- 1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板 トップ > 科学 > 数学
messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1
- 154 名前：xyz = 1 のとき
x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0
って成り立ちますか？ [] - [ここ壊れてます]
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/02(水) 09:59:59.81 .net]
- ｘ＾２－ｘ－１＝０。
ｙ＝１。
ｚ＝ｘ－１。
- 156 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/05(土) 21:17:36.82 .net]
- 正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき
n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))
が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう
- 157 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/07(月) 20:05:40.74 .net]
- (a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ
- 158 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/07(月) 20:26:10.23 .net]
- 頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/07(月) 22:52:36.08 .net]
- a=b=cの時成り立たなさそうなんだがどうなの
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 01:07:10.40 .net]
- 〔問題〕
a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。
(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc),
//twitter.com/Inequalitybot/ [196]
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 11:15:48.14 .net]
- sothear.files.wordpress.com/2010/03/topics-in-inequalities-hojooleetin0508251.pdf#search='x%5E2y%5E2z%5E22xyz%3D1'
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 08:45:13.02 .net]
- √2 + √3 > π を証明せよ、ゆとり向けに。
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 03:05:01.23 .net]
- 2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。
この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,
√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
ぬるぽ
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 03:24:20.18 .net]
- >>149
a_n = a と略記する。
n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a,
n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n)
≦ (n-1)G_(n-1) + a, (←相乗･相加平均)
辺々引く。
ぬるぽ
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 04:15:33.55 .net]
- >>114-116
[1] ･･･ [183]
[2] ･･･ [182]
[3] ･･･ [184]
[4] ･･･ [178]
https://twitter.com/Inequalitybot/
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/07(水) 00:25:04.63 .net]
- >>143-145
(別解)
a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。
a,b をその2つとすると
4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c),
(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0,
//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] ～172
//twitter.com/Inequalitybot/ [184]
- 167 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/12(月) 21:26:52.73 .net]
- > 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.
ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。
定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
- 168 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/12(月) 21:27:39.56 .net]
- > 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.
ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。
定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
- 169 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/13(火) 05:50:13.76 .net]
- ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。
定理2.4.1c
f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
q ≧ -2
ここで(上の投稿を含めて)
T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和)
S_{i,j} = Σ a^i b^j (
- 170 名前：3項巡回和)
U = abc [] - [ここ壊れてます]
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/28(水) 03:56:36.47 .net]
- B4638、B4640、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201405&t=mat&l=en
A616、B4626、B4628、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201404&t=mat&l=en
B4620、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201403&t=mat&l=en
A609、B4606、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201402&t=mat&l=en
A605、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201401&t=mat&l=en
B4585、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201312&t=mat&l=en
A593、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201309&t=mat&l=en
C1168、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201304&t=mat&l=en
＿| ::|＿
￣| ::|／| ┌──┐
| ::| | .┌──┐| ∧＿∧ いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿| |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
|文| | | ∧＿∧（ ）⊂ ）
|￣| | | （ ）⊂ ） （＿Ο Ο :::
| ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
- 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 22:34:45.87 ID:7o1BupPuA]
- C.1168
Prove that a√(1-bb) + b√(1-aa) ≦ 1,
(略解)
相乗-相加平均から
a√(1-bb) ≦ {aa+(1-bb)}/2,
b√(1-aa) ≦ {(1-aa)+bb)/2,
辺々たす。
あるいは
(左辺)^2 + {ab - √[(1-aa)(1-bb)]}^2 = 1,
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 22:51:50.47 ID:7o1BupPuA]
- C.1168
三角函数とかは、おくび（曖）にも出さないこと。
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 23:02:24.42 ID:7o1BupPuA]
- [104]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, (a-b)(b-c)(c-a)=⊿ とおく。このとき
(ss-2t)^2 - t^2 ≧（3√3 /2)|⊿|s
を示せ。
(CbM)改 ☆9
//twitter.com/Inequalitybot/ [104]
//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 196～198
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/23(月) 22:50:07.63 ID:AzExtY9jm]
- B.4626
Prove that (1+a)^4･(1+b)^4 ≧ 64ab(a+b)^2 for all a,b≧0.
