- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/24(火) 22:37:56.37 ID:/xfRLODC.net]
- TeX関連の、質問･雑談用です。
過去スレ
TeX総合スレッド
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026634481/l50
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TeX総合スレッド Ⅷ
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TeX総合スレッド VIII
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\section{やっぱり TeX が好き} %%% 第 X 節 %%%
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\section{TeX の時間} %%% 第 XI 節 %%%
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\section{TeX の時間} %%% 第 XI 節 %%% Part.2
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1478997681/
- 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:38:05.27 ID:wmZr8viD.net]
- 単位元を持つ
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:38:22.66 ID:wmZr8viD.net]
- 単位的可換環である
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:39:02.63 ID:wmZr8viD.net]
- ab=0、a≠0とする
- 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:39:21.87 ID:wmZr8viD.net]
- するとa⁻¹が存在するので
- 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:39:47.21 ID:wmZr8viD.net]
- それを左乗すると
- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:40:23.09 ID:wmZr8viD.net]
- a⁻¹ab=a⁻¹0
∴b=0
- 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:40:53.89 ID:wmZr8viD.net]
- これは0以外に零因子を持たないことを示す
- 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:41:17.54 ID:wmZr8viD.net]
- よって任意の体は
- 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:41:29.99 ID:wmZr8viD.net]
- 整域である
- 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:42:06.04 ID:wmZr8viD.net]
- 環の中で0以外に零因子を持たないもの
- 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:42:41.26 ID:wmZr8viD.net]
- 環は可換なものとは限らないが
- 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:42:59.08 ID:wmZr8viD.net]
- 体は可換なものを考える
- 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:43:22.35 ID:wmZr8viD.net]
- 可換体=体
- 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 01:43:43.25 ID:wmZr8viD.net]
- 非可換体=斜体
- 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:06:45.53 ID:nzSBCrbO.net]
- q元体
- 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:07:38.61 ID:nzSBCrbO.net]
- 剰余体図b
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:08:02.93 ID:nzSBCrbO.net]
- pは素数
- 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:08:40.18 ID:nzSBCrbO.net]
- 二元体ℤ₂
- 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:10:18.12 ID:nzSBCrbO.net]
- ウェダーバーンの定理
- 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:11:23.71 ID:nzSBCrbO.net]
- 任意の有限な斜体は体である
可換体
- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:22:06.86 ID:k6dUPmc3.net]
- Fを有限な整域とする
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:23:06.31 ID:k6dUPmc3.net]
- 整域は可換環である
単位的可換環
- 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:31:34.83 ID:3PeVl8xh.net]
- 整域という段階で可換環ということが保証される
- 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:32:35.46 ID:3PeVl8xh.net]
- 写像f: x→xaを考える
- 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:33:08.11 ID:3PeVl8xh.net]
- fは単射である
- 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:33:45.02 ID:3PeVl8xh.net]
- 整域では簡約律が成り立つ
- 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:34:12.52 ID:3PeVl8xh.net]
- xa=yaとすると
- 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:34:43.97 ID:3PeVl8xh.net]
- x=yとなる
- 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:35:39.61 ID:3PeVl8xh.net]
- fは全射になる
- 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:38:23.35 ID:3PeVl8xh.net]
- xa=ya⇒x=yとなるので
x≠y⇒xa≠ya
⇔xa=ya⇒x=y
よってfは単射である
- 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 08:39:15.32 ID:3PeVl8xh.net]
- 写像f: F→Fは全射になる
- 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 09:10:04.79 ID:IzoBQ+BU.net]
- Fは有限集合よりfは全射である
集合Aが有限集合⇒
f: A→Aは全射と単射は同値である
単射、A≦B
全射、A≧B
全単射A=B
- 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 09:12:27.00 ID:IzoBQ+BU.net]
- f: x→xa=e
このxがa⁻¹である
- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 09:17:56.96 ID:IzoBQ+BU.net]
- n個とする単射ならば
a₁→b₁、a₂→b₂、…と
aᵢ→bᵢと名付け、aₖ₊₁に対してはb₁～bₖを選べないから1対1に対応する。よって全射になる。
全射ならば
- 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 09:19:32.87 ID:IzoBQ+BU.net]
- |A|≧|B|であり
等号が成立するためには1対1に対応するしかない
よって単射である
- 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 09:20:04.35 ID:IzoBQ+BU.net]
- 単射は漏れがあっでもいい
- 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 09:20:23.76 ID:IzoBQ+BU.net]
- 全射はダブりがあってもいい
- 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 09:21:22.50 ID:IzoBQ+BU.net]
- 両者が両立するためきは等号が成立する必要がある。全単射
1対1対応。
- 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:02:22.09 ID:IzoBQ+BU.net]
- 有理整数環ℤは可換な単位的環
である
可換環
- 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:03:58.37 ID:IzoBQ+BU.net]
- 複素数体ℂは0以外の零因子を持たない
ℤ⊂ℂよりℤも0以外の零因子を持たない
- 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:04:30.66 ID:IzoBQ+BU.net]
- よってℤは整域である
±1
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:05:44.15 ID:IzoBQ+BU.net]
- ℤi[]は可換環である
Gauss整数環
- 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:07:10.27 ID:IzoBQ+BU.net]
- ℤi[i]⊂ℂでありℂは自明な零因子を持たないからℤi[]も同様である
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:07:54.76 ID:IzoBQ+BU.net]
- ±1、±i
- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:30:31.10 ID:IzoBQ+BU.net]
- 数体
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:42:36.25 ID:cTyjmGZ4.net]
