- 753 名前：１３２人目の素数さん [2019/05/01(水) 20:51:41.34 ID:dT+KSVDH.net]
- お伺いしたいことがあって
書き込みをします．
どなたかアドバイスをお願いします．
問題
−1≦a≦1をみたすaに対して，数列{a[n]｝を
a[1]＝a，a[n＋1]＝(1/2)（a[n]^3−3a[n]）（n＝1，2，・・・）
によって定める．
このとき，すべての自然数nに対して，−1≦a[n]≦1であることを示せ．
この問題に対して，「数学的帰納法」らしく証明することはできました．
「数学的帰納法」ではなく，
（出題者の期待しているのはその解答だとは思いますが），
次のように解答した場合，これは正解なのか？ということです．
もうひとつの解答
証明するには，次の事柄が成り立つこといえば十分である．
「 関数f(x)＝(1/2)（x^3−3x）の定義域を−1≦x≦1とした場合，
関数f(x)の値域が−1≦f(x)≦1である．」
なぜなら，S＝｛x；−1≦x≦1｝とすると，x∈S ⇒ f(x)∈S．
ここで，f’(x)＝(3/2)(x−1)(x＋1)．
−1≦x≦1のとき，f'(x)≦0．
よって，この区間で関数f(x)は単調に減少する．
値域は，f(−1)≧f(x)≧ｆ(1)．
すなわち，−1≦f(x)≦1である．
したがって，上の事柄は証明され，問題は片付いた．□□
いかがでしょう？
聞きたいのは，細かいことをいうと，
関数の値域の問題としても，
「数学的帰納法」の形をとるのが無難なのでしょうが，
集合として，値域が定義域の部分になることをいえば
本質的には問題は片付いているのではないか
というのがいいたいことなのですが，
いかがでしょうか？
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