- 1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
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- 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/09(日) 15:18:04.31 ID:Dmd9ztww.net]
- >>820
凸関数じゃないんだけど
>>819
f(x) = (x+1)/sqrt(x^3+1) とおく。x ≧ y ≧ z と仮定してよい
・x ≦ 32.82951185 のとき
f(x) ≦ -log(x)/2sqrt(2) + sqrt(2) からこれを巡回的に足して主張を得る
・x ≧ 32.82951185 のとき
z ≦ 1/sqrt(32....) = 0.174529 である。よって
f(x) ≦ f(32...) ≦ 0.179843
f(y) ≦ f(0.73...) ≦ 1.46788
f(z) ≦ f(0.17...) ≦ 1.17142
となる。したがって
LHS ≦ 0.179843 + 1.46788 + 1.17142 ≦ RHS
が得られる
3f(x) ≦ 4.40366..., RHS = 4.24264 だから値域を少し厳密に評価するだけで解ける
- 863 名前：816 mailto:sage [2016/10/10(月) 04:11:35.08 ID:noR8aJyR.net]
- >>821
凸性と言ったのは
√a + √b + √c ≦ √(1+1+1)･√{a+b+c},
という意味です。
コーシーを持ち出すまでもないと思ったので…
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/10(月) 05:41:25.02 ID:noR8aJyR.net]
- >>819 を改造してみる…
実数 x、y、z（≧-1）が x+y+z≧3 をみたすとき、
√{(x+1)/(xx-x+1)} + √{(y+1)/(yy-y+1)} + √{(z+1)/(zz-z+1)} ≦ 3√2,
実数 x、y、z（≧-1）が x+y+z≦3/2 をみたすとき、
√{(x+1)/(xx-x+1)} + √{(y+1)/(yy-y+1)} + √{(z+1)/(zz-z+1)} ≦ 3√2,
- 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/14(金) 16:19:00.33 ID:s2NnBcrE.net]
- 正の実数 a, b, c に対して次の不等式を示せ
Σ[cyc] (a+2c)/(a+2b) ≧ sqrt((5(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)) + 4)
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/15(土) 04:34:28.61 ID:htY30JEj.net]
- >>824
s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc, ⊿=(a-b)(b-c)(c-a) とおくと、
(左辺) = 2s{1/(a+2b)＋1/(b+2c)＋1/(c+2a)}－3 = 2s{(2ss+3t)/(3st-⊿)}－3,
(右辺) = √(5ss/t－6),
さて、どうする？
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/08(火) 04:15:31.61 ID:LIWaiFBV.net]
- 〔相加-相乗平均〕
(a_1)^n＋(a_2)^n＋……＋(a_n)^n－ n･a_1･a_2……a_n
＝Σ[i<j] (a_i-a_j)^2 Ｐ_(i,j)
Ｐ_(i,j)＝{1/(n-1)}Σ[k=0,n-2] {ai^
- 868 名前：(k+1)－aj^(k+1)}/(ai-aj)･Ｑ_(n-2-k)(i,j)
Ｑ_L(i,j)は、aiとajを除く(n-2)文字によるL次の基本対称式を、その項数Ｃ[n-2,L]で割ったもの。
Ｑ_0＝1,
(注）
{ai^(k+1)－aj^(k+1)}／(ai－aj)＝(ai)^k＋(ai)^(k-1)･aj＋……＋ai･(aj)^(k-1)＋(aj)^k,
なので、正係数の多項式である。
「フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式」と云うらしい。 [] - [ここ壊れてます]
- 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/16(水) 12:48:24.75 ID:sZgcCO+R5]
- 任意の非負実数 x, y, z に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数 k は？
|(x-y)(y-z)(z-x)| ≦ k(x+y+z)((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/16(水) 13:25:30.54 ID:f4/M3jIZ.net]
- 任意の非負実数 x, y, z に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数 k は？
|(x-y)(y-z)(z-x)| ≦ k(x+y+z)((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
- 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 09:39:23.50 ID:KCIuqlXC.net]
- >>828
x,y,zを一斉に増すと、右辺は増加、左辺は不変。
∴{x,y,z}＝{x,1,0} としてもよい。
(3k)^4＋3(3k)^2－(3/16)＝0,
k＝(-1+√3)/{12^(3/4)}＝0.1135416731
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 09:47:19.41 ID:KCIuqlXC.net]
- >>829
訂正
(3k)^4＋(3/2)(3k)^2－(3/16)＝0,
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 15:08:48.32 ID:n5BWZq4/.net]
- >>829-830
正解です
y=1, z=0 としていいことに気づけるかどうか
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 15:54:15.99 ID:n5BWZq4/.net]
- (1) a+b+c=3 をみたす任意の正の数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数は？
(a-b)(b-c)(c-a) ≦ 4/√(27abc)
(2) a+b+c=1 をみたす正の数に対して次の最大値は？
(abc)^(1/3)(a-b)(b-c)(c-a)
両方共ﾜｶﾗﾝ
- 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 22:45:45.11 ID:n5BWZq4/.net]
- >>832
間違えた(1)は不等式を示せだ
- 876 名前：１３２人目の素数さん [2016/12/01(木) 01:08:06.58 ID:laYsAhNA.net]
- hlawka って何て読むんだすか？ らうか？
何人？
- 877 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:19:17.96 ID:IC32DEwi.net]
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- 878 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:19:52.46 ID:IC32DEwi.net]