(略証)
相加-相乗平均より
(1+a)(1+b) = (1+ab) + (a+b)
≧ 2√(ab) + (a+b)
≧ 2(4ab)^(1/4)･√(a+b),
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/26(木) 06:32:02.80 ID:h4WLeUXAQ]
- >>166
s≧0, t≧0 が抜けてました。
(左辺) = (ss-t)(ss-3t)
≧ {ss+(ss-3t)}/2・(ss-3t)
≧ s(ss-3t)^(3/2),
なので
(ss-3t)^3 ≧ (27/4)⊿⊿
を示せばOK
- 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/27(金) 02:17:03.22 .net]
- 不等式の本が出たな。受験生向けだが… ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/27(金) 23:17:34.18 .net]
- >>169
ジュンク堂にあったので買ってきた。
大学入試問題から題材を取っているので、
このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど、
考え方や知識の整理にはちょうどよいかな。
おすすめ。
>>2 に追加
[9] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2013
- 179 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/06(日) 07:21:38.15 .net]
- > このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど
目新しいものがほしい人には、
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf
の定理2.4.1c～命題2.4.1f はいかがですか。
なお >162, 163の定理2.4.1a, bは命題2.4.1g, hに変更して証明も変えました。
- 180 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 02:05:03.70 .net]
- 質問なんだが立体の一つの頂点に集まる角度の総和が360ﾟ未満ってどう証明したらいい?
例えば立方体だと90+90+90=270
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 02:27:21.66 .net]
- d.hatena.ne.jp/nurs/20130515/1368627894
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 03:03:40.58 .net]
- >>172
d.hatena.ne.jp/nurs/20130515/1368627894
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！
- 183 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 04:04:17.35 .net]
- すまん、読んでみたけど…
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 04:15:21.56 .net]
- ガウスボンネの定理の言い換え。
- 185 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 04:21:50.42 .net]
- リーマンの不等式、またの名をリーマンの半分age
- 186 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2014/07/17(木) 05:30:15.28 .net]
- 狸
>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 14:46:29.19 .net]
- 分数の不等式とかを証明するときに、項ごとに評価してそれらを加えたらできた！ってのを見たことがあるけど、
そんなやりかたで証明するときって、どうやって気づくんだろうか？
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 15:42:29.18 .net]
- >>179
isolated fudgingならここの説明がわかりやすいかと
mathtrain.jp/fudging
- 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 16:09:13.94 .net]
- >>180
おおー、ありがとうございます。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 19:00:16.94 .net]
- 同次と斉次の違い、使い分けとかあるんです蟹？
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/02(土) 11:05:59.45 .net]
- 0<x<pi/4 で x+0.5x^3>tan(x) を言うにはどうすればいいでしょうか
- 192 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/10(日) 23:37:22.74 .net]
- 関数f(x)は導関数f’(x)および第2次導関数f’’(x)をもち，
区間0 ≦ x ≦ 1において， f(x)>0, ｛f’(x)｝＾2 ≦ f(x)f’’(x) ≦ 2 ｛f’(x)｝＾2 を満たしている
f(0)=a，f(1)=bとするとき，次の不等式を示せ．
(1)f ( 1／2 ) ≦ （a+b）／2
(2)f ( 1／3 ) ≦ （a^2b）＾（1／3）
(3)f ( 1／4 ) ≧ （4ab）／（a+3b）
(4)∫［0^1］f(x) dx ≦ （a／4）+（√ab／2）+（b／4）
