- 1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
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- 892 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:29:39.10 ID:tzJnOZXz.net]
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- 893 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:29:55.82 ID:tzJnOZXz.net]
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- 894 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:12.86 ID:tzJnOZXz.net]
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- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:16.30 ID:7xVhMtBb.net]
- >>845
ちなみに、四面体角の半分
θ/2 = 54ﾟ 44' 08.2"
をマジック角というらしい...
- 896 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:31.32 ID:tzJnOZXz.net]
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- 897 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:52.04 ID:tzJnOZXz.net]
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- 898 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:31:07.92 ID:tzJnOZXz.net]
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- 899 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:31:24.34 ID:tzJnOZXz.net]
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- 901 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:31:53.00 ID:tzJnOZXz.net]
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- 902 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:32:25.58 ID:tzJnOZXz.net]
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- 903 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:32:42.34 ID:tzJnOZXz.net]
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- 904 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:32:59.02 ID:tzJnOZXz.net]
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- 905 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:33:15.27 ID:tzJnOZXz.net]
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- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/02(金) 09:19:29.71 ID:SUPq4p5E.net]
- いい勉強になった ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
- 907 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 09:29:05.58 ID:tzJnOZXz.net]
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- 908 名前：１３２人目の素数さん [2016/12/03(土) 01:04:48.92 ID:JV/Azs1X.net]
- 実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=3 をみたすとき，a+b+c-abc の最大値は？
- 909 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:07:58.16 ID:gn3EMfBZ.net]
- ￥
>前科持ち変質者と絶対出会える掲示板 [無断転載禁止]
>
>1 �
- 910 名前：ｼ前：１３２人目の素数さん 2016/11/16(水) 21:02:24.40 ID:8UX5OsVV
> 変質者前科持ちと気が触れ合える掲示板
>
>11 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 08:36:12.59 ID:6KwDBI7h
> 変質者前科持ち＝増田哲也
>
>12 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 09:04:39.15 ID:AZB04dZ8
> わざわざ言わんでもええ
>
>13 名前：出会える掲示板 ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/19(土) 15:58:01.20 ID:21LrO2+x
> 絶対に…
>
> ケケケ￥
>
>14 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 16:31:33.55 ID:6KwDBI7h
> 六十目前で父親逆恨みしたり掲示板逆恨みする根性の腐れっぷりは凄くて困る
> [] - [ここ壊れてます]
- 911 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:13:37.91 ID:gn3EMfBZ.net]
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- 912 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:13:53.32 ID:gn3EMfBZ.net]
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- 914 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:14:22.44 ID:gn3EMfBZ.net]
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- 917 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:15:21.83 ID:gn3EMfBZ.net]
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- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/04(日) 03:23:03.70 ID:igohLjS8.net]
- >>866
a = b = √{(5+√13)/6} = 1.197605338
c = -√{(4-√13)/3} = -0.36260572
のとき
a+b+c - abc = 2a +(aa-1)(-c)
= 2a + ((√13 -1)/6)(-c)
= 2.552675308961574826258
かな。