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- 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/02(金) 08:07:58.05 ID:7xVhMtBb.net]
- >>832 (1)
題意より
a+b+c = 3,
また、等号成立条件より
ab+bc+ca = 2,
abc = 2/9,
が出るので、（a,b,c）は
t^3 -3t^2 +2t -2/9 = 0,
の3実根。
すなわち
a = 1 + (2/√3)cos(θ/6) = 2.096648361
b = 1 + (2/√3)cos(θ/6 - 2π/3) = 0.764760120
c = 1 + (2/√3)cos(θ/6 + 2π/3) = 0.138591519
θ = arccos(-1/3) = 109ﾟ 28' 16.4”（四面体角）
- 888 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:28:29.02 ID:tzJnOZXz.net]
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- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:16.30 ID:7xVhMtBb.net]
- >>845
ちなみに、四面体角の半分
θ/2 = 54ﾟ 44' 08.2"
をマジック角というらしい...
- 896 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:31.32 ID:tzJnOZXz.net]
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- 902 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:32:25.58 ID:tzJnOZXz.net]
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- 903 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:32:42.34 ID:tzJnOZXz.net]
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- 905 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:33:15.27 ID:tzJnOZXz.net]
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- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/02(金) 09:19:29.71 ID:SUPq4p5E.net]
- いい勉強になった ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
- 907 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 09:29:05.58 ID:tzJnOZXz.net]
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- 908 名前：１３２人目の素数さん [2016/12/03(土) 01:04:48.92 ID:JV/Azs1X.net]
- 実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=3 をみたすとき，a+b+c-abc の最大値は？
- 909 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:07:58.16 ID:gn3EMfBZ.net]
- ￥
>前科持ち変質者と絶対出会える掲示板 [無断転載禁止]
>
>1 �
- 910 名前：ｼ前：１３２人目の素数さん 2016/11/16(水) 21:02:24.40 ID:8UX5OsVV
> 変質者前科持ちと気が触れ合える掲示板
>
>11 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 08:36:12.59 ID:6KwDBI7h
> 変質者前科持ち＝増田哲也
>
>12 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 09:04:39.15 ID:AZB04dZ8
> わざわざ言わんでもええ
>
>13 名前：出会える掲示板 ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/19(土) 15:58:01.20 ID:21LrO2+x
> 絶対に…
>
> ケケケ￥
>
>14 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 16:31:33.55 ID:6KwDBI7h
> 六十目前で父親逆恨みしたり掲示板逆恨みする根性の腐れっぷりは凄くて困る
> [] - [ここ壊れてます]
- 911 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:13:37.91 ID:gn3EMfBZ.net]
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- 912 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:13:53.32 ID:gn3EMfBZ.net]
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- 913 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:14:08.91 ID:gn3EMfBZ.net]
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- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/04(日) 03:23:03.70 ID:igohLjS8.net]
- >>866
a = b = √{(5+√13)/6} = 1.197605338
c = -√{(4-√13)/3} = -0.36260572
のとき
a+b+c - abc = 2a +(aa-1)(-c)
= 2a + ((√13 -1)/6)(-c)
= 2.552675308961574826258
かな。
- 922 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:06:07.90 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 929 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:11.85 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 930 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:29.88 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 931 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:47.84 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 932 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:21:59.35 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 933 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:48:45.55 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/04(日) 07:47:28.84 ID:igohLjS8.net]
