3Lr.net]
- >>273
訂正
lim(n-e(n))/log(n)
です。
- 286 名前：イナ mailto:sage [2020/02/11(火) 02:59:50.00 ID:EsKbfXIQ.net]
- 前>>261
>>271卒業できる確率は、
8(4/23)+12.8(20/99)+(3400/99)(4/13)+(180/13)(5/14)+(125/7)(10/23)+(1300/23)
=83.7751427……(％)
在学年数の期待値は、
6(16/83.7751427……)+7{(83.7751427-16)/83.7751427}
=6.80901256(年)
退学になる確率は、
100-83.7751427……
=16.2248572……(％)
退学者の在学年数の期待値は、
1(10/125)(16/115)+2(10/125)(34/115)+3(/)+4(/)+5(/)+6(/)+7(/)もう少し。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 08:57:04.35 ID:W39lcV+G.net]
- >>275
現実世界の計算しにくい問題にも関わらずレスありがとうございます。
面倒な計算を誤答をものとのせず続けられる気力にはいつも関心します。揶揄ではありません。
で、いつもの通り、用意した答とは違います。
自作問題ですが、シミュレーション値と合致した理論値が出せました。場合分けが面倒なので場合分けもプログラムにさせました。
シミュレーションは指定の確率で乱数発生させて計算させました。
ほぼ一致する値でした。
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 09:56:58 ID:5Rrv77pM.net]
- >>276
補足
シミュレーションでの結果は以下の通り
> mean(RE[,2]==7) # 卒業確率
[1] 0.85482
> mean(RE[RE[,2]==7,1]) # 卒業までの在学年数
[1] 6.712606
> mean(tu(RE[RE[,2]==7,1])) # 卒業までの学費
[1] 52304621
> mean(RE[,3]==2) # 退学確率
[1] 0.14518
> mean(RE[RE[,3]==2,1]) # 退学までの在学年数
[1] 4.99139
> mean(tu(RE[RE[,3]==2,1])) # 退学までの学費
[1] 40204472
q=1-p # 留年確率,p=進級確率
(P=prod(1-q^2)) # 卒業できる確率 Π{1 - (2年連続留年確率)}
(Q=1-P) # 退学となる確率
の結果と近似しています。
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 10:08:53
]
- [ここ壊れてます]
- 290 名前：.30 ID:1ttWTA4N.net mailto: >>273
クラスの児童には1からnまでの番号が、座席には0からn-1までの番号がついていて、
座席に座る操作は番号が大きい順に行うものとする。
ここで座席に座る操作とは、自分の番号に一致する席が空いていればそこに、
空いてなければ空席のどこかにランダムに座る動作を言う。
この時、自分の番号が座席と違うような児童の人数の期待値をe'[n]とおく。
n-eとe'の計算で唯一異なる点は、座席番号0とnの違いにより生じるもののみ。
この違いが影響するのは、最初に番号nの児童が0の座席に座る場合のみであるから、
n-e[n]=e'[n]-1/n.
最初に児童nが座席m(<n)に座った場合、次にランダム性が生じるのは児童mが来た時であるが、
その時点で残りの児童は1からm、残りの座席は0からm-1であるから、
これはm人の児童とm個の座席で行う試行と一致。
（ただしn=0の時の試行は"何もしない"ことと定める。つまりe'[0]=0. ）
ゆえに、次のような漸化式が立てられる。
e'[n]=1+(1/n)Σ_(m=0,n-1)e'[m]
これより
ne'[n]-n = (n-1)e'[n-1]-(n-1) + e'[n-1]
から
e'[n] = Σ_(m=1,n) 1/m
が導かれ、求める極限値は1と計算できる。 [] - [ここ壊れてます]
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 11:06:18.93 ID:zI9vXMIC.net]
- >>278
正解です。
想定解答は>>222と一緒。
最後からk番目の生徒が正しい席に座れたとき0、そうでないとき1をとる変数をXkとする。
k:1～n-1のとき
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
= (最初の生徒が最後からk番目の席以外に座る|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
=k/(k+1)。
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が2番目の席から最後からk-1番目の席に座る)=k/(k+1)
(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)。
∴ p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる)=k/(k+1)。
∴E(Xk)=1/(k+1)
明らかにE(Xn)=(n-1)/n
∴n-e(n)=Σ[k:1～n-1]1/(k+1)+(n-1)/n～log(n)。
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 14:17:21 ID:7sbhOFJk.net]
- オリジナルですが答えはありません。ただ気になったので投稿します
実数の配列 a[i,j] (i,j∊Z) が全ての格子点(i,j)で 4a[i,j]=a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1] を満たす時、aを調和配列と呼ぶことにする。
次を満たす実数α≧0の下限はいくらか：
調和配列aが任意の格子点Xについて |a[X]|≦|X|^α を満たすならばaは定数である。ただし、|X|は点Xの原点からの距離を表す。
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 14:23:06 ID:j1jqA7X+.net]
- >>280
違う、上限でした
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 14:58:24 ID:5Rrv77pM.net]
- 卒業できる確率 ： 4750970704397512 / 5551115123125783 = 0.85585879575891107187420816324627437826646454687092053
退学の確率 ： 800144418728271 / 5551115123125783 = 0.144141204241088928125791836753725621733535453129079468759
