- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sageteoff [2015/05/22(金) 09:38:35.72 ID:wNOlCA2c.net]
- 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/21(火) 22:37:21.75 ID:rZmsaMCj.net]
- [q,rの仮定による矛盾]
(r+q)/2≡(r-q)/2(mod q)より、
(r+q)/2,(r-q)/2がともに[g]の偶数冪であるか、
または、-(r+q)/2,-(r-q)/2がともに[g]の偶数冪である。
よって[(r+q)/2]+[(r-q)/2]=[r]∈M
または[-(r+q)/2]+[-(r-q)/2]=[-r]∈Mより[r]∈M
となって矛盾。
[[1],[2],…,[p-1]∈Mの証明]
Mに属さない素数でpより小なるものが存在するならばただ1つである。
これをqとすると、(p+q)/2はpより小さくqの倍数でないので
[q]=[p+q]=[(p+q)/2]*[2]∈M
となって矛盾。
したがって、pより小なる任意の素数がMの元であり、
それらの積もMの元であるから[1],[2],…,[p-1]∈M
[Mは存在しない]
pは4n+1型の素数なので、p=a^2+b^2を満たすa,bが存在する。
よって[a],[b]∈Mより[a]^2+[b]^2=[p]=[0]∈Mとなって矛盾。
したがって、Mの定義を満たすpは存在しない。
すなわち、「任意の4n+1型素数はSに属する」。おしまい。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/22(水) 00:36:28.04 ID:7w9t1PZg.net]
- 4=b^2+c^2.
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/22(水) 07:32:30.94 ID:qRulk97x.net]
- >>232
>>226で4∈Aは証明してある。
4自体がb^2+c^2と表せる必要はない。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/28(火) 00:04:52.15 ID:V0v013Ov.net]
- プログラムの問題
入力ストリームと出力ストリームととn個のスタックがある。
n個のスタックを使って入力の順番を入れ替えて出力へ出すことを考える。
１ステップで次のことができるとする
(1)入力ストリームから一文字取り出しスタックへ積む
(2)スタックから一文字取り出しほかのスタックへ積む
(3)スタックから一文字取り出し出力ストリームへ出力する
n個のスタックを使うと入力k文字に対して任意の順番に入れ替えて出力できるとき
n個のスタックはk文字互換完備であるという。
ある定数cに対しc個のスタックが任意の有限の数mに対しm文字互換完備であるとき
c個のスタックは任意互換完備であるという。
任意互換完備となる定数cは存在するか？
存在するとしたらその最少の数はいくつか？
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/28(火) 02:28:28.92 ID:QlC/V4UF.net]
- 2
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/28(火) 03:03:42.46 ID:dO/BAI9e.net]
- スタックって何かわからんハノイの塔みたいなことが出来るってことでいいのか
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/28(火) 06:14:44.23 ID:A50AzsVE.net]
- 思考停止のことじゃない？
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/28(火) 08:22:48.08 ID:V0v013Ov.net]
- 同じスタックに何回も積みなおしていいんなら２個のスタックで簡単にできちゃうなぁ
各スタックに番号を振って、スタックからスタックへ積みなおすのは
取りだすスタックが積むスタックより番号が若いときに限る、
としたらちょっとは面白くなるかな？
- 245 名前：１３２人目の素数さん [2015/07/29(水) 16:20:02.76 ID:CZbY/wc3.net]
- (cos(2π/7))^(1/3)+(cos(4π/7))^(1/3)+(cos(8π/7))^(1/3)の値を求めよ.
