大学学部レベル質問スレ 17単位目

1 名前：１３２人目の素数さん [2021/11/21(日) 08:00:44.31 ID:4j6fBnFe.net] 大学で習う数学に関する質問を扱うスレ ・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして ・ただの計算は wolframalpha.com ・数式の表記法は mathmathmath.dote ra.net ・質問のマルチポストは非推奨 ・煽り、荒らしはスルー 関連スレ 分からない問題はここに書いてね478 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/ ※前スレ 大学学部レベル質問スレ 16単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1619727449/ 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/20(日) 12:54:21.47 ID:fuxFqhXl.net] 某所によるとcor 3.12は自明とのこと 439 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 12:55:48.46 ID:CZjaoWGX.net] 0と1だけの体があっても気持ち悪くないの？ 440 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 13:02:11.80 ID:Ohy7GLVZ.net] >>425 もしかして場って用語を物理サイドから認識したんじゃない？ 441 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 13:03:46.38 ID:Ohy7GLVZ.net] >>428 F2のこと？じゃないよね 442 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 17:59:01.19 ID:rsnHfVcP.net] 吉田洋一・矢野健太郎編『私の数学勉強法』 赤攝也さんが以下のように書いています： 「 たしか岩村聯教授からだったと思うが（記憶違いだったらおわびします）、「数学の本は、おしまいのほうから逆に読むものだ」 という警句を聞いたことがある。ちょっと誤解を招きやすいが、一種の名言だと思う。 」 既に内容が分かっている本なら、そのような読み方もいいかもしれませんが、初めての分野の本では、無理な読み方ですよね？ 443 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 18:02:35.50 ID:rsnHfVcP.net] 赤攝也さんの本を読んで、赤攝也さんは↓のような人なんだろうなあと想像していたのですが、正解だったようです： ところで、「厳密な推論によって組み立てられなければならない」という言葉は、必然的に、すべての定理の証明を、 「完全に論理的に」理解できなくてはいけないのだ、という一種の強迫観念を人々にいだかせる。ところが、いつも すらすらとことがはこぶとは限らない。証明をよんでいると、その途中で、とうもよくわからない、というところが でてくる。すると私は、どうしてもわかろうと努力する。一時間か二時間で解決がつけば問題はない。しかし、場合 によっては、一日かかってもまだわからないことがある。もちろん、たまりかねて、他の本を参考にしてみたりもする。 それでもなおかつわからないことがある。ところが、「理論は正しい推論によって組み立てられなくてはならない」 ものである。だから、その証明をとばすことは、その理論を正しく理解することにはならない。そこで、結局その本 をなげ出してしまい、かなりの劣等感だけが残るという結果になる。― 自分は、数学に向いていないのではあるまいか？ ときによっては、苦労の甲斐あって、めでたく読了という段階にこぎつけるのに成功することもないではない。しかし、 読んだ内容の大部分は、一週間もすれば忘れてしまう。 「何か、こういうような定理があったっけ。」 「うん、そういえば、そんな言葉もでてきたなあ。だけど、定義は忘れてしまった。」 …………………………………… そこで私はこう思う。いったいなんのためにあの本を読んだんだろう。こう、みんな忘れてしまうのでは、時間を空費 したとしか、いいようがない。私は数学者になりたいんだ。そのためには、やはり、いろいろの知識を確実に集積して いかなくてはならないのだろう。しかし、この調子では、どうも絶望のようだ。 ― 結局、ここでも残るのは、劣等感だけである。 444 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 18:39:29.57 ID:Ohy7GLVZ.net] >>431 >既に内容が分かっている本なら、そのような読み方もいいかもしれませんが、初めての分野の本では、無理な読み方ですよね？ 逆じゃないの？そういう意味の警句だと思うけどね でも最後の方は細かい話に分裂していくことが多いから 一概にそれが良いとは思えないけどなあ 445 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 19:22:54.72 ID:rsnHfVcP.net] 吉田耕作さんが、以下の文章を書いています： ここで、告白（？）致しますと、ヴ 446 名前：ァン・カンペンの論文でビコンパクト（現在コンパクトといって学部一年生に教えている概念）が 出てきたとき、フレッシェの（点列収束の意味の）コンパクト ― これならわれわれもすでに知っていた ― と同じ概念なのかどうか 誰にもわからずに、大議論になったような時代でした。篤学の角谷君がいろいろ文献を調べて、結局ウリゾーンの有名な論文を 見つけたので落着しましたけれども。 こんなの演習問題レベルの話ですよね。 かなり有名な数学者でもこの程度というのが悲しいですね。 [] [ここ壊れてます] 447 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 19:35:34.95 ID:rsnHfVcP.net] 吉田耕作さんが以下のように書いていますが、頭の回転がはやければ、 >>434 の話など一瞬で解決していたでしょうね。 振りかえって見ますと、私はむしろ頭の回転がおそいほうですが、記憶力はまずまずのほうらしい。だからいろいろ乱読して得た 雑然とした知識を、年を経てから自己流の拙ない体系に整理する段階になってみると、それらの相互関係もわかってきて、何か に応用することなどもできる。わずかでも自ら動かせるようになってはじめて自分のものになったような気がするわけです。