- >>866
ついでに…
a=b=c=1 で 2（鞍点？）
a=b=0.4820872, c=1.5922260 で 2.1863542858636（極大)
a=b=0, c=√3 で √3（極小？)
- 935 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:08.84 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 936 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:28.71 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 937 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:47.04 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 938 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:05.08 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 939 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:25.54 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 940 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:42.99 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 941 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:01.86 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 942 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:22.01 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 943 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:41.03 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 944 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:57:01.30 ID:l4ny/Yu3.net]
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- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 11:42:11.58 ID:9Kv+bmZv.net]
- xi > 0,
A(n) = (x1+x2+...+xn)/n, 相加平均
G(n) = (x1･x2･...･xn)^(1/n), 相乗平均
H(n) = n/(1/x1+1/x2+...+1/xn), 調和平均
とおく。
[1] 略
[2]
A(2) + m･H(2) ≧ (1+m)G(2), m=1.0
[3]
A(3) + m･H(3) ≧ (1+m)G(3), m=0.90096030150908885
(1,1,x3) x3=0.396257004730747667698678 は 64x^3 +87x^2 -42x -1 =0 の根
[4]
A(4) + m･H(4) ≧ (1+m)G(4), m=0.7761577683742073233
(1,1,1,x4) x4=0.229929540827345357763 は 6561x^5 +18299x^4 +11210x^3 -3210x^2 -91x-1=0 の根
が成り立つか？
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 14:03:12.44 ID:SKxowvFC.net]
- >>902
成り立ちます
五変数以上になると厳密な評価は難しそう
- 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:21:43.32 ID:SKxowvFC.net]
- >>902
(3)
A[3] + m*H[3] ≧ n*G[3]
ここで m=0.90096, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 0.39625)
(4)
A[4] + m*H[4] ≧ n*G[4]
ここで m=0.77615, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 1, 0.39625) または (1, 1, 4.32911, 4.32911)
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:22:42.49 ID:SKxowvFC.net]
- (4) は 0.39625 じゃなく 0.22992 ね
- 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:42:04.76 ID:SKxowvFC.net]
- また間違えちゃった (4) は (1, 4.34915, 4.34915, 4.34915) だ
- 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 23:41:34.31 ID:SKxowvFC.net]
- >>902
[4]
p=1.444113430416044 は x^5+3*x^4+6*x^3-6*x^2-11*x-9=0 の解
q=0.692466380367298 は 9*x^5+11*x^4+6*x^3-6*x^2-3*x-1=0 の解
等号成立は (p, p, p, 1), (q, 1, 1, 1) のとき
等号を成立させる方程式の係数と符号が反転してて面白いので載せてみた
- 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 23:43:41.41 ID:SKxowvFC.net]
- (p^4, p^4, p^4, 1), (q^4, 1, 1, 1) でした
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/06(火) 06:14:40.46 ID:61lM6Ipy.net]
- >>903-908
thx.
>>902
x_3 = t^3 とおくと、
4t^3 + 3t^2 - 3t - 1 = 0,
t = {2(√5)cosθ -1}/4 = 0.734500874964259
ただし θ = (1/3)arccos[1/(5√5)] = 0.49374463978515
- 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/06(火) 07:59:56.74 ID:61lM6Ipy.net]
- >>903
n-5 は
[5]
A(5) + m･H(5) ≧ (1+m)G(5), m=0.676175
（1,1,1,1,r^5) r = 0.6897105532534071796 は 16r^7 + 23r^6 +21r^5 +10r^4 -10r^3 -6r^2 -3r -1 =0 の正根。
と予想するが...