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/11(月) 10:31:55.72 .net]
- おもしろそう！
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/11(月) 10:35:16.82 .net]
- 悪代官「わしは、何より不等式が好きでの」
越後屋「あはは、不等式はかの色に限りますなあ」
悪代官「はてさて、かの色とな？」
越後屋「今回はかように取り揃えました」
悪代官「ほー、今回はまた一段と」
越後屋「お目に叶ってなによりでｗｗｗｗｗ」
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 02:57:28.50 .net]
- x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3yz+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 17:46:52.02 .net]
- >>187
x=z=1/yを満たすとき
f=x/{(1+2)(2+3)(3+1)}=x/60
x>0で動かすとf>0の任意の値をとる
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 17:53:02.88 .net]
- >>187,184
x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
の書き間違えじゃないか？
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 18:33:21.25 .net]
- (xy+2)(2yz+3)(3zx+1)≧48xyz 等号はx=2/3, y=3, z=1/2の時成立
xyz→+0の時0に収束
ゆえに
0<xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)}≦1/48
- 199 名前： []
- [ここ壊れてます]
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 20:13:24.03 .net]
- >>189
( ﾟ∀ﾟ) ｽﾐﾏｾﾝ、ご指摘の通り、分母の３つ目はyzじゃなくてzxですた。
>>190
正解です。エレガントなやり方ありましたか？
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 02:19:33.50 .net]
- suugaku.jp/thumb/465/1258/2014_4.png
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 06:39:44.86 .net]
- >>192
出典は？
- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 18:49:03.36 .net]
- a1, a2, …, an > 0 のとき
a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1 ≧ a1^2 + a2^2 + … + an^2
- 204 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 00:34:06.59 .net]
- >>193
今年の滋賀医科大の入試問題らしい
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 01:36:17.24 .net]
- >>194
(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(a2^2 + … + an^2+a1^2)≧(a1a2+a2a3+…ana1)^2
より
(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1^2 + a2^2 + … + an^2)
≧(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1a2+a2a3+…ana1)
≧(a1^2 + a2^2 + … + an^2)^2
(コーシー)
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 18:50:16.20 .net]
- Maclaurin の不等式って何ザマスか？
- 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 20:43:09.24 .net]
- >>192
f"≧0
(logf)"=(f'/f)'=(ff"-f'f')/ff≧0
(1/f)"=(-f'/ff)'=(2f'f'-ff")/fff≧0
より
(1)f(1/2)≦(1/2)(f(0)+f(1))
(2)logf(1/3)≦(2/3)logf(0)+(1/3)logf(1)
(3)4/f(4)≦3/f(0)+1/f(1)
(Jensen)
これらを整理する
(4)は凸性ゆえ
(左辺)≦(1/4)(f(0)+f(1/2))+(1/4)(f(1)+f(1/2))≦(右辺)
最後はJensenを用いた
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/20(水) 20:33:15.56 .net]
- なんでニコニコ大百科にウィキペディアより詳細なシュールの不等式の記事があるんだよ
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/21(木) 01:29:29.74 .net]
- >>199
詳しく聞こうか？
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/21(木) 08:32:23.12 .net]
- >>200
dic.nicovideo.jp/a/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/21(木) 22:09:46.08 .net]
- こんなんja.wikipediaに書いたら