強いていえば、 これが「私の数学勉強法」です。 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/20(日) 19:36:20.22 ID:pWvS1Hy0.net] >>434 吉田耕作以上に引用されるような本や論文書いてからホザケ。クズ 449 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/20(日) 19:57:20.26 ID:Ohy7GLVZ.net] >>434 そりゃ後付の感想だろうね 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/20(日) 20:32:46.63 ID:Nz6zl8Ev.net] まともな人間の書くレスじゃないわな 451 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 12:55:26.08 ID:8glVzNG6.net] V を体 K 上のベクトル空間とする。 加法群 V から V への準同型全体からなる環を End(V) とする ベクトル空間 V から V への線形写像全体からなる環を End_K(V) とする。 End(V) ≠ End_K(V) となる例を教えて下さい。 452 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 13:02:39.01 ID:Pees2SKR.net] >>439 V=K=R 453 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 13:38:31.14 ID:8glVzNG6.net] >>440 End(V) ∋ f であり、 f ∈ End_K(V) でないような f はなんですか？ 454 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 13:59:24.09 ID:8glVzNG6.net] f ∈ End(R) とする。 q ∈ Q とする。 f(1) = a とする。 f(q) = a * q ですね。 455 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 19:00:39.74 ID:8glVzNG6.net] 有限次元ベクトル空間 V と V の再双対空間の間には、基底のとり方には依存しない同型写像を定義することができる。 ↑が何を言いたいのか V = R^2 の場合に説明してください。 456 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 19:03:39.05 ID:8glVzNG6.net] 1. R^2 からその双対空間の間には、基底のとり方に依存しない同型写像は存在しない。 まず、これを示してください。 457 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 19:04:06.45 ID:8glVzNG6.net] 訂正します： 1. R^2 からその双対空間への基底のとり方に依存しない同型写像は存在しない。 まず、これを示してください。 458 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 19:15:23.84 ID:Pees2SKR.net] ガンバってね 前にどっかで書いたと思う 459 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 19:19:03.86 ID:8glVzNG6.net] >>446 K = V = C これなら容易に示せますね。 複素共役をとる写像は加法群 C から C への準同型写像です。 conj(i * z) = -i * z ≠ i * z if z ≠ 0 なので、線形写像ではありません。 460 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 19:20:14.23 ID:8glVzNG6.net] 訂正します： >>446 K = V = C これなら容易に示せますね。 複素共役をとる写像は加法群 C から C への準同型写像です。 conj(i * z) = -i * conj(z) ≠ i * conj(z) if z ≠ 0 なので、線形写像ではありません。 461 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 19:59:28.20 ID:8glVzNG6.net] 「基底のとり方に依存する」というのは、↓こういうことが言いたいんですか？ V = R^2 の標準基底 <e1, e2> を考える。 <e1, e2> の双対基底を <f1, f2> とする。 e1 を f1 に写し、 e2 を f2 に写すような V から V^* への同型写像 φ1 を考える。 この同型写像により、 (1, 1) ∈ V は (1, 1) = 1*e1 + 1*e2 → 1*f1 + 1*f2 に写される。 1*f1 + 1*f2 は (x, y) ∈ V を x + y に写す。 ------------------------------------------------------------------ V = R^2 の基底 <e2, -e1> を考える。 <e2, -e1> の双対基底を <g1, g2> とする。 e2 を g1 に写し、 -e1 を g2 に写すような V から V^* への同型写像 φ2 を考える。 この同型写像により、 (1, 1) ∈ V は (1, 1) = 1*e2 + (-1)*(-e1) → 1*g1 + (-1)*g2 に写される。 1*g1 + (-1)*g2 は V ∋ (x, y) = y*e2 + (-x)*(-e1) を y - x に写す。 よって、 φ1 と φ2 は異なる。 462 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/21(月) 20:28:05.11 ID:Pees2SKR.net] >>447 >K = V = C そうですね それが簡単ですね 463 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 18:23:40.20 ID:Ze60qfmJ.net] K を体、 V, W を K 上のベクトル空間とする。 Hom_K(V, W) の特殊な場合に過ぎない V の双対空間 Hom_K(V, K) はなぜ重要なんですか？ 