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 16:55:37.06 ID:CVYz5IRs.net]
- 単位円上の2n個の点A1,B1,‥,An,Bnを一様独立に選び円盤をn個の線分線分A1B1,‥,AnBnで分割するとき、できる小領域の個数の期待値を求めよ。
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 00:29:09.72 ID:Q6IpDgid.net]
- >>280
とりあえず今のところこのスレでは>>240さんの証明しか上がってない。
この方針でいくなら非負実数αが条件
Σ(c(p+2,q)-c(p,q)|(|p|+|q|}^α→0 (n→∞)‥‥(※)
が成り立つならそのαは>>280の条件をみたしたりしないかな？
まだ>>240が完全に理解できてはいないからわかんないけど。
もし(※)を満たす非負の実数が0しかないなら今んとこαを改善できる見込みあるレスは上がってないな。
- 297 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 02:21:36.56 ID:hcOGUVCg.net]
- 前>>275
>>283
n=1のとき2(個)
n=2のとき、
3(1/2)+4(1/2)=3.5(個)
n=3のとき、
4(1/8)+5(1/8)+6(1/4)+7(1/2)=(9+12+28)/8
=6.125(個)
n=4のとき最大11個、最小5個
5(1/64)+6(1/64)+7(1/32)+8(1/16)+9(1/8)+10(1/4)+11(1/2)
=(5+6+14+32+72+160+352)/64
=10.015625(個)
n=5のとき最大16個、最小6個
=(6+7+16+36+80+176+384+640+192+1280+512+2560+1280)/1024
=(7149+8192)/1024
=15341/1024
=14.9814453……
n=6のとき、最小7、最大22
7(1/2)^15+8(1/2)^15+9(1/2)^14+10(1/2)^13+11(1/2)^12+12(1/2)^11+13(1/2)^10+14(1/2)^9+15(1/2)^8+16(1/2)^7+17(1/2)^6+18(1/2)^5+……+22(1/2)
n本の直線で分割した領域の個数の期待値は、
(n+1)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+2)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+3(1/2)^{n(n-1)/2-1}+……+{n(n+1)/2+1}(1/2)
ブロックくずしのように簡単になるのか、lim[n→+∞]に飛ばすのか、通分か。
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 04:10:08.56 ID:1Q0cdG25.net]
- 毎度思うけど思考過程をレスするの何？
〇〇となり……ああ違うか。みたいなの誰も求めてないし数学の試験でそんなこと書くか？
ちゃんとオフラインで答えに辿り着いてからそれを纏めて書けよ
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 07:34:56 ID:eWvaFFv2.net]
- >>285
n=1のときだけは正解です。
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 10:02:20 ID:EmPEyxMI.net]
- 日本数オリ本選の問題が出ました
https://i.imgur.com/Ub5tYCW.jpg
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 10:17:58 ID:2Z9zzZPK.net]
- >>284
(※)は使えそうですね
実際には Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|=2Σc[0,q] の値は積分を使って
C(1+o(1))/√n (as n→∞, ただし定数Cはabsolute) となることが計算できるので、
|Σ(a[0,0]-a[2,0])|
≦Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|(|p|+|q|)^α
≦C(1+o(1)) ･ n^(α - 1/2) (∵|p|+|q|>n の時に係数が0となるため、|p|+|q|≦n の範囲で和をとれば良い)
という評価が得られます。
a[0,0]とa[2,0]の差以外にも同様のことが言えるので、結局 α<1/2 は条件を満たすことが導けると思います。
ちなみに一方で a[i,j]:=i (∀(i,j)∈Z^2) という例から、α≧1は条件を満たさないことがわかります
- 302 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 14:44:38.94 ID:hcOGUVCg.net]
- 前>>285え？ >>283n=2のとき違うの？ なんで？ クロスする確率とクロスしない確率は1/2ずつじゃないのかい？
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､∥
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川 `
（ (`)∥ ∥цc_)＼
（っ⌒⌒ ｡∥＼____/
■`(_)_)ц~ ∥､∥__∥
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 15:08:05.33 ID:IJFWAL+A.net]
- >>200
ヒント。
ホントは積分で求めるんだけど裏技。
まず4点選ぶ。
後でどれをA1B1A2B2と割り振るか決める。
- 304 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 16:25:29.15 ID:U1ltP3xX.net]
- 点O中心の半径1の円の内部に点Oと異なる点Aを取る。
半直線OA上にOA・OB=1なる点Bを取る。
円周上に点P,Qを、直線PQに関して点O,A,Bが同じ側に来るように任意に取る。この3点はいずれも直線PQ上に無い。
直線PQに関してAと線対称な点をDとする。
△PBD∽△OBQを示せ。
- 305 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 16:45:23.52 ID:2rGgcqMY.net]
- >>283
四点A1,B1,A2,B2の偏角を小さい順に並べると1122,2211,1221,2112,1212,2121の六通り
このうち、先の四つは線分が互いに�
- 306 名前：墲轤ﾈい場合であり、後の二つは交わる場合である
つまり、ランダムに決めた二つの線分が交わる確率は1/3
n本の線分により円が分割されているとき、新たに一本の線分を加えるとする
このとき新しい線分が既存の線分と交わらなければ、分割される領域は一つ増える
既存の線分一本と交わるなら領域は二つ増え、既存の線分二本と交わるなら領域は三つ増える
つまり、新しい線分が既存の線分と交わった本数+1の領域が新たに増える