wikipediaは数学書じゃないから証明の必要性が云々とか
独自研究ガーとかいう奴が出て来て全削除とかされかねないもんな
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/24(日) 15:43:56.20 .net]
- >>183
いま気づいたがこれは大数の学コンの問題の一部だな
このカス野郎が
そんなにまでして良い点とりたいか？
- 213 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/24(日) 22:30:33.72 .net]
- この程度で苦労するなら良い点なんか取れないって
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/25(月) 03:09:27.68 .net]
- 不等式ヲタになればフィールズ賞取れるの？
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/25(月) 04:12:22.46 .net]
- 不等式がすべて。地位や名声など取るに足らないものになります。
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/25(月) 05:39:36.69 .net]
- nを定まった正の整数とし,1≦k≦nなる整数kのおのおのに,1≦r≦nなる整数rを対応させる関数r=f(k)があって
k[1]＜k[2]ならばつねにf(k[1])≦f(k[2])であるとする
このとき,f(m)=mとなる整数mが存在することを証明せよ
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/25(月) 13:47:47.28 .net]
- 離散写像における不動点定理ですね
f(1)>1,f(n)<nの時のみ考えれば良い
f(i)>iなる最大のiをkとしてk<f(k)≦f(k+1)<k+1
これはkとk+1の間に整数があることになるため矛盾
- 218 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/26(火) 17:43:33.11 .net]
- >>201
詳し過ぎて吹いたw
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/27(水) 11:11:38.72 .net]
- >>201
>>201
詳し過ぎて、珈琲ふいたw
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 11:34:06.84 .net]
- シューアの不等式の参考文献をキボンヌ！
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/03(水) 20:59:27.06 .net]
- 実数 a、b、c、d に対して、(a-c)^2 + (b-d)^2 と (ac+bd+1)^2 の大小は定まりますか？
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/03(水) 21:33:34.29 .net]
- >>212
b=dとして
c=1/aとしてa→∞とすると前者＞後者
c=2としてa→∞とすると前者＜後者
だから定まらなさそう
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/03(水) 21:52:25.87 .net]
- ありがとうございます。
書き込んだ後、計算してみて、私も定まらないなと思いました。
何を考えていたかを説明すると…
(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)≧(ac+bd+1)^2
(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)≧(a-c)^2 + (b-d)^2
を眺めていて、右辺に大小関係が定まらないかなぁと考えていたら、実際に計算してみると、
(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1) = (a-c)^2 + (b-d)^2 + (ad-bc)^2 + (ac+bd+1)^2 ← 『不等式ヲタの等式』と命名
なので、ダメじゃんってな感じです。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/04(木) 08:30:18.32 .net]
- 有名な四平方の恒等式
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/04(木) 08:47:52.88 .net]
- なんだ名前があったのか、（・ω・）ショボンヌ
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/04(木) 09:06:07.32 .net]
- 自力で見つけたんだからスゴイんじゃね
ちな本来の四平方和の公式はもっと一般的な
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/05(金) 00:18:44.18 .net]
- 実数 a、b、c、d、e、f が、次式をみたしている。
a-b > b-c > c-d >d-e > e-f > f-a
a、b、c、d、e、f のうち最大の実数はどれか？
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/05(金) 03:35:28.34 .net]
- >>218
bが最大とすると 2b>a+c>2b より矛盾
同様にc,d,e,fは最大ではない
よってa
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/05(金) 08:00:40.28 .net]
- a、bは実定数とする。-1≦x≦1に対して、max|x^2 + ax + b|≧1/2 を示せ。
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/05(金) 19:33:33.29 .net]