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/29(水) 17:11:12.92 ID:PHmkOzke.net]
- 234-238のスタック２個っていうのは
入力から文字 x_i を取り出す前に
最終的な出力での登場位置が x_i より早い文字をスタック1に
最終的な出力での登場位置が x_i より遅い文字をスタック2
- 247 名前：に
集めるみたいなことをしてけばいいってことかな
スタック1個だと、x_1x_2x_3->x_3x_1x_2 みたいなことができなそうだな [] - [ここ壊れてます]
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/29(水) 19:47:09.55 ID:s8W1tV31.net]
- スタック２個あれば取り出したい文字の上に積んであるやつを全部もう一個のスタックに移せば好きな文字が取り出せる。
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/29(水) 19:52:11.28 ID:/rcHIzs4.net]
- むしろ、スタック１つでできる置換できない置換の判別法が知りたい。簡明なものがあるか？
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/29(水) 20:31:05.18 ID:s8W1tV31.net]
- スタック１個なら入力からスタックへ積むかスタックから出力へ出すかだけだから、
探索しても分岐は起きないんじゃない？
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/29(水) 22:18:24.98 ID:PHmkOzke.net]
- ああ
スタックへの積み方を工夫する必要すらないのか
スタックが２つあれば、取り出したいものをどんなタイミングでも取り出せる
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/29(水) 22:41:11.60 ID:zneU1ISF.net]
- >>234
スタックを2個として、入力長Mの任意の置換に対して
a)最大スタック操作回数が最小となる手順とその回数
b)平均スタック操作回数が最小となる手順とその回数
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/30(木) 04:50:38.94 ID:2OyXzzbU.net]
- >>237
ギャザか
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/31(金) 22:10:58.36 ID:xqLCoXx2.net]
- スタックの操作の総数＜m文字の置換の総数
がいえれば任意互換完備がないことが言えるかな？
無理筋かな？
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2015/08/01(土) 00:55:39.15 ID:XcDx3Z/K.net]
- (a-x)(b-x)(c-x)......(z-x)=?
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/01(土) 01:32:08.16 ID:vYFLauxI.net]
- 夏よのぉ…
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/01(土) 02:02:17.28 ID:6mU/08Ur.net]
- 1/(a-x)(b-x)(c-x)......(z-x)=?
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/06(木) 22:03:58.71 ID:oMuFm5JZ.net]
- 一辺の長さが１の正四面体に内接する球の半径を求めよ
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/07(金) 00:18:58.40 ID:eaPa7vGl.net]
- 一辺の長さが１の正四面体に内接する球の直径を求めて1/2をかければいいんじゃね
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/07(金) 00:23:09.54 ID:hrxJfg1J.net]
- 表面積×r×1/3=体積
- 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/07(金) 00:35:20.90 ID:q1KsZIY4.net]
- 正四面体A(1,1,1),B(1,-1,-1),C(-1.1.-1),D(-1.-1.1)
正四面体ABCDの1辺の長さ2√2
原点から平面BCDx+y+z+1=0までの距離√3/3
x:√3/3=1:2√2 x=√6/12
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/16(日) 15:05:36.67 ID:Mpo3tyZH.net]
- cos(2π/n)が有理数係数の499次以下の方程式の解としては表せず、500次方程式の解としては表せる最小の自然数nを求めよ
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/17(月) 17:57:52.99 ID:nbwm9TMT.net]
- ルーレットで赤か黒に賭けて勝つ確率は、どちらも9/19。
毎回1ドルずつ賭け、元金900ドルを1000ドルに増やしたい。
1000ドルになるか、0ドルになるまで続ける。
p=9/19、x=900、y=1000 とおくとき、1000ドルに達する確率は
(((1-p)/p)^x-1)/(((1-p)/p)^y-1) で表せることを証明せよ。
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/17(月) 19:48:33.53 ID:5vZcEIGg.net]
- >>256
３SATをランダムウォークしたときに解にたどり着く確率みたいなもんか？
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/17(月) 20:42:52.40 ID:5vZcEIGg.net]
- pに1/2を代入して確かめてみようとしたら０割になったでござる。
怪しいな、ほんとに式あってる？
1/2が特殊な値になる理由がわからないんだが。