新しい線分を引いたとき、既存の線分n本のうち交わる本数の期待値はn/3だから、
領域の数の増分の期待値はn/3+1となり、
n本の線分で分割されたときの領域の数の期待値をI(n)と置くと、I(n+1)=I(n)+n/3+1と書ける
I(n)-I(1)=(n(n-1)/2)/3+(n-1)、I(1)=2は自明なので、I(n)=n(n-1)/6+n+1 [] - [ここ壊れてます]
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 17:23:00.93 ID:IJFWAL+A.net]
- >>292
PQの垂直二等分線が実軸でOが原点となる複素座標を設定する。
Aの実軸対称点をCとする。
ABCDPQの複素座標をabcdpqとする。
PDをPQ、実軸で続けて対称移動するとQCに移るからd-p=q-cである。
またAが単位円に関する反転でCはその実軸反転だからc=1/bである。
P,Qは単位円上かつ実軸対称だからpq=1である。
以上により
(d-p)/(b-p)
=(q-c)/(b-p)
=(1/p-1/b)/(b-p)
=1/(pb)
=(q-0)/(b-0)
であるから△BDPと△BQOは相似である。
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 17:24:07.93 ID:IJFWAL+A.net]
- >>293
正解！GJ!
- 309 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 20:04:24.39 ID:2rGgcqMY.net]
- >>291
積分でやってみた
A1,B1,A2,B2の偏角を0,X,Y,Zとして、A1を固定し、後の三つを確率変数と考える
それぞれ独立に0から2πの間の値を取る一様分布に従うので、確率密度関数は1/(2π)^3となる
YとZが共に0とXの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,x]∫[0,x]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x^2/(2π)^3}dx=1/3
Yが0とTの間、ZがTと2πの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,t]∫[t,2π]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x(2π-x)/(2π)^3}dx=1/6
二線分が交わらない確率=YとZが共に0とXの間または共にXと2πの間である確率=1/3+1/3=2/3
二線分が交わる確率=Yが0とTの間でZがTと2πの間またはその逆となる確率=1/6+1/6=1/3
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 21:12:47.06 ID:IJFWAL+A.net]
- >>296
おお、素晴らしい！
ここで受験数学お馴染みの1/6公式が出てくるのがへぇと思いました。
- 311 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/12(水) 22:25:41 ID:hcOGUVCg.net]
- 前>>290
>>283
n=1のとき2
n=2のとき3(2/3)+4(1/3)=3.33……
n=3のとき4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)(2/3)+7(1/3)^2
=(4+10+12+7)/9
=3.66……
急にnやn+1に飛んだらだれもわからないだろう。途中をちゃんとやってほしい。
n=4のとき5(2/3)^3+6(2/3)^2(1/3)+7(2/3)(1/3)^2+8(/)+9(/)+10(1/3)^2(2/3)+11(1/3)^3Ψ`o`Ψ
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 22:36:00 ID:cpT3giHz.net]
- 不正解
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 22:51:26 ID:MTHiudft.net]
- とりあえずn=3のときn=2と同じようにやってみればいい。
6点適当に選ぶ。
ただし三点が一点で交わるような特殊なケースは確率0なので無視する。
反時計回りに123456として2個組ずつわける。
12,34,56
12,35,46,
‥
で何通りできるか？
小領域が4つになるのは何通りか？
小領域が5つになるのは何通りか？
小領域が6つになるのは何通りか？
小領域が7つになるのは何通りか？
期待値は？
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 23:04:11 ID:2rGgcqMY.net]
- >>298
m本の線分に交わる線を引くと、そのm本で分割されていたm+1個の領域の上を通ることになる
つまりm+1個の領域を切ることになるので、領域の数は倍化され、m+1個の領域が新たに増えることになる
- 315 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 23:55:09.29 ID:hcOGUVCg.net]
- 前>>298
>>301
2本の直線と交差する直線を引くと領域が3個増えることはわかってる。
つまりm=2のとき意味が通じる。
けど交差しないときの確率を足さないかんだろ。
n=3のとき領域が4個になるのは交差しないとき。
n=2のときの考察からして
- 316 名前：交差するときが1/3で交差しないときが2/3じゃないのか？
4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)^2+7(1/3)^3
=(16+30+18+7)/27
=71/27
この計算、
2/3+2/9+1/9+1/27が1になるときじゃないと意味ないんだよ。 [] - [ここ壊れてます]
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:09:21 ID:ARUap2be.net]
- A1B1とA2B2が交差する確率は1/3、
A2B2とA3B3が交差する確率は1/3、
A3B3とA1B1が交差する確率は1/3、
しかし交点が３つできる確率はこの３つをかけてもダメ。
かけて求められるのはコレらの事象が独立の時。
独立ではないのでダメです。
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:15:15 ID:906Gyp6n.net]
- 調和配列について考えてたけど、どうも何かがおかしい気がする…
>>195 のeの構成って本当に合ってる？
以下の要領で、原点以外の全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しないことが示せそうなんだけど…
配列aを a[0,0]=1 かつ a[X]≧0 (∀X∈Z^2) を満たす、原点以外で調和的な有界配列とする。
aの下限 inf_(X∈Z^2) a[X] を0としてよい。a[X]=0 を満たす格子点Xは存在できないことに注意。