- 922 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:06:07.90 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 925 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:07:02.34 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 929 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:11.85 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 932 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:21:59.35 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 933 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:48:45.55 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/04(日) 07:47:28.84 ID:igohLjS8.net]
- >>866
ついでに…
a=b=c=1 で 2（鞍点？）
a=b=0.4820872, c=1.5922260 で 2.1863542858636（極大)
a=b=0, c=√3 で √3（極小？)
- 935 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:08.84 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 936 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:28.71 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 937 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:47.04 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 938 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:05.08 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 939 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:25.54 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 940 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:42.99 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 941 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:01.86 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 942 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:22.01 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 943 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:41.03 ID:l4ny/Yu3.net]
- ￥
- 944 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:57:01.30 ID:l4ny/Yu3.net]
- ￥
- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 11:42:11.58 ID:9Kv+bmZv.net]
- xi > 0,
A(n) = (x1+x2+...+xn)/n, 相加平均
G(n) = (x1･x2･...･xn)^(1/n), 相乗平均
H(n) = n/(1/x1+1/x2+...+1/xn), 調和平均
とおく。
[1] 略
[2]
A(2) + m･H(2) ≧ (1+m)G(2), m=1.0
[3]
A(3) + m･H(3) ≧ (1+m)G(3), m=0.90096030150908885
(1,1,x3) x3=0.396257004730747667698678 は 64x^3 +87x^2 -42x -1 =0 の根
[4]
A(4) + m･H(4) ≧ (1+m)G(4), m=0.7761577683742073233
(1,1,1,x4) x4=0.229929540827345357763 は 6561x^5 +18299x^4 +11210x^3 -3210x^2 -91x-1=0 の根
が成り立つか？
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 14:03:12.44 ID:SKxowvFC.net]
- >>902
成り立ちます
五変数以上になると厳密な評価は難しそう
- 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:21:43.32 ID:SKxowvFC.net]
- >>902
(3)
A[3] + m*H[3] ≧ n*G[3]
ここで m=0.90096, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 0.39625)
(4)
A[4] + m*H[4] ≧ n*G[4]
ここで m=0.77615, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 1, 0.39625) または (1, 1, 4.32911, 4.32911)
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:22:42.49 ID:SKxowvFC.net]
- (4) は 0.39625 じゃなく 0.22992 ね
- 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:42:04.76 ID:SKxowvFC.net]
- また間違えちゃった (4) は (1, 4.34915, 4.34915, 4.34915) だ
- 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 23:41:34.31 ID:SKxowvFC.net]
- >>902
[4]
p=1.444113430416044 は x^5+3*x^4+6*x^3-6*x^2-11*x-9=0 の解
q=0.692466380367298 は 9*x^5+11*x^4+6*x^3-6*x^2-3*x-1=0 の解
等号成立は (p, p, p, 1), (q, 1, 1, 1) のとき
等号を成立させる方程式の係数と符号が反転してて面白いので載せてみた
- 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 23:43:41.41 ID:SKxowvFC.net]
- (p^4, p^4, p^4, 1), (q^4, 1, 1, 1) でした
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/06(火) 06:14:40.46 ID:61lM6Ipy.net]
- >>903-908
thx.
>>902
x_3 = t^3 とおくと、
4t^3 + 3t^2 - 3t - 1 = 0,
t = {2(√5)cosθ -1}/4 = 0.734500874964259
ただし θ = (1/3)arccos[1/(5√5)] = 0.49374463978515
- 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/06(火) 07:59:56.74 ID:61lM6Ipy.net]
- >>903
n-5 は
[5]
A(5) + m･H(5) ≧ (1+m)G(5), m=0.676175
（1,1,1,1,r^5) r = 0.6897105532534071796 は 16r^7 + 23r^6 +21r^5 +10r^4 -10r^3 -6r^2 -3r -1 =0 の正根。
と予想するが...