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/17(月) 21:41:15.35 ID:nbwm9TMT.net]
- P-1/2なら0になっても仕方ないでしょ。
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/17(月) 21:56:22.05 ID:5vZcEIGg.net]
- なぜ？
式が正しいなら勝つ確率が赤黒どちらも1/2のときも成り立たないとおかしいだろが。
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/17(月) 23:21:39.04 ID:5vZcEIGg.net]
- https://research.preferred.jp/2011/01/schoening-3sat/
とりあえず参考になるかもしれないから3SATランダムウォークのページ張っとくわ
そんな簡単�
- 269 名前：ﾈ式にはならねーんじゃねーの
２項係数とか出てきそう [] - [ここ壊れてます]
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/18(火) 03:35:25.69 ID:wBRgC8p/.net]
- >>258
さきに分母分子 ((1-p)/p)-1 で割ればいい
ちなみに 9/10 になるぞ
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/18(火) 19:41:02.65 ID:MskCv1Rn.net]
- どれに何を代入すると9/10になるって？
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/18(火) 20:52:40.48 ID:Mzx5k9aX.net]
- 父親と母親の血液型は共にAOです。
2人の間には子が1人います。
①子の血液型がAOである確率は？
②子の血液型を調べると、A型(AAまたはAO)であることが分かった。
この子の血液型がAOである確率は？
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 00:11:37.17 ID:xDAP6+8Q.net]
- それは、数学じゃない。
生理学の板で訊け。
計算以前に、
配偶子の接合率、受精卵の着床率、胎児の成育率等
に対する血液型遺伝子の影響について
データが必要になるからな。
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 00:31:53.34 ID:iEpfrIWD.net]
- そういうこと聞いてるんじゃないだろ
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 00:42:11.10 ID:pWhVseNF.net]
- ていうか、別に質問じゃなくて出題してるんだろうに
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 05:29:44.81 ID:JCfyF7oM.net]
- >>263
(((1-p)/p)^900-1)/(((1-p)/p)^1000-1)
の分母分子を ((1-p)/p)-1 で割ったもの
に p=1/2 を代入
(A^n-1)/(A-1)=A^(n-1)+A^(n-2)+…+A+1
くらい知ってるよな？
p=1/2 は「特殊な値」じゃないんだよ
いわゆる除去可能特異点だ
lim_{p→1/2} (((1-p)/p)^900-1)/(((1-p)/p)^1000-1) = 9/10
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 05:49:06.29 ID:M30G+BZt.net]
- >>264
中学の宿題です。宿題は質問スレに書いてください。
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2015/08/19(水) 12:32:34.01 ID:PxSTIIXg.net]
- cos(n°)が有理数係数の二次方程式の解として表せる最小の自然数nを求めよ
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 22:47:59.59 ID:9q/Al0IK.net]
- >>268
計算機で検算しようとしたけど値が収束するのかなり遅いっぽいね。
漸化式はかなり複雑なんだが。
どうやって極限もとめるのかアイディアわかない。
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 23:07:41.48 ID:9q/Al0IK.net]
- x,yに小さな値入れて試してみたけどやっぱ値合わねぇなぁ
俺がなんか間違ってんのかなぁ
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 23:10:44.74 ID:9q/Al0IK.net]
- 値合ったっぽい
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 23:20:13.20 ID:9q/Al0IK.net]
- 計算機の検算では>>256の式は正しいっぽい。
どうやって導き出すのかはさっぱりわからんが。
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 23:44:32.69 ID:xl3Qr54D.net]
- n=0,m=900からスタートし、m=0になることがないように移動し、n回目に初めてmが1000となる
経路の数をC(n,1000)として、n回目に1000ドルになる確率は
P(n,1000)=C(n,1000)(9/19)^n
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/19(水) 23:57:41.89 ID:eYTQUPX+.net]
- 遷移行列の固有ベクトル計算したら(（1-p）/p)^nの項が
ずらっと出てくるから真面目に展開すれば解けると思うよ
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/20(木) 22:45:14.68 ID:art7FZLZ.net]
- あくしろよ！
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/20(木) 23:13:30.49 ID:xC1gH3/Y.net]