配列の列 b_n を
b_n[0,0] = 1 (n≧0)
b_0[p,q] = 0 ( (p,q)は原点以外の格子点)
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1] ( (p,q)は原点以外, n≧0)
により定めると、帰納的に
b_n[p,q]≦b_(n+1)[p,q]≦1 (p,qは全ての整数, n≧0)
が導けるため極限 b[p,q]=lim_(n→∞) b_n[p,q] が存在し、
配列 b が原点以外で調和的であることもわかる。また、各nについて
b_n[p,q]=b_n[-p,q]=b_n[p,-q]=b_n[q,p]
0≦p かつ 0≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p+1,q]
1≦p≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p-1,q+1]
b_n[p,q]≦a[p,q]
が成り立つことが帰納的に示せるため、n→∞とすることでbについても同様のことが言える。
配列aの下限が0かつ全ての格子点Xについてa[X]>0であることから、
格子点の列 X_n=(p_n,q_n) であって
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
を満たすものが存在。これより、格子点(p,q)が max(|p|,|q|)≧|p_n|+|q_n| を満たすならば
b[p,q] ≦ b[|p_n|+|q_n|] ≦ b[p_n,q_n] ≦ a[p_n,q_n]
であるから、格子点Xについて|X|→∞ならばb[X]→0が成り立つ。
一旦ここまで。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:18:26 ID:906Gyp6n.net]
- >>304
訂正。配列の列b_nの漸化式について
誤
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1]
正
b_(n+1)[p,q] = (b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1])/4
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:23:06 ID:906Gyp6n.net]
- >>304
何度も申し訳ない、もう１つ訂正。
格子点列X_nについて
誤
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
正
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=∞
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 00:49:32.88 ID:av6dLTOA.net]
- >>304
もちろんeは原点て
4e[0,0]=e[1,0]+e[-1,0]+e[0,1]+e[0,-1]
を満たしてませんよ。
4e[i,j]=e[i+1,j]+e[-i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]
はキルヒホッフの法則
(e[i+1,j]-e[i,j]}+(e[-i-1,j] -e[i,j]}+(e[i,j+1]-e[i,j]}+(e[i,j-1] -e[i,j]}=0
を変形したものですが、原点は電極がついてて電流を吸い出してるのでこの等式が成立していません。
>>195のeは上に有界なのでもし全ての点で上の等式が成立するなら雨宮の定理により定数になってしまいます。
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 02:15:11.71 ID:aaGAJwRB.net]
- >>283
(n+2)(n+3)/6 かな
導出過程はこれから考えるw
- 323 名前：イナ mailto:sage [2020/02/13(木) 02:22:24.68 ID:7VewwRjX.net]
- 前>>302いきなりnとかmとかで一般項出して解きだす奴は偽者か曲者。1面2面クリアして今3面。
n=3のとき最小が4で最大が7、
4(2/3)(3/4)(1/4)+5(2/3)(4/6)+6(1/3)(4/6)+7(1/3)(2/6)
=4(1/8)+5(4/9)+6(2/9)+7(7/24)
=1/2+32/9+49/24
=(36+256+147)/72
=439/72
=6.0972……
ちょっとマシになった。
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 02:22:32.49 ID:aaGAJwRB.net]
- >>308
交点の可能な数は n(n-1)/2 である
1≦i<j≦nとしてAiBiとAjBjが交差する確率は各々1/3なの
- 325 名前：だから、
交点の数の期待値は n(n-1)/6
領域の数の期待値は (n+1)+n(n-1)/6 = (n+2)(n+3)/6 [] - [ここ壊れてます]
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 03:08:45.48 ID:aaGAJwRB.net]
- おっと、283は>>293で既に解かれていたか
まだ続いてるのかと思ったw
- 327 名前：哀れな素人 [2020/02/13(Thu) 09:53:51 ID:ij5lRW2v.net]
- >>292
初等幾何的証明
ABを直径とする小円を描けば、出題の二つの三角形と相似な
二つの三角形を小円の中に作図できる。
大円と小円の交点をE、F、EFとABの交点をG、
DBと小円、QBと小円の交点をそれぞれH、I、
IGの延長と小円の交点をJ、JHとPBの交点をKとすると、
△KHB∽△GIBで、この二つの三角形は出題の二つの三角形と相似である。
∠H＝∠Iであることはすぐに分かる。
あとは∠KBH＝∠GBIであることを示せばよいが、
これが意外と難しく、今のところ未解決。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:12:32 ID:906Gyp6n.net]
- >>307
eが原点で調和的でないことはわかっているのですが、問題はそこではなくて、>>304の通り
『原点以外の』全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しない
ということを示せてしまう、ということなのです
↓↓304の続き↓↓
c=4b[0,0]-b[1,0]-b[-1,0]-b[0,1]-b[0,-1] とおくと、整数n≧2について
cn = Σ_(m=1,n) c
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|,|q|<m) 4b[p,q] - b[p+1,q] - b[p-1,q] - b[p,q+1] - b[p,q-1]
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|<m) - b[m,p] - b[-m,p] - b[p,m] - b[p,-m] + b[m-1,p] + b[1-m,p] + b[p,m-1] + b[p,1-m]