464 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 18:41:26.64 ID:UEFCkGHM.net] デュアルだからね 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/22(火) 18:53:16.96 ID:wUQov1o5.net] Vでなくなんで双対考えるかって聞くならわかるけど 一般のhomと比べようって感覚はよく分からない 466 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:06:03.30 ID:Ze60qfmJ.net] K を体、 V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。 V^* の元って、要は、ドット積 V ∋ v → a・v ∈ K （a ∈ K^n）のことですよね？ V^* とはドット積の集合であるとなぜ平たく書かないんですか？ 467 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:07:54.65 ID:Ze60qfmJ.net] >>454 訂正します： K を体、 V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。 V^* の元って、要は、ドット積 K^n ∋ x → a・x ∈ K （a ∈ K^n）みたいなものですよね？ なぜ、平たくそう書かないんですか？ 468 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:15:38.57 ID:UEFCkGHM.net] >>455 君がそれで書いたら？ 469 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:18:08.71 ID:Ze60qfmJ.net] K を体、 V を K 上の n 次元ベクトル空間、 {v_1, …, v_n} を V の基底とする。 V^* の元って、要は、 a を K^n の元として、 V の元 v に、その座標ベクトルと a とのドット積を対応させる写像のことですよね。 なぜ、平たくそう書かないんですか？ 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/22(火) 19:18:48.89 ID:qdVyNpi9.net] >>455 「みたいなもの」って何？ 「みたいな」って何？ 471 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:25:28.61 ID:Ze60qfmJ.net] K を体、 V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。 V^** の元って、要は、 x を V の固定元として、 V^* の元 φ に x での φ の値を対応させるような写像のことですよね。 こんなものを考えることがなぜ重要なんですか？ 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/22(火) 19:28:24.43 ID:qdVyNpi9.net] >>457 V^* の元って、… 写像のことですよね。 なぜ、平たくそう書かないんですか？ 違うからだろうな(笑) 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/22(火) 19:29:51.97 ID:qdVyNpi9.net] >>459 どこの大学出身ですか？ 474 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:30:02.73 ID:UEFCkGHM.net] >>454 >V^* の元って、要は、ドット積 V ∋ v → a・v ∈ K （a ∈ K^n）のことですよね？ ここで言ってるドット積って内積みたいな双線形形式のこと？ではないよねa∈K^nだし 475 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:30:46.23 ID:Ze60qfmJ.net] V ∋ x と x^{^} ∈ V^** を同一視するというのは、 x そのものを、 V^* の元 φ に x での φ の値を対応させる写像だと考えるということですよね？ そんなことして何が嬉しいんですか？ 476 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:32:50.96 ID:UEFCkGHM.net] >>457 >V^* の元って、要は、 a を K^n の元として、 V の元 v に、その座標ベクトルと a とのドット積を対応させる写像のことですよね。 V^*の定義に座標も基底も関係ないよ 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/22(火) 19:34:22.87 ID:qdVyNpi9.net] >>459 ある概念を学んでいるときにその重要性を教えて欲しいんですか(笑) 定理3-2は重要。定理3-3は重要ではない とか書いてある教科書がほしいんですか(笑) 今更ですが馬鹿ですか？ 478 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:37:57.21 ID:Ze60qfmJ.net] >>463 利点としては、 φ は写像で、 x はただの V の元だったのが、　φ も x もどちらも線形形式になって、非対称だったのが対称になって、すこし気分がいいくらいのものですか？ φ(x) = x(φ) みたいに書けてうれしいみたいな？ 479 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:42:02.57 ID:UEFCkGHM.net] >>463 f(x)をxに対してfをf(x)に対応させる写像を対応させるみたいな 480 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/22(火) 19:43:18.77 ID:UEFCkGHM.net] >>466 >非対称だったのが対称になって というかデュアルね 481 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 08:01:44.52 ID:Nl4goO46.net] 斎藤毅著『線形代数の世界』 写像が全単射であることを示すのに、全射かつ単射であることを示すのではなく、逆写像を構成して、可逆であることを示すことにより示しています。 