- >>264
①2/4
②2/3
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/21(金) 05:26:12.66 ID:cSey0xr3.net]
- >>256
どうやって証明するん？あく答えろよ！
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/21(金) 10:52:26.15 ID:cSey0xr3.net]
- あくしろよ
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/21(金) 13:07:14.28 ID:2OkXIMlt.net]
- 命令すんな
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/21(金) 18:22:13.66 ID:cSey0xr3.net]
- あくしてね
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/21(金) 21:02:40.64 ID:cSey0xr3.net]
- あくあく！
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/22(土) 04:43:36.55 ID:fYdC/ab3.net]
- >>256
あくおしえろよ！
>>261
何か言うことはないの？ああ？
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/23(日) 10:38:50.36 ID:nzgmHyP9.net]
- suseum.jp/gq/question/2406
これコ�
- 294 名前：塔eスト問題にしては面白い
高級な匂いがするし [] - [ここ壊れてます]
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/25(火) 04:40:01.08 ID:QdxBqZp1.net]
- >>285
n≡r (mod p-1)
r=0,1,...,p-2
とするとき、rが奇数だとダメで、r=2だとOKであることはすぐ示せるのだが、
rが2以外の偶数の場合がよくわからない。
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/25(火) 21:03:17.71 ID:37rXHgeW.net]
- 偏りのない１枚のコインを繰り返し投げるとき、表がn回連続するまでの投げる回数の期待値を求めよ。
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/26(水) 15:52:24.71 ID:soY25NWM.net]
- >>287
期待値が有限値であることを仮定して、それをa(n)とおく
表がn回連続した状態からn+1回連続するまでに投げる回数の期待値は
1+a(n+1)/2と表せるので，
a(n+1)=a(n)+1+a(n+1)/2、すなわち
a(n+1)=2a(n)+2
という漸化式が成り立つ
これとa(0)=0より
a(n)=2^(n+1)-2
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/26(水) 19:46:25.90 ID:9nc0affB.net]
- n=2～4までの期待値
31/4(n=2)、88(n=3)、416(n=4)
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/26(水) 20:23:09.30 ID:qCO/zAhu.net]
- 意外と多いな。
表だけだからか？
- 300 名前：287 mailto:sage [2015/08/26(水) 20:32:01.77 ID:BOAIrO3E.net]
- 正解です。私も漸化式を立てる同じ解法でした。
問題を次のように変えたものを考えていますが、まだ解けていません。
偏りのない１枚のコインを繰り返しn回投げるとき、表が連続する最大回数の期待値を求めよ。
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/26(水) 21:14:00.77 ID:9nc0affB.net]
- n回投げたときに、表の確率をq(n)、裏となる確率をt(n)とすると
q(n)=t(n-1)/2
t(n)=(q(n-1)+t(n-1))/2
t(n+2)=t(n+1)/2+t(n)/4
t(1)=1/2 t(2)=1/2
T(n)=t(n)*2^nとするとT(n)はフィボナッチ数列であり
T(n+2)=T(n+1)+T(n)
T(0)=1 T(1)=1
となる。
n回投げたときに3回連続表が出る確率をp(n)とすると
2回連続するのは、表が出てから裏表表と出る場合か
裏が出てから2回表が連続する場合だから
p(n)=q(n-3)/8+t(n-2)/4
q(n)=t(n-1)/2から
p(n)=t(n-4)/16+t(n-2)/4
P(n)=p(n)*2^nとすると
P(n)=T(n-2)+T(n-4)=2*T(n-2)-T(n-3) (n≧5)
が成立する。
t(n)=C1((1+√5)/4)^n+C2((1-√5)/4)^n
t(1)=1/2 t(2)=1/2から
C1=(5+√5)/10 C2=(5-√5)/10
t(n)=(5+√5)((1+√5)/4)^n/10+(5-√5)((1-√5)/4)^n/10
E(n)=Σ[k=2,n]p(k)*k=p(2)*2+p(3)*3+p(4)*4+Σ[k=5,n]p(k)*k
=1/4*2+1/8*3+1/8*4+Σ[k=5,n]p(k)*k
=11/8+51/8=31/4
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/26(水) 22:29:07.04 ID:soY25NWM.net]
- すみません、 >>289 >>292 さんはどの問題の話をされているのでしょうか？
>>291
念のため確認ですが、正解というのは >>288 のことでいいのですよね
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/27(木) 22:33:42.84 ID:LWtuunFN.net]
- >>292
２行目で既に分からないのですが…
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/27(木) 22:36:16.76 ID:LWtuunFN.net]
- >>292