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/09(金) 00:17:37.77 ID:sgxdKdhy.net]
- >>910
成り立つよ
一般に，等号成立はn-1 個の変数が等しいとき
- 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/09(金) 00:40:57.61 ID:sgxdKdhy.net]
- 最近の不等式の証明技法をまとめようかなと思ってるけど面倒でやる気が起きない
- 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/11(日) 09:01:03.18 ID:688mVHLv.net]
- >>911 のとき
ｘ = {1,1,････,t^n}
A(n) = [t^n + (n-1)] / n,
G(n) = t,
H(n) = n･t^n / [(n-1)t^n + 1]
A-G = (t-1)^2 (1/n) f(t),
G-H = (t-1)^2 {t/[(n-1)t^n + 1]} g(t),
(A-G)/(G-H) = [(n-1)t^n +1]f(t) / {nt･g(t)} ≧ m,
ここで
f(t) = [t^n -nt +(n-1)] / (t-1)^2 = t^(n-2) + 2t^(n-3) + ････ + (n-2)t + (n-1),
g(t) = [(n-1)t^n -nt^(n-1) +1] / (t-1)^2 = (n-1)t^(n-2) + (n-2)t^(n-3) + ････ +2t +1,
(A-G)/(G-H) が極小のとき、
[(n-1)^2･t^n -1]{f(t)/g(t)} + [(n-1)t^n +1]t{f(t)/g(t)} ' = 0,
[(n-1)^2･t^n -1]f(t)g(t) - [(n-1)t^n +1]t{f(t)g '(t) - f'(t)g(t)} = 0,
ここで
f(t)g(t) = Σ[k=0～n-3] ((k+1)(k+2)(3n-3-k)/6){t^k + t^(2n-4-k)} + ((n-1)n(2n-1)/6)t^(n-2),
f(t)g '(t) - f '(t)g(t) = n･Σ[k=0～n-4] ((k+1)(k+2)(k+3)/6){t^k + t^(2n-6-k)} + n((n-2)(n-1)n/6)t^(n-3),
- 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/19(月) 03:17:02.97 ID:4qCEI1DC.net]
- >>902 >>910
Sierpinskiの不等式
A(n)^(n-1)･H(n)≧G(n)^n
を使えば
A(n) + (1/(n-1))H(n) ≧ (n/(n-1)){A(n)^(n-1)･H(n)}^(1/n) ≧ (n/(n-1))G(n),
m ≧ 1/(n-1),
は簡単に出ます。
しかし掛け算すると、ｘ→（1,1,････,1,0）のとき下限値1/(n-1)に近づくので、これ以上改良できそうにない…
というワケで加減で比べてみました。
- 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/20(火) 06:49:30.48 ID:9UZFmJjk.net]
- >>914
〔Sierpinskiの不等式〕
A(n+1)^n･H(n+1)/G(n+1)^(n+1) ≧ A(n)^(n-1)･H(n)/G(n)^n ≧ ･･･ ≧ A(2)H(2)/G(2)^2 = 1,
(略証)
nについての帰納法で。
n=2のとき、等号成立。
x_{n+1} = x,
A(n)=Ao, G(n)=Go, H(n)=Ho,
A(n+1)=A, G(n+1)=G, H(n+1)=H,
と略記する。
A = (n･Ao + x)/(n+1)
G^(n+1) = x･Go^n,
1/H = (n/Ho + 1/x)/(n+1),
(A^n･H)/G^(n+1) ÷ {Ao^(n-1)･Ho}/Go^n
= {A^n/Ao^(n-1)} H/(Ho･x)
≧{n･A -(n-1)Ao} H/(Ho･x)
= (Ao + nx)/(Ho + nx)
≧ 1, (← Ao≧Ho)
- 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/20(火) 14:43:09.84 ID:9UZFmJjk.net]
- 〔問題〕
A, B が実対称行列のとき、次を示せ。
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)},
等号成立は AB=BA のとき。
（京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。
数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978) No.96
- 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/23(金) 15:20:00.53 ID:N1oFke4u.net]
- >>902 >>910 >>914
n >>1 のとき、
m ～ {1.157*log(n) + 1.111}/(n-1),
A(n) ～ (n-1)/n,
G(n) ～ 1/(1+m),
らしい。
- 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/23(金) 22:29:02.46 ID:N1oFke4u.net]
- >>914
〔Jacobsthalの不等式〕
(n+1)(A-G) ≧ n(Ao - Go),
(略証)
（左辺）= (n･Ao +x） -(n+1)(Go^n･x)^{1/(n+1)}
≧(n･Ao +x) - (n･Go +x)
= n(Ao - Go)
=（右辺）,
- 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/25(日) 03:08:58.00 ID:HgkzhkFu.net]
- >>918
(n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n ≧ (n+1)G - nGo,
∴ (n+1)(A-G) ≧ n(Ao-Go),
同様にして
A^(n+1)/Ao^n ≧ (n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n,
∴ (A/G)^(n+1) ≧ (Ao/Go)^n,
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