いま、理論と呼んでいるものは何かということを定めておかないと変になる と思います。この理論の範囲を、モデルが１つしかない理論に限れば、１と ２は同値になるということが、２階、、、の数学的内容だと思いますが、 まあそれは当たり前ですね。数学の意味での２階論理ですがそこでは、 １階の部分の truth definition ができます、つまり証明論的 完全な閉論理式の集まりの存在が証明できるわけですが、もちろん２階全体 の truth definition ができるわけではありません。つまり３階が必要になる わけです。これは数学の話で哲学ではどうなのかしりません。それは、とも かく、「２階論理上で展開すると必要十分になる」というのはデンパでなく ても、意味あるものとして理解するのはなかなか難しいと思います。 出張で当分書き込めないので、79 の general model というのが数学的には 自然なものだという例を書いておきます。
自然数論の non-standard model というのはよくしられていると思いますが、 これをつくるとき２階部分あるいは n 階部分までつくることは解析に応用する ときには必要です。このとき、２階部分を部分集合全体とすると、自然数の無限 下降列ができてしまい、数学の定理が成り立たないものになります。それで internal な部分集合に限ることにより数学の定理が成立する場が提供されるわけ で、これも general model のひとつです。