> n回投げたときに、表の確率をq(n)、裏となる確率をt(n)とすると
どういうこと？
n回投げたときに、n回目が表の確率をq(n)ということなのかな？
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/27(木) 22:46:51.26 ID:gn1uHFUy.net]
- >>295
この解は以前に検討して書いたもので正確性は定かではありません
- 306 名前：。
2回連続して表が出ると試行が終わるので、q(n)はn回目の試行で表が出て
n>1ではn-1回目に裏になっている確率という意味です。 [] - [ここ壊れてます]
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/27(木) 22:49:33.65 ID:gn1uHFUy.net]
- >>292 自己レス、11行目を
n回投げたときに2回連続表が出る確率をp(n)とすると
に訂正
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/27(木) 23:01:04.87 ID:LWtuunFN.net]
- >>291
> 偏りのない１枚のコインを繰り返しn回投げるとき、表が連続する最大回数の期待値を求めよ。
念のため、n=3 の場合で説明する。
表が連続する最大回数を kとおく。表を○、裏を×で表す。
k=0のとき、×××となる確率は、1/8
k=1のとき、○××、×○×、××○、○×○となる確率は、4/8
k=2のとき、○○×、×○○となる確率は、2/8
k=3のとき、○○○となる確率は、1/8
したがって、表が連続する最大回数の期待値 E(3) は、
E(3) = 0・(1/8) + 1・(4/8) + 2・(2/8) + 3・(1/8) = 11/8
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/28(金) 00:00:14.03 ID:pJoVXbh5.net]
- ちなみに、 >>292 氏が書いてるのは、
>>291 の問題ではなく、 >>287 の問題のn=2のケースのようだぞ？
>>289 の数値との一致を見る限りでは。
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/28(金) 00:08:09.53 ID:pJoVXbh5.net]
- >>288 と >>291 で話が完結していることに気付いていないのか
あえて無視しているのか、何がやりたいんだ >>292は
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/28(金) 04:18:33.21 ID:LeKTMziP.net]
- >>298
表が連続する最大の回数の期待値は、表がn回連続するまでの回数の期待値とは違う。
>>300
前に検討した結果と異なるから書いているだけ。
- 312 名前：287=298です mailto:sage [2015/08/28(金) 05:23:15.87 ID:UDTInPuv.net]
- >>301
> 表が連続する最大の回数の期待値は、表がn回連続するまでの回数の期待値とは違う。
そんなこと分かりきっていますが…
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/28(金) 05:26:14.98 ID:UDTInPuv.net]
- 整理しておきます。
問題>>287
> 偏りのない１枚のコインを繰り返し投げるとき、表がn回連続するまでの投げる回数の期待値を求めよ。
解答>>288
> 期待値が有限値であることを仮定して、それをa(n)とおく
> 表がn回連続した状態からn+1回連続するまでに投げる回数の期待値は
> 1+a(n+1)/2と表せるので，
> a(n+1)=a(n)+1+a(n+1)/2、すなわち
> a(n+1)=2a(n)+2
> という漸化式が成り立つ
> これとa(0)=0より
> a(n)=2^(n+1)-2
問題>>291
> 偏りのない１枚のコインを繰り返しn回投げるとき、表が連続する最大回数の期待値を求めよ。
例(n=3の場合)>>298
> 念のため、n=3 の場合で説明する。 表が連続する最大回数を kとおく。表を○、裏を×で表す。
>
> k=0のとき、×××となる確率は、1/8
> k=1のとき、○××、×○×、××○、○×○となる確率は、4/8
> k=2のとき、○○×、×○○となる確率は、2/8
> k=3のとき、○○○となる確率は、1/8
>
> したがって、表が連続する最大回数の期待値 E(3) は、
>
> E(3) = 0・(1/8) + 1・(4/8) + 2・(2/8) + 3・(1/8) = 11/8
- 314 名前：256=287=291 mailto:sage [2015/08/28(金) 05:34:33.89 ID:UDTInPuv.net]
- まだ解かれていないもの
問題>>256
> ルーレットで赤か黒に賭けて勝つ確率は、どちらも9/19。
> 毎回1ドルずつ賭け、元金900ドルを1000ドルに増やしたい。
> 1000ドルになるか、0ドルになるまで続ける。
> p=9/19、x=900、y=1000 とおくとき、1000ドルに達する確率は
> (((1-p)/p)^x-1)/(((1-p)/p)^y-1) で表せることを証明せよ。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/28(金) 05:37:28.31 ID:UDTInPuv.net]
- >>291
念を押すけど、>>291は答えが準備できていません。
>>299
> ちなみに、 >>292 氏が書いてるのは、
> >>291 の問題ではなく、 >>287 の問題のn=2のケースのようだぞ？
なるほど。
てっきり>>292氏が、>>291の問題を勘違いして解いていたのかと思っていました。
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/28(金) 05:45:42.43 ID:UDTInPuv.net]
- あたりき しゃりきの こんこんちき
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/29(土) 14:49:44.64 ID:lXTUasUq.net]
- >>256,304
xから始めて yに達する確率を P(x)とすると
P(0)=0, P(x) = (1-p)P(x-1) + pP(x+1) (0<x<y), P(y)=1.