こっちのほうが分かりやすいですね。 482 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 08:05:43.15 ID:ZyHgXq9L.net] >>469 場合によるとしか 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/23(水) 12:31:28.43 ID:ZTNB7Ifl.net] >>469 圏論が好きだと言いたいの 484 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 13:46:43.71 ID:Nl4goO46.net] 斎藤毅著『線形代数の世界』 証明が独特で巧みな証明が多いですけど、どうやって思いつくんですか？ 485 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 14:44:17.10 ID:Nl4goO46.net] 斎藤毅著『線形代数の世界』 m×n 行列の集合 M_{mn}(K) m ≧ 0, n ≧ 0 として定義しています。 行列を {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} から K への写像と 486 名前：考えているからでしょうか？ m = 0 または n = 0 のときには、 {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} は空集合ですから、 M_{mn}(K) = {空写像} ということですか？ こういうところが嫌いです。 [] [ここ壊れてます] 487 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 14:44:50.60 ID:Nl4goO46.net] >>473 訂正します： 斎藤毅著『線形代数の世界』 m×n 行列の集合 M_{mn}(K) を m ≧ 0, n ≧ 0 に対して定義しています。 行列を {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} から K への写像と考えているからでしょうか？ m = 0 または n = 0 のときには、 {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} は空集合ですから、 M_{mn}(K) = {空写像} ということですか？ こういうところが嫌いです。 488 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 14:48:59.32 ID:Nl4goO46.net] そして、 m = 0 または n = 0 のときに、 M_{mn}(K) が一体何なのかについて全く説明がありません。 その一方で、「余談」などとして、説明の必要がないことを書いていたりします。 489 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 15:10:32.39 ID:TzgUHyAD.net] >>475 自分で書いてるぞ >m = 0 または n = 0 のときには、 {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} は空集合ですから、M_{mn}(K) = {空写像} 自分も定義からすぐ分かってるのに、なんの説明を求めてるのか 490 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 18:47:07.88 ID:Nl4goO46.net] >>476 m ≧ 0, n ≧ 0 に対して m × n 行列が定義されるというのは、誤植だと考える人も多いのではないでしょうか？ なにか説明が要ると思います。 あるいは、ほとんどすべての著者と同じように、 m ≧ 1, n ≧ 1 とすべきではないでしょうか？ 491 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 18:51:38.99 ID:Nl4goO46.net] ↓こんなくだらない余談を書かずに、 m = 0 または n = 0 のときにはどう考えるか説明を書くべきです。 「 余談15 記号 M_{mn}(K) や、 a_{ij} の中で、 mn や ij は積 m×n や i×j ではなく、数 m と n や、 i と j をただならべて書いたものである。 」 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/23(水) 18:59:20.14 ID:TzgUHyAD.net] >>477 著者の思う定義ではなかった誤植と、数学的に通らない誤植があると思うが、 これは数学的には定義に何も問題はなく後者ではないので、前者の誤植を疑う意味はないと思う この定義を受け入れて他の本を読んだときに、m,nが1以上であっても同じ議論が出来るだろう 493 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 20:26:25.21 ID:ZyHgXq9L.net] >>478 え？それ重要よ 494 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 20:31:52.71 ID:Nl4goO46.net] 斎藤毅著『線形代数の世界』 定義1.4.1 V を K 線形空間とする。 W が V の K 部分空間（subspace）であるとは、 W が V の部分集合であって、次の条件をみたすことである。 (1) W の任意の元 x, y に対し、 x + y も W の元である。 (2) K の任意の元 a と W の任意の元 x に対し、 a*x も W の元である。 (3) V の零元 0 は W の元である。 空集合は条件(1)と(2)をみたすが、(3)をみたさない。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」という文があったとします。 これだけ見ると、「+」って何？という話になると思います。 {} ⊂ V と考えると、 「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」の「+」は V での加法演算のことなので、問題ないと思います。 空集合 {} は一つしかないわけですが、それを V の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」が意味をなしますが、 空集合 {} を {バナナ, りんご, いちど} の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」は意味をなしませんよね？ このあたりはどのように考えたら良いのでしょうか？ 495 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 20:33:11.73 ID:Nl4goO46.net] >>481 訂正します： 斎藤毅著『線形代数の世界』 定義1.4.1 V を K 線形空間とする。 W が V の K 部分空間（subspace）であるとは、 W が V の部分集合であって、次の条件をみたすことである。 (1) W の任意の元 x, y に対し、 x + y も W の元である。 (2) K の任意の元 a と W の任意の元 x に対し、 a*x も W の元である。 (3) V の零元 0 は W の元である。 空集合は条件(1)と(2)をみたすが、(3)をみたさない。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」という文があったとします。 これだけ見ると、「+」って何？という話になると思います。 {} ⊂ V と考えると、 「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」の「+」は V での加法演算のことなので、問題ないと思います。 空集合 {} は一つしかないわけですが、それを V の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」が意味をなしますが、 空集合 {} を {バナナ, りんご, いちご} の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」は意味をなしませんよね？ このあたりはどのように考えたら良いのでしょうか？ 496 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 20:39:45.44 ID:ZyHgXq9L.net] >>474 >行列を {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} から K への写像と考えているからでしょうか？ その本ではそう定義してるの？ 497 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 20:41:14.08 ID:Nl4goO46.net] >>482 このあたりの話はどの本を読めばいいですか？ 前原昭二さんの『記号論理入門』とか数学基礎論の本とか持っていますが、全く役に立ちません。 新井敏康さんの『数学基礎論増補版』も持っていますが、このようなことは書いていますか？ 498 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 20:42:22.08 ID:Nl4goO46.net] >>483 いや、定義していません。ただ、表形式に体 K の元を並べたものが行列という説明です。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/23(水) 20:42:22.70 ID:jfyiGhbx.net] Hom(0次元,3次元)もHom(4次元,0次元)もHon(0次元,0次元)もベクトル空間としては全部0次元ベクトル空間 underlying set は{0}一元だけからなる一元集合 500 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 20:51:40.31 ID:ZyHgXq9L.net] >>482 >「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」という文があったとします。 >これだけ見ると、「+」って何？という話になると思います。 （中略） >空集合 {} を {バナナ, りんご, いちご} の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」は意味をなしませんよね？ 空集合の積集合（これも空集合）から空集合への写像は一つだけ存在するので その意味で「意味」はあるわけです 気にしているのはある集合からある集合へのある種の性質を持つ写像が定義されている場合とそうで無い場合とでその部分集合の間にこの写像の制限として定義される写像となっている場合となっていない場合があるという状況で後者においてもある種の性質を持つ写像が存在すると考えて良いのかということでしょうがこの場合は特に問題はありません 501 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/23(水) 20:52:52.31 ID:ZyHgXq9L.net] >>485 では適当に推測するのがよろしいですね 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/23(水) 21:17:41.49 ID:jfyiGhbx.net] そもそも > (3) V の零元 0 は W の元である。 0を含まなければ部分空間とみなさんと言ってるのに空集合の場合を考える意味がない 503 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 10:22:38.77 ID:tOm+hK4d.net] 佐武一郎著『線型代数学』 中への写像って何ですか？ 単なる写像のことのようにみえますが、もしそうなら不要な用語ですよね。 そして、不要な用語だから、使われなくなったんですか？ 504 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 14:29:12.81 ID:tOm+hK4d.net] 佐武一郎著『線型代数学』 ↓が成り立つから、 V と V^* の間には標準的な同形が存在しないということですが、 V の基底をその双対基底に写すような同型写像の中には標準的な同形が存在しないと言っているだけですよね？ V を体 K 上の n 次元ベクトル空間とする。 {v_1, …, v_n} を V の基底とする。 {λ_1, …, λ_n} を {v_1, …, v_n} の双対基底とする。 {u_1, …, u_n} を V の基底とする。 {μ_1, …, μ_n} を {u_1, …, u_n} の双対基底とする。 v_i → λ_i (i = 1, …, n) と写すような V から V^* への同型写像を f とする。 u_i → μ_i (i = 1, …, n) と写すような V から V^* への同型写像を g とする。 