数学基礎論・数理論理学　その14

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/29(土) 02:02:32.80 ] 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 （「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。） 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 （数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照） 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学　その13 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/ なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。 このことは本人も認めています。（前スレの900以降など） STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは 荒らし行為に当たりますのでご注意ください。 263 名前：１３２人目の素数さん [2013/05/11(土) 08:34:00.74 ID:aYtAiUS9!] >261 公理的集合論「田中尚夫」のp52です。 264 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine.co.jp [2013/05/11(土) 19:43:32.57 ] 　無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！ 憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？ １８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキは、真っ先に徴兵！ おまえたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！ アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 265 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 266 名前：１３２人目の素数さん [2013/05/12(日) 20:52:01.96 ] >>263 変わったタイトルと著者名だなw 267 名前：１３２人目の素数さん [2013/05/13(月) 00:35:47.50 ] 数学板なのに>>260とか>>263にはIDが表示されてるのは何故なの？ 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/05/16(木) 13:51:01.23 ] 公理的集合論は絶版なようなので 復刊　公理的集合論には宇宙は乗ってますか？ 269 名前：１３２人目の素数さん： [2013/05/19(日) 01:43:59.06 ID:2fcKR6l/!] すいません。 「∀x∈Aに対してf(x)∈B」という命題はもしA=φの場合は偽なのでしょうか? それとも真なのでしょうか? "∀x∈A"そのものが偽だから「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真かなぁと思ったりしてるのですが。。 どなたかお教え下さい。 270 名前：１３２人目の素数さん [2013/05/19(日) 02:45:02.22 ] >>269 「対して」を論理記号で書いたらすぐにわかる 271 名前：１３２人目の素数さん [2013/05/19(日) 02:50:22.50 ID:2fcKR6l/!] ええっ? すいません。"対して"は論理記号でどのようにかけるのでしょうか? 「∀x(x∈A→f(x)∈B)」でしょうか? A=φならx∈Aは常に偽なので, (x∈A→f(x)∈B)は常に真ですよね。 従って, A=φの時は「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真ですか? 272 名前：１３２人目の素数さん [2013/05/19(日) 02:50:29.82 ] ∀x∈A(P(x))は∀x(x∈A⇒P(x))の略記だからA=φのときは自動的に真 273 名前：１３２人目の素数さん [2013/05/30(木) 11:53:58.52 ] 濃度がアレフ1の集合の具体例って何かあるんでしょうか (「具体例」の意味が曖昧ですみませんが 「自然数の集合」とか「実数の集合」みたいな感じで) 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/05/30(木) 15:09:07.14 ] 有理数全体の集合Qの部分集合で部分順序として整列集合となっているもの全体について順序同型なもの同士を同一視したもの｡ 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/05/31(金) 20:33:46.65 ] >>267 IDにmathが出るまで馬鹿乙 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1309073689/ 276 名前：273 [2013/05/31(金) 23:10:13.34 ] >>274 ありがとうございます ところで、こういう例や証明が載っている文献ってあるんでしょうか 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/01(土) 10:15:33.21 ] からかわれてることに気付きなさい 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/01(土) 10:46:01.39 ] 証明論的意味論ってなんですか？ 279 名前：１３２人目の素数さん [2013/06/01(土) 14:41:28.13 ] 自明だよねえ 280 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/08(火) 14:54:00.97 ] あげ 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/22(火) 16:46:35.92 ] >>273 可算順序数全部の集合(まんまや) 282 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/01(金) 17:13:48.32 ] 現在、田中一之『ゲーデルに挑む』などを読んで不完全性定理の勉強をしております。 そこで質問なのですが、体系Pの記号列をゲーデル数化すれば、 体系Pの論理式や証明は全て1つの自然数に対応するのに、それにも関わらず 自然数から自然数への関数(再帰的関数)に対応する、体系Pの述語とは何なのでしょうか？ ここのところが分からず、再帰的関数の例や表現定理がすんなり入ってきません。 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/01(金) 21:09:14.85 ] 「体系P」で何を指してるのか良く分からない あと「対応」でどういう対応を指しているのかも不明瞭 特に再帰的関数に述語が対応すると述べている後ろの方の「対応」 284 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 01:13:59.08 ] >>282 3〜4行目が何を言いたいのか全然分からない。 