- 月並みすぎ
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/06(土) 06:50:08.00 .net]
- 新参者の自分には新鮮だよ
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 13:13:05.60 .net]
- 今月の東進の問題
〆切は過ぎてる
ttp://www.toshin.com/concours/img/mondai_18.jpg
高校生用としてはかなり難しいのでは？
ここの住人なら瞬殺？
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 14:36:36.25 .net]
- ワクワクして、ボッキしたよ
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 20:10:14.28 .net]
- >>223
a=cotA, b=cotB, c=cotCとするとA,B,Cは三角形の三辺をなす
f(x)=1/(1-cosx)は凸関数のため
log(左辺)=f(A)+f(B)+f(C)≧3f(π/3)=3log2 (Jensen)
両辺の真数をとる
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 20:12:11.71 .net]
- (a+b)(√(cc+1)+c)=√((aa+1)(bb+1))+1-ab≧2 (コーシー)
巡回的にかける
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 20:20:07.19 .net]
- (a+b)(√(cc+1)+c)=(a+b)/(√((c+a)(c+b))-c)≧(a+b)/((c+a+c+b)/2-c)=2 (AM-GM)
巡回的にかける
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 20:45:55.18 .net]
- >>225
> a=cotA, b=cotB, c=cotCとするとA,B,Cは三角形の三辺をなす
この時点で、置いていかれています。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 22:25:53.44 .net]
- 凄すぎてよう分からんｗｗｗ
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 23:46:07.52 .net]
- >>225
A,B,Cは三角形の三角の間違いでした…
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/11(木) 23:12:47.63 .net]
- こんなの解ける東進生がどのくらい居るのか甚だ疑問
まあ高校生に、不等式は超絶テクニックの職人の世界だぜ、
と知らしめてやるような意味はあるが
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/11(木) 23:35:51.28 .net]
- 若いうちに洗脳して不等式ヲタを増やすことも、我々の大事な仕事なのです。
>>225
√(a^2+1) があるので、a = tanA とか置き換えたくなるけど、 cotAとは思いつかんなぁ
いろいろ�
- 242 名前：ﾈ不等式を収集し証明するのは、今後も続けるとして、
そろそろ、不等式証明の定番手法や考え方を語る時期では？ [] - [ここ壊れてます]
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/11(木) 23:50:54.66 .net]
- あ、でも値を評価するとはどういうことか、
ということを教えるのは数学的に本質的に大事だね
等式の世界と不等式の世界は全然違うからね
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 00:15:14.25 .net]
- その値を求めるのは大変だから、大体どのくらいかを評価することが必要になって…
そんな感じ？
不等式の美しさにばかり囚われていて、あまり考えたことなかったな。
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 00:20:34.32 .net]
- x、y、z >0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} の最大値を求めよ。
これだと、『x、y、z >0 のとき』 がヒントになって、相加相乗平均でも使うんだろうなと思ったり。
確かに相加相乗平均で肩がつく （最大値は1/48） 。
この手の分数の不等式は、分割して評価した不等式を辺々かけるとか、
斉次式なので、和一定とか積一定とかの条件をつけたりするテクもあったり。
不等式スレ１章～３章の頃に、その手のテクニックをtexでまとめていたんだけど、
パソコンが壊れたときに失われてしまったのは悲しい思い出… ('A`)
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 01:11:49.31 .net]
- >>235
ごめん、斉次式じゃなかった
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 18:34:10.65 .net]
- a、b、c、x、y、z ∈R が、
(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 1、 x^2+y^2+z^2=1
をみたすとき、ax+by+czのとりうる値の範囲
ＣＳ不等式を２回使ったけど、他の解法ありますか？
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 20:49:44.59 .net]
- いきなりレベルが下がったな
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/15(月) 17:30:44.27 .net]