これを解けば、 P(x) = (((1-p)/p)^x-1)/(((1-p)/p)^y-1).
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/29(土) 16:06:35.07 ID:YCiHvtOJ.net]
- この問題と同等の問題が、過去スレのどっかにあるはず。
出題者が「高校生に解けるはず」とか書いていたが、
ここで言うところのP(1)を結論から持ってきたようで、
P(0)、P(1)と漸化式から一般式を導いていたようだ。
確かに、P(0)、P(1)と漸化式があれば、高校生でも回答可能だ
だが、P(1)の計算方法を具体的に示し、
「このようにP(1)の計算は困難だが、それでも高校生に可能か」
のような質問をしたが、返答が無かったように記憶している。
その時の出題者と同一人物か？
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/29(土) 17:05:44.69 ID:SyRxSJon.net]
- どっちの出題者でもないけど、P(1)は P(y)=1 があるからわかる。
P(0)=0, P(x) = (1-p)P(x-1) + pP(x+1) (0<x<y), P(y)=1.
漸化式を変形すると、
P(x+1) - P(x) = ((1-p)/p) {P(x) - P(x-1)} (0<x<y).
数列{P(x+1) - P(x)}は初項 P(1)-P(0)、公比 r := (1-p)/p の等比数列だから、
P(x+1) - P(x) = r^x {P(1) - P(0)} (0<=x<y).
よって、
P(x) = P(0) + Σ[k=0, x-1] {P(k+1) - P(k)} = P(0) + {(1 - r^x)/(1-r)} {P(1) - P(0)}.
P(0)=0 より、P(x) = {(1 - r^x)/(1-r)}P(1).
P(y)=1 より、P(1) = (1-r)/(1 - r^y).
したがって、
P(x) = (1 - r^x)/(1 - r^y) = (((1-p)/p)^x-1)/(((1-p)/p)^y-1).
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/29(土) 17:18:49.71 ID:GXuWDarj.net]
- >>309
答えありきで逆算するならそれでもいいけど
真面目にやるなら下式で証明しないとダメでしょ
P(x,t+1) = (1-p)P(x-1,t) + pP(x+1,t) (0<x<y)
まあ、やることは大して変わらないけど
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/29(土) 17:24:03.87 ID:9tBeoMHo.net]
- >>308
別人だよ
- 322 名前：１３２人目の素数さん [2015/08/30(日) 21:55:58.20 ID:lCKX1Y5g.net]
- pを奇素数とするとき, 任意の相異なる5つの正の整数に対して, そのうち2つを上手く選ぶことで, 選んだ2数の和がpでない奇素数で割り切れるようにできることを示せ.
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/30(日) 22:32:00.01 ID:/oWHA1w4.net]
- >>312
なんか微妙な表現で分かりにくくしてあるけど
うまく選ぶことで3で割り切れるようにすることもできるし
5で割り切れるようにすることもできることを示せばいいだけのような
- 324 名前：１３２人目の素数さん [2015/08/31(月) 12:27:28.60 ID:YiMuchNW.net]
- >>313
5つとも15で割って1余る整数のとき、どの2つの和も3や5で割り切れない
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/31(月) 13:09:06.91 ID:yUZ5qTrj.net]
- >>314
あそうか、なんか問題読み違えてた。
任意の5つの正の整数があれば、
2数の和を割り切る奇素数が少なくとも2つ存在することを言えばいいのかな。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/02(水) 17:35:22.12 ID:XNWv0rxl.net]
- >>312
S={a,b,c,d,e}をa<b<c<d<eなる5つの正整数からなる集合とし、
どの2つを選んでもその和はp以外の奇素数で割り切れないとする。
Sの元に共通因数があれば、それで割った数からなる集合S'も
やはり上の条件を満たす。
よって最初からSの元に共通因数は無いものとする。
このような集合Sが存在しないことを示せばよい。
A,B,C(A<B<C)をSの中から任意に選んだとき、
A+CとB+Cがともに2の冪乗と仮定すると2(A+C)≦B+C<2Cとなり矛盾。
よってA+CとB+Cのうち一方はpの倍数である。
よってa+d,b+d,c+dのうち2つはpの倍数。
同じくa+e,b+e,c+eのうち2つはpの倍数。
よってa+dとa+eがともにpの倍数であるか、