f = g となるための必要十分条件は、 {v_1, …, v_n} から {u_1, …, u_n} への基底変換行列が直交行列であることである。 505 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 14:32:03.69 ID:tOm+hK4d.net] >>491 V の基底をその双対基底に写すような同型写像という条件をはずせば、 V から V^* への同形の中には標準的な同形が存在するかもしれませんよね？ 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/24(木) 16:03:06.27 ID:aPpOj8Hk.net] これって揚げ足取りをするために、過去に読んだことのある沢山の本のメモか何かを見ながら毎日書き込みをしてんのか？ 疑問内容のレベルが低すぎるのに反して自分の読み取りに怖いぐらい自信を持ってる上から目線なのだが、 アスペの実例を見れてその点だけは興味深い。 507 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 16:17:19.92 ID:tOm+hK4d.net] 斎藤毅著『線形代数の世界』 V を体 K 上のベクトル空間とする。 W, W' を V の部分空間とする。 W × W' に自明な仕方で加法をスカラー倍を定義したベクトル空間を W (+) W' と書く。 W ∩ W' = {0} であるとする。 このとき、 W (+) W' ∋ (u, v) → u + v ∈ W + W' は全単射である。 この写像により、ベクトル空間 W (+) W' と部分空間 W + W' を同一視すると書いています。 この写像はもちろん線形写像なので同型写像ですが、この本では、まだ線形写像が登場しません。 ですので、単なる全単射です。 それにもかかわらず、集合として同一視するのではなく、ベクトル空間として同一視すると書いています。 これは明らかにまずいですよね？ 508 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 16:23:52.11 ID:tOm+hK4d.net] 池田岳著『テンソル代数と表現論』 公式ページでは今日3月24日発売になっていますが、ネットショップでは3月28日になっていますね。 どちらが正しいのでしょうか？ 早く、書店で内容を確認したいです。 509 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 17:15:23.86 ID:2MbnhoYz.net] >>492 無いよ まあ頑張って作ろうとしてみて 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/24(木) 17:23:40.84 ID:aPpOj8Hk.net] >>478 ちょうどよい余談だな。 それを書いてなければお前がそれにツッコミを知れるような種類の余談。お前の疑問と同レベル。 それに気付かない所がお前の異常性を示してして興味深い。 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/24(木) 17:24:58.75 ID:aPpOj8Hk.net] ツッコミを知れる →ツッコミを入れる 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/24(木) 19:26:36.28 ID:WIh4V48l.net] ここは英文解釈のスレじゃないけど、数学に関連することなので、了解してね。 DieudonneのFoundations on Modern Analysis vol. I を読んでいます。 such that をどう訳すかなんだけど、例えば、 (3.13.9) In order that a= \lim_{n\to 513 名前： \infty} x_n, a necessary and sufficient condition is that, for every \varepsilon > 0, there exist an integer n_0 such that the relation n\geq n_0 implies d(a, x_n) < \varepsilon . A)森毅訳：現代解析の基礎 a=\lim_{n\to \infty} x_n とは、任意の \varepsilon>0 にたいして、n\geqq n_0 なら d(a,x_n)<\varepsilon となるような整数 n_0 が存在すること。 となってます。慌て者の俺は、 "a=\lim_{n\to \infty} x_n とは、任意の \varepsilon>0 にたいして、n\geqq n_0なら" と、ここまで読んで、出し抜けにn_0が出てくるので「えっ！？ n_0 って何？」となってしまいます。もちろん、最後まで読めば、「あー、n_0は整数で、それが存在するんだ」とわかるけど、なんか「おっとっと」と躓いた感じがして好きじゃないです。 そう思って、これを： B)（前略）任意の \varepsilon>0 にたいして、整数 n_0 で、 n\geqq n_0 なら d(a,x_n)<\varepsilon となるものが存在 すること。 とすると、「整数 n_0 が存在する」の中間に、 "n\geqq n_0 なら d(a,x_n)<\varepsilon となるようなものが"が割り込んで、主語と述語が離れてしまい、いわゆる悪文になってしまいます。 そうかといって、これを： C)（前略）任意の \varepsilon>0 にたいして、整数 n_0 が存在して、n\geqq n_0 なら d(a,x_n)<\varepsilon となること。 とすると、英文と微妙にニュアンスが変わってしまうような気がするんだが、 どう訳せばベターでしょうか？ （森毅の上の翻訳も、他に色々突っ込みどころがあるけど、今回はsuch thatに限定します） [] [ここ壊れてます] 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/24(木) 19:48:43.37 ID:Wjszltp2.net] 日本語に訳すときはあんまり困らない気がする 英語はなんか後ろから制限かけるようなところがあってそれがすごい困ることあるけどな 日本語なら「任意のaに対してあるbが存在してそれが任意のcに対して〜」と本来の束縛記号を解釈していく順番に前から書いていって自然な日本語になるけど英語はそういう“条件”がガタガタ前に来るのを嫌う文化があるようで、実際綺麗な文章にならなくて困ったりする 「でもこの語順にしないと誤解生む可能性あるやん？」