= 4b[0,0] + ( Σ_(p=1,n) 2b[p,p] + 2b[p,-p] + 2b[-p,p] + 2b[-p,-p] ) - ( Σ_(|p|<n) b[n,p] + b[-n,p] + b[p,n] + b[p,-n] )
= o(n) (as n→∞)
より矛盾。したがって、a は定数でなければならない。
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:17:09 ID:ctEQzeqL.net]
- >>313
eは0以上の値をとりますが有界ではありませんよ。
>>204で示されています。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:26:22 ID:906Gyp6n.net]
- >>314
あら失礼しました… >>195しか見てませんでした
- 331 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:35:30 ID:7VewwRjX.net]
- 前>>309
>>311つづけてください。
n=3から。
さあ。
3のとき5、
4のとき7、
6のとき12です。
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 10:53:38.12 ID:Tf6czv/B.net]
- 4e(i+1,j)+ e(i-1,j)+ e(i,j+1)+ e(i,j-1)
=
∫[～] (1-cos((x+y)(i+1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)(i-1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j+1)))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j-1)))/(1-cosxcosy)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] (2-2cos(x+y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
+∫[～] (2-2cos(x-y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4(1-cos(x)cos(y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-∫[～] 4(1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4cos((x+y)i)cos((x-y)j))dxdy
=
δ[i0]δ[j0]16π^2
になるハズ。
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 11:54:57.76 ID:906Gyp6n.net]
- そうすると >>242 の最後の主張も訂正する必要がありそうだ
誤
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せる。
正
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たす配列 a であって、
任意の定数 ε>0 について |a[X]|=O(|X|^ε) を満たすようなものは、
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
に限られる。
- 334 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/13(木) 13:21:59.82 ID:WiJ7Z5mz.net]
- >>292
これ今年の灘高校の入試問題じゃん
- 335 名前：哀れな素人 [2020/02/13(Thu) 17:43:48 ID:ij5lRW2v.net]
- >>312の続き
HBとEIが垂直であることを示すことができれば証明完了。
なぜなら、その場合、∠BHAは直角だからHAとEIは平行。
すると∠AHIとHIEは錯角だから等しい。
すると∠ABI＝∠AHI＝∠HIE＝∠EBH
∠Hと∠Iは同一円周角で等しいことがすでに示されているから、証明完了。
しかしHBとEIが垂直であることを示すことが難しい。
灘高校の入試問題なら、もっと簡単な解法があるに違いない（笑
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 19:53:39.15 ID:uH+myoBI.net]
- n,kは自然数でk≦nとする。
穴の開いた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひ
- 337 名前：もを通して輪を作る。
このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、
どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。
(某大学文系過去問 - 中学生の知識で解ける) [] - [ここ壊れてます]
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 20:23:54.06 ID:iOaxVOmG.net]
- >>321
上半分の赤の個数について考える。
玉一つ分時計回りに回したとき上半分のあかの数はそままか、一個増えるか一個減るのいずれか。
半周回したとき上半分と下半分が入れ替わるのでどっかの時点でピッタリ半分になる。
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 20:38:32.25 ID:uH+myoBI.net]
- >>322
早いね、正解。
要は離散版中間値の定理(自明)。
- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 22:30:53.03 ID:VUrdGB1K.net]
- >>280
でけた。上限は1。
全域で調和的な配列aが、ある α<1 について a[X]=O(|X|^α) を満たしていると仮定。
((Δ^n)a)[0,0] における a[-n+p+q,p-q] の係数c_n[p,q]は
((1+x)(1+y)/4)^n における (x^p)(y^q) の係数と一致。つまり
c_n[p,q] = 4^(-n)･C(n,p)･C(n,q). （ただし大文字のCは二項係数）
よって、 (Δ^(2n+1)a)([1,0]+[-1,0]-[0,1]-[0,-1]) の係数の絶対値の総和は
Σ_(p,qは整数) 4^(-n)･|C(2n+1,p)-C(2n+1,p-1)|･|C(2n+1,q)-C(2n+1,q-1)|
=4C(2n+1,n)^2
=K/n･(1+o(1)). （ただしKはある定数）
であるから、
|a[1,0]+a[-1,0]-a[0,1]-a[0,-1]|
≦K(1+o(1))･2^α･n^(α-1)→0 (as n→∞)
より a[1,0]+a[-1,0]=a[0,1]+a[0,-1].