またはb+dとb+eがともにpの倍数であるか、
またはc+dとc+eがともにpの倍数である。
いずれの場合もe-dはpの倍数となる。
ここでd+eがpの倍数でないと仮定するとa+e,b+e,c+eはpの倍数。
よってc-aとc-bはともにpの倍数。
またa+cまたはb+cのうち一方はpの倍数。
よって(c-a)+(a+c)=(c-b)+(b+c)=2cはpの倍数なのでcはpの倍数。
これとc+eがpの倍数であることからeはpの倍数。
続いてa,b,dもpの倍数であることがいえる。
よってSの元に共通因数pがあることになり矛盾。
したがってd+eはpの倍数である。（続く）
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/02(水) 17:36:14.61 ID:XNWv0rxl.net]
- d+e,e-dがともにpの倍数であることからd,eはpの倍数。
これとa+d,b+d,c+dのうち2つはpの倍数であることから
a,b,cのうち2つはpの倍数。
これとa+c,b+cのうち一方がpの倍数であることからcはpの倍数。
さらにa,bがともにpの倍数とするとSの元に共通因数pが
あることになり矛盾するので、a,bのうち一方はpの倍数でない。
以下、aがpの倍数でないとする。
bがpの倍数でないとしても同様なのでこの場合は省略。
c,d,eはpの倍数でありaはpの倍数でないから、
a+b,a+c,a+d,a+eはpの倍数でないので2の冪乗である。
よってa+c,a+d,a+eは4の倍数でありe-c,e-dは4の倍数となる。
ここでc+eとd+eのうち一方が4の倍数と仮定すると、
(e-c)+(c+e)=(e-d)+(d+e)=2eは4の倍数となりeは偶数となる。
これとa+eが2の冪乗であることからaは偶数。
続いてb,c,dも偶数であることがいえる。
よってSの元に共通因数2があることになり矛盾。
したがってc+eとd+eはどちらも4の倍数ではない。
e-cとe-dが偶数であることからc+eとd+eはともに偶数である。
よって整数s,t(0<s<t)を用いて
c+e=2p^s
d+e=2p^t
と表せるが、
p(c+e)=2p^(s+1)≦2p^t=d+e<2eとなり矛盾。
したがって、条件を満たすような集合Sは存在しない。
ちなみに4つの場合は1,5,7,11のような例がある。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 07:36:05.84 ID:bNPipVA3.net]
- >>312
五つの相異なる正整数a,b,c,d,eに対し、十通りの和 a+b、a+c、a+d、．．．、d+e全てが、2^m*p^n 型になるような5数の選び方は無いことを証明すれば
- 329 名前：よい。
これが示されれば、五つの相異なる正整数を選べば、必ずその中に、2^m*p^n型で無い二数の和が有ることになり、それは、2、p以外の素因数を持つ。
そのような5数a,b,c,d,eが見つかったとすると、2a,2b,2c,2d,2e、も自動的に条件を満たすので、５数の内少なくとも一つは奇数としてよい。（※）
同様に、pa,pb,pc,pd,pe、も自動的に条件を満たすので、５数の内少なくとも一つはpで割り切れないとしてよい。（※※）
(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)なので、(a+b),(a+c),(b+c)の中に奇数は０個か２個ある → a,b,cに奇数は１個か３個ある。
同様の議論を、(a+c),(a+d),(c+d)の間等でも行い、（※）も考慮すると、結局、a,b,c,d,e全てが奇数であるとしてよい。
(a+b)、(a+c)、(b+c)はいずれもpの倍数だとすると、(a+b) + (b+c) = (a+c) + 2b であるから、bもpの倍数でなければならない。
すると、aもc、pの倍数となる。この検討を(a+c),(a+d),(c+d)等へ波及していくと、結局、abcde全てが、pの倍数でなければならなくなり、(※※)に違反する
つまり、(a+b)、(a+c)、(b+c)の中に、2^m型の数がある。(mは明らかに2以上)
仮にそれをa+b=2^sとし、b+c=2^x*p^y,a+c=2^u*p^vとすると、(a+b) + (b+c) = 2^s + 2^x*p^y = (a+c) +2b = 2^u*p^v + 2b
b= 2^(s-1) + 2^(x-1)*p^y - 2^(u-1)*p^v となるが、bは奇数なので、xかuの一方は1、他方は2以上でなければならない。
つまり、(a+b)、(a+c)、(b+c)のように、a,b,c,d,e中から3数を選び、その中の組み合わせで作った三つの和は、
一つは2^m型（以後Ａ型）、一つは2*p^n型（Ｂ型）、一つは、2^s*p^t ただしs≧2（Ｃ型）と、明確に3種類に分けることができる。
しかし、十通りの和を、矛盾無くこの3種類に分類することはできなく（下参照）、文頭の命題が証明される。 [] - [ここ壊れてます]
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 07:36:34.50 ID:bNPipVA3.net]