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/09(金) 00:17:37.77 ID:sgxdKdhy.net]
- >>910
成り立つよ
一般に，等号成立はn-1 個の変数が等しいとき
- 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/09(金) 00:40:57.61 ID:sgxdKdhy.net]
- 最近の不等式の証明技法をまとめようかなと思ってるけど面倒でやる気が起きない
- 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/11(日) 09:01:03.18 ID:688mVHLv.net]
- >>911 のとき
ｘ = {1,1,････,t^n}
A(n) = [t^n + (n-1)] / n,
G(n) = t,
H(n) = n･t^n / [(n-1)t^n + 1]
A-G = (t-1)^2 (1/n) f(t),
G-H = (t-1)^2 {t/[(n-1)t^n + 1]} g(t),
(A-G)/(G-H) = [(n-1)t^n +1]f(t) / {nt･g(t)} ≧ m,
ここで
f(t) = [t^n -nt +(n-1)] / (t-1)^2 = t^(n-2) + 2t^(n-3) + ････ + (n-2)t + (n-1),
g(t) = [(n-1)t^n -nt^(n-1) +1] / (t-1)^2 = (n-1)t^(n-2) + (n-2)t^(n-3) + ････ +2t +1,
(A-G)/(G-H) が極小のとき、
[(n-1)^2･t^n -1]{f(t)/g(t)} + [(n-1)t^n +1]t{f(t)/g(t)} ' = 0,
[(n-1)^2･t^n -1]f(t)g(t) - [(n-1)t^n +1]t{f(t)g '(t) - f'(t)g(t)} = 0,
ここで
f(t)g(t) = Σ[k=0～n-3] ((k+1)(k+2)(3n-3-k)/6){t^k + t^(2n-4-k)} + ((n-1)n(2n-1)/6)t^(n-2),
f(t)g '(t) - f '(t)g(t) = n･Σ[k=0～n-4] ((k+1)(k+2)(k+3)/6){t^k + t^(2n-6-k)} + n((n-2)(n-1)n/6)t^(n-3),
- 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/19(月) 03:17:02.97 ID:4qCEI1DC.net]
- >>902 >>910
Sierpinskiの不等式
A(n)^(n-1)･H(n)≧G(n)^n
を使えば
A(n) + (1/(n-1))H(n) ≧ (n/(n-1)){A(n)^(n-1)･H(n)}^(1/n) ≧ (n/(n-1))G(n),
m ≧ 1/(n-1),
は簡単に出ます。
しかし掛け算すると、ｘ→（1,1,････,1,0）のとき下限値1/(n-1)に近づくので、これ以上改良できそうにない…
というワケで加減で比べてみました。
- 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/20(火) 06:49:30.48 ID:9UZFmJjk.net]
- >>914
〔Sierpinskiの不等式〕
A(n+1)^n･H(n+1)/G(n+1)^(n+1) ≧ A(n)^(n-1)･H(n)/G(n)^n ≧ ･･･ ≧ A(2)H(2)/G(2)^2 = 1,
(略証)
nについての帰納法で。
n=2のとき、等号成立。
x_{n+1} = x,
A(n)=Ao, G(n)=Go, H(n)=Ho,
A(n+1)=A, G(n+1)=G, H(n+1)=H,
と略記する。
A = (n･Ao + x)/(n+1)
G^(n+1) = x･Go^n,
1/H = (n/Ho + 1/x)/(n+1),
(A^n･H)/G^(n+1) ÷ {Ao^(n-1)･Ho}/Go^n
= {A^n/Ao^(n-1)} H/(Ho･x)
≧{n･A -(n-1)Ao} H/(Ho･x)
= (Ao + nx)/(Ho + nx)
≧ 1, (← Ao≧Ho)
- 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/20(火) 14:43:09.84 ID:9UZFmJjk.net]
- 〔問題〕
A, B が実対称行列のとき、次を示せ。
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)},
等号成立は AB=BA のとき。
（京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。
数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978) No.96
- 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/23(金) 15:20:00.53 ID:N1oFke4u.net]
- >>902 >>910 >>914
n >>1 のとき、
m ～ {1.157*log(n) + 1.111}/(n-1),
A(n) ～ (n-1)/n,
G(n) ～ 1/(1+m),
らしい。
- 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/23(金) 22:29:02.46 ID:N1oFke4u.net]
- >>914
〔Jacobsthalの不等式〕
(n+1)(A-G) ≧ n(Ao - Go),
(略証)
（左辺）= (n･Ao +x） -(n+1)(Go^n･x)^{1/(n+1)}
≧(n･Ao +x) - (n･Go +x)
= n(Ao - Go)
=（右辺）,
- 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/25(日) 03:08:58.00 ID:HgkzhkFu.net]