とか思ってすげぇ悩むけどな そこは日本語の方が有利な希ガス 515 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 20:58:30.20 ID:enz8BlOY.net] >>499が慌て者なのが原因 人の話は最後まで聞け、と言うじゃないか。 516 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 22:58:26.57 ID:mJy3uBzM.net] >>500 >前から書いていって自然な日本語になるけど英語はそういう“条件”がガタガタ前に来るのを嫌う文化 え？逆じゃん 517 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/24(木) 23:01:14.97 ID:mJy3uBzM.net] >>499 >どう訳せばベターでしょうか？ 訳さないのがベスト 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/24(木) 23:33:26.92 ID:9A8rlpcN.net] >>502 そうか？ まず何か芯になってるpredicateについて述べてそのあとの修飾でforall 〜とかいうのが英語としては自然な気がする つまり英語文化だと“前提条件的なもの”をゴタゴタ述べるのを後回しにして後から後から説明を加えていく構造になってる 実際文法上もSVが来てそれを修飾するMが後からくる でも数学だとそうはいかない まず命題に出てくる変数のうち束縛すべきものがforall なのかthere existsなのかを前に持ってこないといけない でも英語には“後から修飾”が自然でそっちを取らないとおかしい文がかなりできてしまう、だいたいのto 不定詞で修飾するタイプは間違いなく後ろ修飾だしな 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/24(木) 23:46:55.43 ID:9A8rlpcN.net] >>502 例えばこれなんかそうだよ for every \varepsilon > 0, there exist an integer n_0 such that the relation n\geq n_0 implies d(a, x_n) < \varepsilon . これfor every epsilon,って言う前置詞句が先行してる形だけどこれは英語としてはかなり汚いハズ 本来普通の日常会話ではfor〜みたいな前置詞句は後ろに後ろに回すのが英語の通例“for three years"とか"at all times"とか でもそれだと流石に数学的にはまずいのでやむを得ず前に持ってきてる、しかし可能なら後に置きたいと言うのが本音のようでどのくらいまでなら“やむを得ず前に出す”べきなのか“これくらいなら後ろに置いた方が綺麗”なのかの見極めがつかん 流石にこの例ではこの位置しか置けるところないけどな 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/25(金) 01:11:40.93 ID:lDOZNO/W.net] >>500 such that は∃で束縛された変数の満たす条件部分を「」とかで全部括って、 ”「」となるような(変数)が存在する”と書きたい（自然な語順） が、誤解を招かないようにと指導された結果逐語訳的に書いてる、私は苦しい 521 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 06:03:05.03 ID:8wyF0lGg.net] >>504 日本語問題にあんまり関わりたくないが 「すべての自然数nに対して実数xが存在してn<xが成り立つ」 より 「すべての自然数nに対してn<xとなる実数xが存在する」 の方が日本語として自然でしかも 「実数xが存在してすべての自然数nに対してn<xが成り立つ」 とも解釈できる良くない文章 「存在する」が動詞であり日本語は動詞が後置されるのが普通というのがこの混乱を生む 条件が後置されるのは数式がまさにそれだよ 「∀n∈N∃x∈Rn<x」 ∀よりもn∈N ∃よりもx∈R これらすべてよりn<x の方が後ろに置かれる これ英語の語順なんだよ 522 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 06:08:26.00 ID:qRLdHOH9.net] >>506 慣れれば苦しくなくなる 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/25(金) 07:28:03.77 ID:6AJFI+9P.net] >>507 その例は確かにその方がいいね しかしもう日本語の方は存在するを前置するのに慣れてしまったからしゃあなしと思えるようになった それで「日本語の方が数学表現に向いていない」と日本人が思うのは我々日本人が“日常会話で使う自然な日本語”と“数学的に求められる語順”の差を強く感じるからだと思う 思うにそれはどこの国のどんな言語でも同じで多少は致し方ないのだと思うよ ただ俺はその問題は英語の方がでかいと思ってる なぜかと言うと日本語には“格助詞”があって出てくる語がどんな役割を果たしているのかを語順が変わっても「意味は通じる」状態にはできる、しかし英語は語順が重要で語順が変われば意味すら変わってしまう言語、我々日本人には“どっちでも意味わかるやん”と思える語順でも英会話の教科書にはこの副詞節は文中には入れられませんとかなんとか山のように出てくるしね まぁ意見に過ぎないんだけどな 524 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 16:33:09.50 ID:oI+zCtYu.net] 松坂和夫著『代数系入門』 p.209 補題F M, M' を R-加群、 f : M → M' を全射準同型とし、 P を M の部分加群、 Ker f = N とする。 もし f の P への縮小 f_P : P → M' が P から M' への同型写像ならば、 M = P (+) N である。 --------------------------------------------------------------------------------- G, G' を 加法群、 f : G → G' を全射準同型とし、 P を G の部分群、 Ker f = N とする。 もし f の P への縮小 f_P : P → G' が P から G' への同型写像ならば、 G = P (+) N である。 この命題から補題Fは明らかに成り立ちますよね。 