- ４つならば、a=1、b=5、c=7、d=11の時
a+b
a+c b+c
a+d b+d c+d とすると
06(Ｂ型)
08(Ａ型) 12(Ｃ型)
12(Ｃ型) 16(Ａ型) 18(Ｂ型) の様に可能。
２段目までは必然、3段目一番左a+dの位置を仮にＡ型にすると、b+dの位置はＣ型になるが、b+c、b+d、c+dの関係が矛盾する
従って3段目一番左a+dの位置はＣ型になり、残りも確定。このように、型の入れ替えを除いて、可能なパターンはこれだけ
５つならば
a+b
a+c b+c
a+d b+d c+d
a+e b+e c+e d+e
a+bがＢ型なので、a+eをＡ型とすると、b+eはＣ型とせねばならないが、b+cがＣ型なので、無理
従って、a+eをＣ型、b+eはＡ型となるが、b+dがＡ型なので、やはり矛盾する。
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 12:10:25.76 ID:iq8wMPDx.net]
- >>318
間違いだらけだな。
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 13:42:51.33 ID:Kz60zSMw.net]
- ＞(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)なので、(a+b),(a+c),(b+c)の中に奇数は０個か２個ある → a,b,cに奇数は１個か３個ある。
a,b,cについての恒等式からa,b,cの偶奇の組合せが絞られるわけないわな
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 14:14:00.03 ID:nh2qC05S.net]
- a,b,c,d,e全てが偶数であるケースを除いて考えてよいので、
可能性として残るのは、a,b,c,d,e全てが奇数の時のみ
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 14:19:43.64 ID:77MtUAG6.net]
- 確かにこの段階で、除外するのは早々なので、
誤：(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)なので、(a+b),(a+c),(b+c)の中に奇数は０個か２個ある → a,b,cに奇数は１個か３個ある。
正：(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)なので、(a+b),(a+c),(b+c)の中に奇数は０個か２個ある → a,b,cに奇数は０個か１個か３個ある。
と訂正しておく
- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 15:15:01.98 ID:Kz60zSMw.net]
- a,b,cについての恒等式から（以下略
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 20:06:53.92 ID:ZTPCiJii.net]
- あ、なるほど、いろいろ検討している内に、a+b、a+c、...、d+e の十個の和は、全て偶数であることが
当たり前と思っていたので、それを前提に議論を進めていたが、そうで無い場合についても言及せねばならなかった。
a,b,c,d,eの中の奇数の数が０個の時、a+b,a+c,,,,,d+eの１０個の和の内、奇数の数は０個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が１個の時、同、４個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が２個の時、同、６個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が３個の時、同、６個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が４個の時、同、４個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が５個の時、同、０個
となるが、a+b,a+c,,,,,d+eの１０個の和全てが偶数なら、a,b,c,d,e全てが偶数か、全てが奇数と結論できる。
前者を除いたので、a,b,c,d,e全てが奇数となり、その後の内容が>>318の通り
ここで、10個の和全てが偶数で
- 337 名前：は無い場合について少し説明を加えると、
10個の和の内、４個が奇数の場合は、a,b,c,d,e全てが、pの倍数か、残り６個の和が全てが2の冪数と要請される。
前者は前提から除かれ、後者も、(b+d)+(c+e)=(b+e)+(c+d)という関係式から、
x<u、x<v、u<y、v<yという条件で、2^x+2^y=2^u+2^vという関係を満たす必要があり、不可能と判る。
６個が奇数の場合は、a,b,c,d,e全てが、pの倍数となり、やはり除かれる。 [] - [ここ壊れてます]
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