285 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 10:28:11.66 ] 282です。言葉足らずで申し訳ありません。 体系Ｐというのは、ゲーデルが不完全性定理の原論文で用いているもので、 おおよそペアノの公理と1階述語論理を合わせてできる形式体系です。 （ほかに、内包公理や外苑性公理がある） ゲーデルは、体系Ｐの原子記号に自然数を割り当て、その後素数のベキ乗を用いて 体系Ｐの有限列（論理式）、体系Ｐの有限列の有限列（証明図）に自然数を割り当てます。 すると、そのあとに、ゲーデルは、「原子記号や原子記号の列の間の関係Ｒが与えられると、 これにたいして、自然数の間の関係Ｒ’がとれる」と述べています。 （Ｒは原子記号を変数に、Ｒ’は自然数を変数にもつ） この部分の意味がわかりません。 一体、この関係Ｒとは具体的にどのようなものなのかがわからないのです。 まだまだうまく言えてない部分があると思いますが、どうぞよろしくお願いいたします 286 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 10:53:02.21 ] 285です。訂正です。 関係Rの変数は原子記号ではなく、原子記号または原子記号の有限列でした。 287 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 11:28:12.03 ] たとえば○○という式は△△という式のxにaを代入したものである、というのは２つの記号列の関係だよね。 またある式の列がある式の証明になっている、というのは「記号列の列」と「記号列」との関係になっている。 まだまだ例は挙げられると思うけど、布団の中で書いているのでここまで。 288 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 11:47:50.31 ] 英語版なので多少言葉使いが変わってるかもしれませんが、 ゲーデルはまずすべての論理式に自然数が割り当てられることを説明しました。 それは、体系Ｐで使われる記号に自然数を割り当て、 その自然数のベキを使って論理式に自然数を割り当て、 その自然数のベキを使って証明過程を数列と考え証明されるすべての論理式に自然数を割り当てました。 これで体系Ｐから出てくる論理式すべてに自然数が割り当てられました。 次にゲーデルは公理とか変数とか論理式という 人が考えている概念を自然数を変数にもつ述語でつくれないかと考えています。 例えばＲ(Ａ)で「論理式Ａは公理である」というようなものです。 しかし論理式Ａは記号列であって自然数を変数にもつ述語に代入できません。 そこで、先ほどの論理式と自然数の割り当てをΦとおくと、 論理式Ａとそれに割り当てられた自然数ｎについてΦ(Ａ)＝ｎと書けます。 このとき以下の２つが同値になるようにしようといっているんです。 １）Ｒ’(x_1，…，x_n)　が自然数x_1，…，x_nについて成り立つ ２）x_1＝Φ(Ａ_1)　のとき、Ｒ(Ａ_1，…，Ａ_n)　が論理式Ａ_1，…，Ａ_nについて成り立つ で最終的に「証明可能」なんかも述語として定義していくのです。 （実際にはその定義の前に原始再帰の説明が張り込んでいます。 ゲーデル論文で１、・・・４６（くらい）まで 列挙されているものがＲ’となります。） 289 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 12:39:30.71 ] とはいえオントロジーや記述論理など 件のRやAを直接扱う機構は存在しています、 290 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 12:50:30.78 ] 287さんと288さん、回答ありがとうございます。 ということは、287さんが挙げた例の「代入したものである」、「証明になっている」や、 288さんが挙げた例の「論理式である」以外にも、 形式体系Pの、記号列と記号列の関係であればいいのでしょうか？ 例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、 「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか？ 288さんの解説の部分におけるゲーデル論文で、少し分からない点があります。 288さんは最後に、「ゲーデル論文で列挙されているのが関係R´」と述べられています。 ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、 自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか？ 291 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 13:22:22.76 ] 関係を関数と思うこともできるけど、わざわざそう思う必要はない 「xとyを7で割った余りは等しい」とか「x+5はyより大きい」をxとyの関数と思っているの？ 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/02(土) 13:56:32.30 ] 内包公理や外延性公理があるのに一階なのかよ、というのはおいといて、 その部分は多分記号列とそのゲーデル数を同一視することで、 記号列の性質を自然数の性質と同一視しよう、と言ってるんじゃないの 293 名前：288 [2013/11/02(土) 16:34:50.23 ] >>290 >例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、 >「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか？ そうです。 私が読む限りは、単に論理式Aと論理式Bの間の関係を表す述語を考えるときに、 論理式のまま扱えないからそのゲーデル数を論理式と思って使いましょう といっている程度の話だと思います。 >ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、 >自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか？ 関数と述語は違います。１から４６は述語を作っています。 関数は単なる値でしかないので、succ(0)みたいな数値と変わらないです。 succ(0)＞0のように「真偽が決まる」ようになったものが述語です。 294 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/02(土) 17:24:33.74 ] 291さん、292さん、293さん回答ありがとうございます。 関係Rについて、ずいぶん理解が進んだと思います！ ですが、今まで、関数、関係、述語などを混同していました。 基礎からもう少し考えてみようと思います。 またよろしくお願いいたします。 (すぐまた質問してしまうかも・・・) 295 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/05(火) 17:34:30.90 ] 294です。 田中一之『ゲーデルに挑む』での再帰的関数のところに関する質問です。 ゲーデル論文において、1から46の関数を列挙するとき、 例えば13番目では、「Neg(x)は、xの《否定》」とあります。 ※ただし、《》はメタ数学的概念の算術的表現です。(本書p57より) これは、「関数Neg()に自然数xを代入してできる関数値Neg(x)は、 自然数xに対応する形式体系Pの記号列Aの否定¬Aに対応する自然数」 との解釈でよいのでしょうか？ なにぶん下手な文章ですが、お時間あれば回答お願いいたします。 