525 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 16:37:48.94 ID:oI+zCtYu.net] g を G の任意の元とする。 f_P は全射だから、 f(g) = f_P(p) となるような P の元 p が存在する。 よって、 f(g) = f_P(p) = f(p) より、 f(g - p) = 0 だから、 g - p ∈ N g- p = n for some n ∈ N 以上より、 G = P + N が成り立つことが分かった。 x ∈ P ∩ N とする。 f_P(x) = f(x) = 0 f_P は単射だから、 x = 0 ∴ P ∩ N = {0} ∴ G = P (+) N 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/25(金) 16:39:26.70 ID:6iTniafV.net] Rの作 527 名前：用は？ [] [ここ壊れてます] 528 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 16:44:12.32 ID:oI+zCtYu.net] 補題F： M, M' を R-加群、 f : M → M' を全射準同型とし、 P を M の部分加群、 Ker f = N とする。 もし f の P への縮小 f_P : P → M' が P から M' への同型写像ならば、 M = P (+) N である。 証明： M, M' は加法群である。 f は全射群準同型である。 P は加法群 M の部分群である。 Ker f = N は全射群準同型 f の核と一致する。 f_P は 加法群 M の部分群 P から加法群 M' への群同型写像である。 >>512 の加法群に関する命題より、 M = P (+) N である。 529 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 16:45:10.05 ID:oI+zCtYu.net] >>512 R の作用は >>511 の証明を見れば分かるように全く使われません。 530 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 16:46:25.53 ID:oI+zCtYu.net] 松坂和夫さんは、補題FをR-加群に関する命題として書いていますが、実際には、加法群についての命題です。 531 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 16:52:51.17 ID:oI+zCtYu.net] p.202 M を R-加群とし、 N1, N2 を M の部分加群とする。もし任意の z ∈ M が（順序を除き）一意的に z = z1 + z2; z1 ∈ N1, z2 ∈ N2 と表わされるならば、 M は N1 と N2 の直和に分解されるという。 -------------------------------------------------------------------------------- ↑この定義も気に入りません。 ↓このように定義すべきです。 M を R-加群とし、 N1, N2 を M の部分加群とする。 M, N1, N2 を加法群と考えたときに、 M が N1 と N2 の直和に分解されるとき、 R-加群 M は R-加群 N1, N2 の直和に分解されるという。 532 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 17:42:45.36 ID:oI+zCtYu.net] R-加群の理論ってなんか嫌ですね。 R をできるだけ制約のない環にしたいけど、それだと何も面白いことを証明できない。 R を体にすると、色々なことを証明できるけど、制約が強すぎる。 R に強すぎず弱すぎない制約を色々課して、その制約のもとで何が証明できるかを考える。 面倒くさすぎます。 533 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 18:10:19.28 ID:oI+zCtYu.net] 池田岳著『テンソル代数と表現論: 線型代数続論』を書店で立ち読みした人はいませんか？ 534 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 18:23:58.96 ID:ehb7IM2+.net] >>517 知識ないが、印象としてはいろいろできない、違いがない気はするが 具体的には体上のベクトル空間とかだろ 元の体、環をいれかえてもベクトル空間の一般論になるだけの感じがするが 535 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 18:38:03.58 ID:6iTniafV.net] >>514 使わないというか示さないとダメでしょ 536 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 19:01:40.39 ID:01IBWIYl.net] >>517 やりたくなかったらやらなくていいんだぞ 537 名前：１３２人目の素数さん [2022/03/25(金) 19:54:05.71 ID:6iTniafV.net] >>514 環準同形R[x]->>R[x]/(x^2)=L->>R[x]/(x)=RでL,RはR[x]加群 R[x]>->>(x)>->R[x]:1->xはR[x]加群の準同形 (x)>->R[x]->>R[x]/(x^2)で(x)>->>(x)/(x^2)=Rx ただの加法群としてL=R+RxだがR[x]加群としてはL≠R+Rx 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/03/26(土) 10:03:39.37 ID:AsHTalk2.net] >>517 これは面白い。 数学は論理だけではない。 とはいうもののその実例が分かりにくかったが、このアスペのお陰でまた1つ数学に対する理解が進んだ。 数学者の創造が、アスペにとっての「極めて面倒な領域(R加群)」を作ってアスペを振り落としていくんだな。中途半端に見えることが苦手なんだな。 このアスペにとっての「自分にとっての分かりにくさ、腑に落ちなさ」は一貫している(もちろん本当に「普通に分からない所」はここに書き込むことは無いが)。あくまでも著者の書き方が悪いということにしていないと、このアスペはプライドが保てないのだろう。

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