- 複素数体ℂ
- 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:42:52.61 ID:cTyjmGZ4.net]
- 実数体ℝ
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:43:11.79 ID:cTyjmGZ4.net]
- 有理数体ℚ
- 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:53:55.91 ID:cTyjmGZ4.net]
- 複素数の部分集合
数体
- 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:54:20.09 ID:cTyjmGZ4.net]
- 単位元1と零元0を持つ
- 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:55:07.04 ID:cTyjmGZ4.net]
- �
- 952 名前：ﾁ法について閉じているからℤ⁺を全て持つ []
- [ここ壊れてます]
- 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:55:49.59 ID:cTyjmGZ4.net]
- 減法も定義されていふので
ℤ全てを持つ
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:57:02.75 ID:cTyjmGZ4.net]
- 除法も定義されているので
p/q、q≧1、p, q∈ℤも全て持つ
- 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:57:44.86 ID:cTyjmGZ4.net]
- 従って任意の数体は有理数体ℚを含む
- 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 10:59:36.20 ID:cTyjmGZ4.net]
- Gaussの数体ℚ(i)
- 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:03:18.30 ID:cTyjmGZ4.net]
- a+ib、c+diとする∈ℚ
- 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:03:56.85 ID:cTyjmGZ4.net]
- 和∈ℚ(i)
- 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:04:15.42 ID:cTyjmGZ4.net]
- 差∈ℚ(i)
- 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:04:36.86 ID:cTyjmGZ4.net]
- 積∈ℚ(i)
- 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:05:04.83 ID:cTyjmGZ4.net]
- 商∈ℚ(i)
- 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:06:05.34 ID:cTyjmGZ4.net]
- によりGaussの数体ℚ(i)は体である
- 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:07:00.15 ID:cTyjmGZ4.net]
- a+bi、a, b∈ℤ
a+bi、a, b∈ℚ
- 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:22:29.58 ID:cTyjmGZ4.net]
- Hは斜体をなす
- 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:24:10.26 ID:cTyjmGZ4.net]
- 0以外の元は逆元を持つ
- 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:29:19.31 ID:Ur55Jv5c.net]
- (cj+d)(-cj-dk)
=a²+b²+c²+d²
i→j→k
- 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:29:39.43 ID:Ur55Jv5c.net]
- 四元数体
- 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:30:18.13 ID:Ur55Jv5c.net]
- 普通の共役複素数と同じ
- 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:30:48.28 ID:Ur55Jv5c.net]
- Hは斜体をなす
- 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 11:32:19.78 ID:Ur55Jv5c.net]
- ℝ、ℂ、H
に限る
- 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 12:13:25.71 ID:Ur55Jv5c.net]
- F上のn次全行列環
detA≠0
- 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 12:13:58.32 ID:Ur55Jv5c.net]
- GLₙFは乗法群をなす
- 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 12:16:40.64 ID:Ur55Jv5c.net]
- Boole環
- 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 12:35:25.74 ID:Ur55Jv5c.net]
- a²=a
- 975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 12:35:41.38 ID:Ur55Jv5c.net]
- 冪等
- 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 12:36:33.59 ID:Ur55Jv5c.net]
- Boole環は可換環である
- 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 12:40:28.21 ID:Ur55Jv5c.net]
- ∀a、2a=0
- 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 13:56:47.14 ID:uy2IsYte.net]
- (a+b)²=a+b ∵冪等
a²=a、b²=b ∵冪等
他方、(a+b)²=a+ab+ba+b=a+b
∴ab+ba=0
b=aとおくとa²+a²=2a=0
よってa=-a
ab=-ba=ba
よって可換環である
- 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:01:09.56 ID:uy2IsYte.net]
- A△B
対称差
- 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:01:40.25 ID:uy2IsYte.net]
- RはBoole環
- 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:03:19.36 ID:uy2IsYte.net]
- 和は対称差、積は共通部分で定義する
- 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:05:02.97 ID:uy2IsYte.net]
- 空でない
- 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:06:19.27 ID:uy2IsYte.net]
- 零元は∅、単位元はS
- 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:06:37.89 ID:uy2IsYte.net]
- 可換環
- 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:07:49.70 ID:uy2IsYte.net]
- A²=A∩A=Aとなる
- 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:08:09.03 ID:uy2IsYte.net]
- A⊂S
- 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:10:34.18 ID:uy2IsYte.net]
- A∩A'=∅=0より
AとA'は零因子
従ってBoole環は整域ではない
- 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:56:02.01 ID:uy2IsYte.net]
- 拡大の記号は商集合とは無関係
- 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:58:07.46 ID:uy2IsYte.net]
- Kは加法群である
- 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:58:38.12 ID:uy2IsYte.net]
- 体Kでの乗法
- 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 14:59:25.93 ID:uy2IsYte.net]
- av、a∈𝔽、v∈𝕍
- 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 15:01:27.86 ID:2eh9YTu4.net]
- アスペの埋め荒らし
- 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 15:03:20.32 ID:uy2IsYte.net]
- KはF上の線型空間
- 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 15:04:02.57 ID:uy2IsYte.net]
- Kは加法群
- 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 19:24:52.04 ID:jHtdEF58.net]
- 拡大K/F
- 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 19:25:13.64 ID:jHtdEF58.net]
- 任意の中間体L
- 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 19:25:48.10 ID:jHtdEF58.net]
- K/LとL/F
- 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 19:26:39.96 ID:jHtdEF58.net]
- [K/F]=nとする
- 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 19:28:22.58 ID:jHtdEF58.net]
- Fに関して線型独立なKの数がn
- 1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/05/23(火) 19:29:08.65 ID:jHtdEF58.net]
- F⊂L
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