- >>918
(n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n ≧ (n+1)G - nGo,
∴ (n+1)(A-G) ≧ n(Ao-Go),
同様にして
A^(n+1)/Ao^n ≧ (n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n,
∴ (A/G)^(n+1) ≧ (Ao/Go)^n,
- 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/25(日) 05:29:38.31 ID:HgkzhkFu.net]
- >>917
nが10～1000 の辺りでは
m ～ {1.1287*log(n) + 1.2272}/(n-1),
1/H ～ 1.153*log(n),
1/x ～ 1.153n*log(n) - (n-1),
A(n) = (n-1+x)/n,
らしい。
- 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/04(水) 00:41:34.36 ID:F1JEFz8G.net]
- 〔問題567〕
a,b,cを和が３となる正の実数とする。このとき次を示せ。
√{b/(aa+3)} + √{c/(bb+3)} + √{a/(cc+3)} ≦ 3/2,
高校数学の質問スレPart397(c)
rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1456656899/567
- 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/08(日) 06:07:07.63 ID:rl9rb1ia.net]
- >>921 (注意)
1/(aa+3) + 1/(bb+3) + 1/(cc+3) ≦ 3/4,
は成り立ちません。
a = b = 0.29712745268 (*)
c = 2.40574509464
のとき、
0.761405273304
(*) 2a^3 -7a^2 +12a -3 = 0 の根
(1/6){7 + (36√58 -251)^(1/3) - (36√58 +251)^(1/3)},
- 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/10(火) 04:33:57.70 ID:FU/1ZKud.net]
- >>921 (注意)
(2√b)/(a+3) + (2√c)/(b+3) + (2√a)/(c+3) ≦ 3/2,
も成り立ちません。
a = 0.818145
b = 0.823310
c = 1.358545
のとき
1.500059562452
- 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/11(水) 12:38:59.99 ID:o5/kKbcv.net]
- 〔問題〕
a,b,cを正の実数とするとき、次を示せ。
[2] a + √(ab) ≦ ｛(1+√2)/2}(a+b),
[3] a + √(ab) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)(a+b+c),
- 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/12(木) 09:21:49.92 ID:OCuLi6LZ.net]
- a,b,c,dを正の実数とするとき、
[4] a + √(ab) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ K(4)(a+b+c+d),
K(4) = 1.4208443854096138127
- 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/12(木) 11:12:31.15 ID:OCuLi6LZ.net]
- >>924-925
〔Carlemanの不等式〕（有限版）
相加-相乗平均をたした形であるが、そのままでは係数が合わない。
そこで正の係数 c_1～c_n を掛けて
K(n)･(a1+a2+････+an) － {a1 + √(a1･a2) + ･････ + (a1･a2････an)^(1/n)}
= Σ[L=2～n] {(c1･a1+c2･a2+･････+cL･aL)/(L･d_L) - (a1･a2･･･aL)^(1/L)},
とおく。ここに、d_L = (c1･c2･････cL)^(1/L),
a_L の係数を比べて
1/(L･dL) + 1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_L,
1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_(L+1),
辺々引いて
1/(L･dL) = K/c_L － K/c_(L+1),
∴ 1/c_(L+1) = 1/c_L － 1/(K･L･d_L),
により c_Lが定まる。
c_1 = 2 とおくと、
c_2 = 2K/(K-1),
c_3 = 2K/{K -1 -√((K-1)/4K)},
････
また、K(n) は 1/c_(n+1)=0 から定まる。
- 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/16(月) 05:37:39.15 ID:+viXJ8tP.net]
- カレーパンマンの不等式キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！
- 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/17(火) 10:39:38.76 ID:Qggnth+1.net]
- 〔Stirlingの公式〕
正の整数ｎについて
log(n!) ＞ (n+1/2)log(n)－ｎ＋0.8918
を示せ。