これと Δa=a より a[1,0]+a[-1,0]=2a[0,0].
同様にして、任意にjを固定した時に a[i,j] が等差列をなすことがわかるが、|a[X]|=o(|X|) より a[i,j] はiに依存しない。
同様にしてjに依存しないこともわかるため、aは定数。
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 22:35:41.28 ID:iOaxVOmG.net]
- >>324
おお、素晴らしい。gj
- 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 23:51:21.39 ID:iOaxVOmG.net]
- このスレで度々見かける某パズル本からの出題。
2人の修行僧がそれぞれ二つの山を登る。
2人とも同じ海抜の麓の地点から登頂を始め、ゴールの山頂の海抜も同じである。
各々の僧は山頂までの一本道の山道のみを移動する。
どちらの道も途中の地点ではスタート地点より海抜が高く、ゴール地点より海抜は低い。
この時2人の僧の登頂をうまく調節していずれの時点でも2人の海抜が完全に一致する様にして登頂をすることは可能であろうか？
2人の僧に許される行動は山道を進むか戻るか立ち止まるかのみである。
この問題の原題の設定はこれだけで当然暗黙の了解としてスタート地点からの道のりと海抜を与える関数が連続である事は仮定できます。
それはいいんですが、(そりゃそうでしょう)、パズル本の模範解答はできるで、私にはその解答はその連続関数になにか区分的に滑らかみたいな仮定がないと成立してないように思えます。
どなたか連続だけの仮定の元での肯定的な解答作れますでしょうか？
- 343 名前：イナ mailto:sage [2020/02/13(木) 23:58:27.97 ID:7VewwRjX.net]
- 前>>316
>>322-323赤玉どっから出てきたん？ 白玉と黒玉やろ。
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 00:01:24.99 ID:ekmNRCqQ.net]
- ちゃんと数学的に書けば
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
です。
f,gの連続性にある程度強い仮定があれば簡単なんですけど。
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 00:02:35.07 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>328は>>326の続きです。
- 346 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 01:33:49.02 ID:1dEsnuQN.net]
- >>328
f(x)=2x (0≦x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x<3/4)
f(x)=2x-1 (1/4≦x≦1)
g(x)=1/2+|x-1/2|sin((π/4)/(x-1/2))
の場合は登山五合目付近でp(t)が不連続になると思われる
- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 02:57:15.90 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>330
その程度の関数なら本に載ってる解答の肯定的解答がそのまま通用します。
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 02:59:45.62 ID:1dEsnuQN.net]
- >>328
条件を強くして道のりが微分可能でもダメみたい。
f(x)=1/2-(1/2)e^(4+1/(x-1/4)) (x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x≦3/4)
f(x)=1/2+(1/2)e^(4-1/(x-3/4)) (3/4<x≦1)
g(x)=1/2+8(x-1/2)^4 sin((π/4)/(x-1/2))
のとき
f^(-1)(g(x))は不連続で、f(x)の道の人は無限の距離を歩かないといけない
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 03:17:50.97 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>332
とりあえず道のりの有限性を仮定すれば大丈夫です。
もう少し緩めてf,gが共に有界変動なら大丈夫です。
問題は有界変動性がないとき、>>328のp,qとして有界変動性がない連続関数まで含めて存在し得ない例を私は持ってないのです。
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 03:42:11.48 ID:ekmNRCqQ.net]
- ちなみにfが有界変動連続関数のとき
f1(x)=fの[0,x]における全変動、
f2(x)=f1(x)-f2(x)
とおけば
f(x)=(f1(c)+x)-(f2(x)+x)
と二つの狭義単調増大連続関数の差となります。
gも有界変動連続ならgも同じような分解を持ってしまうので本の証明が通用してしまいます。
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 03:43:07.46 ID:ekmNRCqQ.net]
- あ、ポコポコ間違ってるけど適当にエスパーしてください。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 08:39:16 ID:8zGfmT3q.net]
- >>331
ん？肯定的？否定的解答じゃなくて？
328の条件を満たす連続関数p,qが存在しないのは間違いないのでは？
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 09:28:04.83 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>336
今上がってるケースぐらいではp,qは存在するします。
p,qは連続でありさえすれば有界変動性は要求されません。
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 09:32:16.08 ID:ekmNRCqQ.net]
- あ、いま上がってるケースくらいならp,qも有界変動に取れます。
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 09:44:02.90 ID:1dEsnuQN.net]
- >>338
>連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
>p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
>を満たすものがとれるか？
の問いに対する
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
は矛盾するように思えるのだが
>>332の例でp,q連続関数かつf(p(t))=g(q(t))と仮定すると