- 【結構簡単だけど、受験生40名全員が解けなかったという曰く付きの某国立大学数学科の推薦入試問題】
実ｎ次元ベクトル X ＝ (x_1, x_2, ... , x_n) に対して
ｈ を非負実数として
<X>_h ＝ √{h + (x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_n)^2} と定義する。
Y ＝ (y_1, y_2, ... , y_n) とするとき、 任意の実ｎ次元ベクトル X、Y に対して
<X + Y>_h ≦ <X>_h・<Y>_h
が成り立つような最小の h を求めよ。
ただし、X + Y＝ (x_1+y_1, x_2+y_2, ... , x_n+y_n) とする。
注） 伝聞によるので文言は全く同じではないと思われます
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:25:23.04 .net]
- 麻呂ちゃんを救う会
┏━━━━━━━━━━┓
┃ ┃ 麻呂ちゃんは
┃...|;:;:_:;:__:;_:;_:;:l:;_;:_:_:;:_;:_:;| ┃ 生まれつき不等式収集の病気にかかり
┃|＿＿＿＿_|_＿＿＿＿|...┃ 一カ月以内に不等式が必要です。
┃|=| 三ｼﾉ ヾ三. ::::::.|=! ┃
┃|=| （●）, 、（●）、::|=| ┃ しかし、それにはハァハァできる
┃ヾ| ,,ノ(、_, )ヽ、,, ｼﾉ...┃ 特殊な不等式が必要となります。
┃ | ,;‐＝‐ヽ .:::::| ...┃
┃ ＼ ｀ニニ´ .:::／ .....┃ 麻呂ちゃんを救うために
┃ ／｀ー‐--‐‐―´´＼. ...┃ どうか協力をよろしくお願いします。
┗━━━━━━━━━━┛
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:26:03.05 .net]
- | 寝ていて
| 夜 目を醒ますと ＿＿＿＿
| 不等式がスレにない ／;:;:;:;:;:;i;:;:;:;:;:丶
|＿＿＿＿＿＿＿＿_/ ／:;:;:;:;:;:;:;:;:i;:;:;:;:;:;:;:;:;＼
|;:;:_:;:_:;:_:;:_;:l:;_;:_:;:_:;:_:;:_|
|＿＿＿＿|＿＿＿＿|
／/ |彡 ≡ ≡ ミ|
（ ( （6 <○) (○> 9)
ﾉ ヽ ＼ | ｡⌒｡ | �
- 252 名前：^／
イ 人 ＼ ＼ ┌-┐ ﾉ ／／
／ λ ヽ ｀ 、/)_￣＿_ノ￣`, ／／
ζ （ ヾ ＼￣￣￣￣￣Uι)／／
￣- ／／
１～2歳の麻呂にとってそれはどんな恐怖と絶望
なのだろう … … 麻呂は暗闇の中で泣いても
無駄なのでただひたすらふるえていただけだった [] - [ここ壊れてます]
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:26:30.63 .net]
- |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ|
|丶､ ;;; __;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;_,,: ィ";;_|
ﾄ､;;;;;;;;;;;;;;;｀ ` '' ー -- ‐ '' ";;;;;;;;;,:ィ;:;!
,';:｀`' ‐ｮ ､ ,_ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; , - '"l;:;:;:;:l 不等式を貼るだけなら三流
l;:;:;:;:;:;:;ﾐ ｀ ` '' ｰ -‐ '" ,ﾘ;:;:;:l
l;:;:;:;:;:;:;:ゝ く三) (三ｼ ｀ヾ;:t、
fﾐ{;:;:;:;:f'´ , -－-_,, _,ｨ ､_,,ｨ,.-－､ };f } 言われてから不等式を貼れて二流
l ﾄl;:;:;:;:l ､,ィ或tｭ､ﾞ:ミ {,'ィt或ｱﾁ l:l,/
ﾞi,tヾ:;:;:! ｀ヽ 二ノ ﾄ ` ‐''"´ l:l:f
ヽ`ｰ};:l ,r'､ ヽ ﾘ_） 言われる前に自分から不等式を貼れてようやく一流じゃ
｀"^l:l ,/ﾞｰ､ ,r'ヽ l
ﾞi ,ノ `'" 丶. ,'
ﾞl､ ′ ,, ｨrｪェzｭ､,_ 〉 } /
',ヽ ヘヾ'zｪｪｪッ',ｼ' //ヽ
} 丶、 ` ｰ--‐ '"'´,/ノ:.:.:ヽ ・・・・そなたらは一体、いつになったら
/l 丶、 ,.ｲ:.:.:.:.:.:.:.:丶､、
,r'"^l ! ` ー‐;オ´:.:.:.:.:.:.:.:.:.,ノ ,}、 一流になるのでおじゃるか？
,. -ｧ＝く（:.:.:.l l ／/:.:.:.:.:.:., - '" ,／ ヽ、
, - '"´ ／ ,／｀＞'t､_」＿＿_,ｨ'ﾞ,ィ,.: -‐ '" ,. -‐ '" ＼
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:28:07.44 .net]
- l三｀ｰ ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
l三 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣ ,三三三彡彡l_ この感じ・・・・
lﾐ′ ￣ ー-'" '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
l;l ,_-‐ 、 __,,.. - ､ 彡彡彳､.// 不等式か・・・・
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥ `之ヽ､, i l´ _,ｨ辷ｧ-､、 彡彡'r ノ/＿ ＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣ 1 ￣ﾌ/ｌ l::. ヽこ~￣ 彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
ヽ ´ :l .l:::. 彡ｨ-‐'′
ゝ、 / :. :r-､ 彡′
／ ｨ:ﾍ ｀ヽ:__,ｨ='´ 彡;ヽ､
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