- 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/21(土) 18:59:32.43 ID:HdECjTmQ.net]
- 1/2 ≦x≦1、0<a≦y≦2a のとき、x/y + y/x -xy のとりうる値の範
- 973 名前：囲を求めよ。 []
- [ここ壊れてます]
- 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 07:55:35.43 ID:j1H92TDS.net]
- >>929
・0＜a≦1/(2√5）のとき［3a＋1/(4a)，1/a］
最小：(x，y)＝(1/2，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/(2√5)≦a≦1/(2√2）のとき［2√{1-(2a)^2}，1/a］
最小：(x，y)＝(2a/√{1-(2a)^2}，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/(2√2)≦a≦1/2 のとき［1/(2a)，1/a］
最小：(x，y)＝(1，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/2≦a のとき［1/(2a)，3a＋1/(4a)］
最小：(x，y)＝(1，2a)
最大：(x，y)＝(1/2，2a)
- 975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/26(木) 19:21:52.26 ID:wshNWY83.net]
- >>930
エレガントな解き方あるのん？
- 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/11(土) 13:08:49.63 ID:cVU0SCtk.net]
- 不等式の問題をハッケソ！
www.toshin.com/concours/
- 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/14(火) 01:57:11.20 ID:U44OFY/t.net]
- 単位円（原点Oを中心とする半径1の円）の周上に2点 A,B がある。
∠AOB = ω の二等分線を OM とすると
∠AOM = ∠MOB = ω/2,
また、OMと反対の方向に点Cをとる。
∠OCA = θ，OC=k とおくと、
tanθ = sin(ω/2)／{k＋cos(ω/2)},
とくに k=2 のとき
tanθ = sin(ω/2)／{2＋cos(ω/2)｝< ω/6，（仁平氏による）
数セミ '17年3月号 p.44 NOTE
- 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/14(火) 02:35:05.63 ID:U44OFY/t.net]
- >>933
〔補題〕
0<t<π のとき
sin(t) < 3sin(t)/{2+cos(t)} < t,
｛sin(t)，sin(t)，tan(t)｝の調和平均はｔより小さい。（B.C.Carlson)
(略証)
左側は明らか。
右側はｔで微分して
3cos(t)/{2+cos(t)}＋3{sin(t)}^2/{2+cos(t)}^2
=１－3{[1-cos(t)]/[2+cos(t)]}^2
< 1,
不等式の和書[3] p.45 の式でｘをcos(2t)とおく。
なお、相加平均はｔより大きい。（Snellius-Huygens)
- 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/18(土) 13:35:55.24 ID:8Xd9SMLI.net]
- a,b,c≧0の時
a(a-b)(a-2b)+b(b-c)(b-2c)+c(c-a)(c-2a)≧0
を示せ
- 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/22(水) 16:20:23.47 ID:zQPH35Dc.net]
- >>935
a,b≧c≧0 としてもよい。
(左辺) = (a-c)(a-2b+c)^2 + b(a-b)^2 + c(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
対称式ぢゃないからﾁｮﾄ面倒...
- 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/26(日) 18:46:56.98 ID:6Ynn6p4F.net]
- a、b、c ∈[0,1] のとき、{ab(1-c)}^(1/p) + {bc(1-a)}^(1/p) + {ca(1-b)}^(1/p) ≦ 1
- 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/26(日) 23:13:36.91 ID:DmeGzA4L.net]
- >>934 〔応用問題〕
１周の長さが 2π である正n角形において、外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、
(1） r < 1 < R,
(2） 3／(2/R + 1/r) < (RRr)^(1/3) < 1 < (2R+r)/3,
を示せ。
- 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/27(月) 17:58:31.54 ID:tcvWjEXJ.net]
- >>937
p≦3/2 のとき
{ab(1-c)}^(1/p）≦｛ab(1-c)}^(2/3)
≦｛ab+b(1-c)+(1-c)a}/3 （←相乗･相加平均）
=｛1-(1-a)(1-b)+(2ab-bc-ca)}/3
≦｛1 + (2ab-bc-ca)}/3,
巡回的にたす。
p＞3 - log(4)/log(3）= 1.7381405 のとき不成立
反例 (a,b,c）=（2/3,2/3,2/3）
- 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/01(水) 18:16:01.30 ID:7mo/d06r.net]