中間値の定理よりq(th)=1/2となるth∈[0,1]が存在し、
t_0=0と置くとq(t_i)=1/2-1/(4i+2)となるt_i∈[t_(i-1),th] (i=1,2...)が存在する
しかし
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))<1/4 (i:even)
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))>3/4 (i:odd)
さらにt_iは単調有界列だから収束してp(t)はlim t_iで不連続となり矛盾
何か誤解していれば指摘してほしい
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 10:27:02.14 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>339
あれ？
そうですね？
>>332は反例なってますね？
有界変動じゃないのかな？
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 10:37:54.73 ID:ekmNRCqQ.net]
- ダメだ。すぐにはわからない。
もう問題のレベル下げます。>>328改
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
コレで肯定的に解決します。
有界変動では無理なのかな？
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 10:39:54.56 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>341
補足。
PLの区分は有限個までです。
- 359 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 11:55:32.12 ID:UISPIlpq.net]
- >>340
君が見たという本が嘘なんじゃない？
- 360 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 11:58:33.09 ID:UISPIlpq.net]
- >>341
- 361 名前：>ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
めっちゃレベル下げすぎだな [] - [ここ壊れてます]
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 12:00:56.70 ID:rp7n7TvM.net]
- >>343
本では設定なしなんですよ。
ただ連続とだけ。
さすがにそれは無理だろうと。
数学的な面白さは激減しますがとりあえずplはら大丈夫、どこまで突っ込めるのかは謎。
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 12:12:29.42 ID:ZE8w945W.net]
- 奇跡の数「142857」に隠された神秘を知っていますか
https://gendai.ismedia.jp/articles/-/51045
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 12:43:58.29 ID:8zGfmT3q.net]
- plから条件をゆるめるとしても『区分的に広義単調』あたりが限界じゃないかな…
関数の値が無限回上下することを許してしまうと、どうしても>>330みたいな例が作れてしまうと思う。
逆に関数値の上下が有限回であれば、問題なくできそう（証明は多少面倒かもだけど）
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 13:02:47.54 ID:rp7n7TvM.net]
- まぁplまでかな？
変に広げてもgeneral nonsenseかも。
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 13:04:38.80 ID:8zGfmT3q.net]
- 待て、逆に『どの区間においても定数ではない』という条件でもいけるか？
単に成り立ちそうだから書いてみただけで、確かめた訳ではないけど
- 367 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 14:43:01.01 ID:G8wZZuo4.net]
- 所持金が一万円の貧乏人が、金持ちの友達相手に掛け将棋を持ちかけた
一局ごとに一万円を掛けた2n+1番勝負で、どちらかが先にn+1勝した時点で終了とする
ただし、貧乏人だけは途中で一番でも負け越した時点で所持金を失い続行不可能となる
実力は互角で、引き分けはないものとする
貧乏人が得する確率は？
- 368 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 14:53:50.89 ID:UISPIlpq.net]
- >>345
>本では設定なしなんですよ。
本が嘘
あるいは君が条件読み落とし
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 15:28:01.36 ID:ekmNRCqQ.net]
- 僧が3人だとダメなのかな？
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 15:34:23.96 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>350
貧乏人も金持ちも途中で降りるのはなし？
必ずどちらかがn+1勝するか、貧乏人が負け越すかまで続けられる？
- 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 16:23:42.86 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>350
貧乏人の獲得賞金をXとする。
最初に貧乏人がi勝する事象をAiとして
E(X|Ai)=iである事をnとiについての帰納法で示す。
n=1では明らか。
またi=nでも明らか。
n<Nで正しいとしてn=Nとしi>Iで正しいとしてi=Iとする。
このとき
E(X|Ai)=
1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人勝ち)
+ 1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人負け)
である。
右辺第1項は帰納法の仮定により(i+1)/2である。
第2項はnが1少ない場合の貧乏人がi-1連勝した状況と同じになるのでやはり帰納法の仮定から(i-1)/2である。
よって主張は示された。
特にi=0の場合により貧乏人の獲得賞金の期待値は0。□
- 372 名前：イナ mailto:sage [2020/02/14(金) 16:44:46.29 ID:Glw+icxw.net]
- 前>>327ふ～ゆ～に～ぉ～ぼえ～た～♪ う～た～ぉ～わ～すれ～て～♪ す～と～ぉ～ぶ～のな～か～♪ の～こ～ぉ～た～せき～ゆ～♪
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（(`o')/＿/（o^) )_