- >>937
元ネタ（Terence Tao）
https://terrytao.wordpress.com/2017/02/05/a-bound-on-partitioning-clusters/
- 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/03(金) 07:01:45.16 ID:Fl6w77Qk.net]
- △ABCについて次を示せ。
(tan(A/2)+tan(B/2))^(-1/2)
+(tan(B/2)+tan(C/2))^(-1/2)
+(tan(C/2)+tan(A/2))^(-1/2)
≧2+2^(-1/2)
- 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/04(土) 16:24:50.85 ID:HY67hoMk.net]
- >>938
(1)
辺の長さ 2π/n,
r = π/{n･tan(π/n)} < 1,
R = π/{n･sin(π/n)} > 1,
- 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/05(日) 22:51:16.40 ID:rca0XhBC.net]
- 〔問題2714〕
a,b,c,p,q,r は正の実数で、abc=1, p≧2, q≧2, r≧2 をみたすとする。
(a^p +p)(b^q +q)(c^r +r)
≧ (2+aa)(2+bb)(2+cc)
≧ (2+1/a)(2+1/b)(2+1/c)
≧ (2+√a)(2+√b)(2+√c)
≧ {2 + 1/a^(1/4)}{2 + 1/b^(1/4)}{2 + 1/c^(1/4)}
≧ {2 + a^(1/8)}{2 + b^(1/8)}{2 + c^(1/8)}
≧ ･････
≧ 27,
を示せ。（「すうじあむ」の問題を元に改作）
suseum.jp/gq/question/2714
- 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/08(水) 00:01:03.85 ID:hSPnYqZt.net]
- 正の数nと、正の実数a_1、…a_nに対し、次式をみたす実数Mの最大値を求めよ。
n・Σ[1≦k≦n] (a_1 + … + a_k)・(a_k)^2 ≧ M・(a_1 + … + a_n)^3
- 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/08(水) 07:51:24.09 ID:hSPnYqZt.net]
- The positive numbers x, y satisfy the equation x^3 + y^3 = x?y. Prove that x^2 + y^2 < 1.
The positive numbers a_1,…,a_n satisfy √a_1 + … + √a_n = 1. Show that (a_1)^(a_1)・…・(a_n)^(a_n) ≧ (a_1 + … + a_n)^2.
Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] 1/|xi?xj| + 1/{2π?|xi?xj|} ≧ (n^2/π)納k=1 to n?1] 1/k.
- 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/09(木) 09:14:49.54 ID:3QaTlDUD.net]
- -が?に文字化けしているな
Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] (1/|x_i-x_j| + 1/{2π-|x_i-x_j|} ) ≧ (n^2/π)納k=1 to n-1] 1/k.
- 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/10(金) 00:46:09.66 ID:VVolMD9v.net]
- >>944
n=1 のとき M_1 = 1,
n=2 のとき M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.73773938
2{a^3 + (a+b)bb} - M_2･(a+b)^3 = (2-M_2)･(a-tb)^2･(a+b/tt) ≧0,
t = (1+√7)/3 = 1.215250437
>>945 上
題意より xy ≧ 0,
(x-y)y ≧ 0,
xx+xy+yy = (x^3-y^3)/(x-y) = 1 - 2(y^3)/(x-y) ≦ 1,
- 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/11(土) 03:43:57.83 ID:S/5xVczT.net]
- >>944
M_n は既知とし、
a_{n+1} = x,
a_1 + a_2 + ････+ a_n + x = S,
とおく。
a_1 + a_2 + ････+ a_n = S-x,
(左辺) = {M(n)/n}(S-x)^3 + Sxx = f(x),
f '(x) = -3{(M_n)/n}(S-x)^2 + 2Sx
= -3{(M_n)/n}{xx - 2(coshθ)Sx + SS} {coshθ=1+n/(3M_n) とおいた}
= -3{(M_n)/n}{x - S･e^(-θ)}(x - S･e^θ),
左辺は x = S･e^(-θ）で最小となる。このとき
S - x = S{1 - e^(-θ)},
f(S･e^(-θ)) / S^3 = {(M_n)/n}{1 - e^(-θ)}^3 + e^(-2θ)
= M_(n+1)/(n+1),
ここに、coshθ = 1 + n/(3M_n),
これにより M_{n+1} が定まる。
M = lim[n→∞] M_n = 4/9.
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