/_（_υ_)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿>>292メネラウスの定理で考えてたんだけど>>312はAとHが重なって描けないよね。こんな難しい作業やらせるか？
- 373 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 17:35:32.44 ID:VcIiPg2O.net]
- >>354
0なわけねーだろ
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 17:51:01.49 ID:ekmNRCqQ.net]
- 獲得金額ってもちろん参加費差っ引いた額ね。
具体的に書いてみればわかる。
以下Aを貧乏人、Bを金持ちとしてAのw勝l負をw/lで表す。
その時のAの獲得金額xと確率pでおわるときx(p)であらわす。
n=0のとき
1/0→1(1/2)、0/1→-1(1/2)
∴ 期待値0
n=1のとき
2/0→2(1/4)、2/1→1(1/8)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
n=2のとき
3/0→3(1/8)、3/2→2(1/4)、3/1→1(2/32)、
2/3→-1(2/32)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 17:56:55.14 ID:ekmNRCqQ.net]
- あ、問題文は
貧乏人が得する確率は
か。
期待値求めるんじやないのね。
- 376 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 18:13:54.83 ID:G8wZZuo4.net]
- >>353
途中で降りるのはなし
>>354
期待値はおっしゃる通り
期待値が0なのに、貧乏人は負けてもたった一万で済み勝てばそれ以上が得られるのは、
得する確率は小さいが勝った時のリターンが大きい勝負をしているからだ
この得になるケースが起こる確率はいくらか？が実は聞きたかった
- 377 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/14(金) 19:24:24 ID:Glw+icxw.net]
- ∥人人∥前>>355
（_(＿)>>292裏技がある
（(-.-)のか ∩∩
（っγ)ﾞな (^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒) ？ υυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~
メネラウスとか。
- 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 19:35:09 ID:ekmNRCqQ.net]
- >>359とすると
(2^(2n)-C[2n+1,n])/2^(2n+1)
かな？
カタラン数計算するのと同じテク。
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 20:19:34.18 ID:ekmNRCqQ.net]
- あ、違う。
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 20:43:56.77 ID:ekmNRCqQ.net]
- 気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥
- 381 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 21:22:52 ID:G8wZZuo4.net]
- >>362
正解！！！
次のように問題を改変する
貧乏人が途中で負け越しても借金して続け、どちらかが先にn+1勝しても2n+1番まで続ける
そのときに、貧乏人が途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる場合を考える
勝敗条件はまったく変わらないので上記の確率を求めればいい
途中で一度は負け越してから勝ち越しで終わる場合、途中に初めて負け越した黒星が必ずある
その黒星より後で二番以上の勝ち越しがあることにより最後は勝ち越しとなる
このときもしその黒星より後の星の勝敗が逆であれば三番以上の負け越しで終わる
逆に、三番以上の負け越しで終わる場合、途中に初めて負け越しとなった黒星が必ずあり、
その後に二番以上の負け越しがあることで三番以上の負け越しで終わるので、
その勝敗が逆なら、途中の負け越しから二番以上を返し、最後勝ち越しで終わることになる
従って、途中で負け越してから勝ち越しで終わる場合と三番以上の負け越しで終わる場合は、
一対一に対応し、その確率は等しい
題意の確率=途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-途中で負け越してから勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-三番以上の負け越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-(負け越しで終わる確率-一番の負け越しで終わる確率)
=1/2-(1/2-n勝する確率)=n勝する確率=C[2n+1,n]/2^(2n+1)
- 382 名前：イナ mailto:sage [2020/02/14(金) 21:41:52.84 ID:Glw+icxw.net]
- 前>>360
>>292
OA=tとすると、
OA･OB=1よりOB=1/t
AB=OB-OA=1/t-t
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 21:48:27.27 ID:R20D62da.net]
- n ＝１～７で虱潰しにプログラムに数えさせて頻度を出してみた。
> data.frame(n,p)
n p
1 1 0.3750000
2 2 0.3125000
3 3 0.2734375
4 4 0.2460938
5 5 0.2255859
6 6 0.2094727
7 7 0.1963806
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 22:26:53.90 ID:R20D62da.net]
- C[2n+1,n]/2^(2n+1)
に代入すると、
> choose(2*n+1,n)/(2^(2*n+1))
[1] 0.3750000 0.3125000 0.2734375 0.2460938 0.2255859 0.2094727 0.1963806
同値。プログラムでのカウント漏れはなさそう。
- 385 名前：哀れな素人 [2020/02/14(金) 22:49:27.49 ID:ENo7Ubcw.net]
- >>312に書いたことは間違いだったので訂正しておく。
PB、DB、QBと小円との交点をE、F、G、
GからQOに平行に引いた平行線と、AB、小円との交点をH、I
IFとPBとの交点をJとすると、△JFB∽△HGBで、
この二つの三角形は出題の三角形とも相似。
但し△OQB∽△HGBだけは明らかだが、
その他の相似は、今のところ、示せない。
もしかしたら小円など利用しなくても解けるのかもしれない。
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