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/05(火) 21:54:58.79 ] それで良いと思います 297 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/06(水) 16:45:50.21 ] 296さん回答ありがとうございます。 はじめは、見知らぬ用語がたくさん出てきて困惑したのですが、 このスレのおかげで少しずつ理解が進んできたように思います。 また、よろしくお願いいたします。 298 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/16(土) 13:30:16.38 ] 述語論理の完全性定理の証明を追っているのですがどうもわからないことが あります。 というのは、∃x.P(x)が現れると、∃x.P(x)→P(c/x)　を追加して．．． というのはいつも出てくるのですが、∀x.P(x)の場合の考慮があまり表面に 出てこないのはなぜなのでしょうか？ 特に、∀x∃y.P(x,y)　のような場合にどうするんだろうというのが気になる のですが。 どなたか教えていただけないでしょうか？ 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/16(土) 18:33:22.21 ] ∀x∃y.P(x,y)は¬∃x.¬∃y.P(x,y)と同じだから後者を考えれば良い 300 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/16(土) 20:10:58.33 ] >>299 後者を考えれば良い、とはどういうことなのですか？後者とは？ 301 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/16(土) 21:15:00.68 ] >>300 AはBと同じだから後者を考えれば良い、と言ったとする 後者とはBのこと Bを考えれば良いと言っている 302 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/16(土) 21:31:00.46 ] >>301 ¬∃x.¬∃y.P(x,y) を考えれば良いということなのですね？ それが分からないという質問だったのですが。どう考えればよいのでしょうか？ ∃y...をどう考えればよいかは分かるのですが、¬∃x...をどう考えればよいのか分かりません。 ∃yと¬∃xは、随分違いますよね 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/17(日) 13:49:33.15 ] 専門家じゃないんであくまで俺の理解の範囲で、なんだが・・・ 完全性定理（モデル存在定理）を示すためにΓを拡大してるわけで 最終的にモデルを構築することが目的 ∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/17(日) 13:56:45.66 ] 途中で送信してもうた ∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) が真になるような対象 a が必要 Γ∪{∃xψ(x)} が無矛盾っていうのは、単に、「Γと∃xψ(x)を仮定して矛盾がみちびかれることは無いよ」って意味だから これだけでは、構造を入れたときに ∃xψ(x) が真になる保証はない なので、実際に ψ(a) になる,っていう文をいれとかなきゃならない、ってことなんじゃないかな ∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う 305 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/17(日) 19:04:57.40 ] >>304 コメントありがとうございます。 >∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) が真になる ような対象 a が必要 これは了解 >∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う 対象は無いということはなくて、少なくともさっき∃xψ(x)のところで入れた aはあるわけですよね。すると、∀xφ(x)が出てきたときには、φ(a)とすると いうような考慮が必要だと思うのです。 ただ対象が有限のうちはこのようにやっていけばよいでしょうが， ∀x∃yφ(x,y)のようなのが現れたときは、対象が一気に無限になることもあり 得るでしょうが、そのときはどう考えるのでしょうか？ とにかくそういうふうに、∃のときより∀の時の方が難しそうなのですが、 ∀の時のことがあまり説明されていないのがよく理解できないのです。 どこか考え違いしているのでしょうが 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/17(日) 19:35:49.84 ] ∀x.P(x)が公理の帰結である場合は 単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める （つまり P = 対象領域とする）だけじゃなかったっけ 307 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/17(日) 20:36:50.77 ] >>306 >∀x.P(x)が公理の帰結である場合は >単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める そういってしまえばそうなのですが、それが∀x∃y.Q(x,y)の形のときには 悩ましくないですか？任意の要素xのそれぞれに対して、Q(x,y)となるyを 作らないといけなくなって、そうやって作ったy達すべてに対して，また Q(y,z)となるzを作って．．．というふうにずっと続きませんか 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/17(日) 21:23:14.72 ] それを1,2,3,・・・・・・と任意の自然数回繰り返したものを集めると それが閉じているということが証明の一つのポイントだったような 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/17(日) 21:47:52.10 ] Γの極大無矛盾な拡大をΓ+として、(¬(A ∈ B) を A /∈ B と書く) 　｛∃xφ(x) ∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が真｝ すなわち ｛∃xφ(x) /∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が偽｝・・・☆ が成り立つように構造が入っている、とすると ∀xφ(x)∈Γ+　⇔　¬∀xφ(x) /∈ Γ+　(Γ+は極大無矛盾) 　　　　　　　　　　⇔∃x¬φ(x) /∈ Γ+　(書き直しただけ) 　　　　　　　　　　⇔∃x¬φ(x)は偽 　（☆） 　　　　　　　　　　⇔¬∃x¬φ(x)は真 　　　　　　　　　　⇔∀xφ(x)は真　　　(書き直しただけ) なので、☆が成り立つ理論を作ってうまく構造を入れてやれば ∀が頭に付く文についてもＯＫになるので ∃が頭に付く文だけ付け加えることを考えればいいんじゃないのかな うーん、もっとちゃんと勉強しないとダメだな俺 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/17(日) 22:58:11.68 ] ∀x∃y.Q(x,y) に関してだけど Q(y,z)って何？引数の順序には意味があるんだから位置変えちゃだめでしょ 任意の 閉項a に対して ∃ｙQ(a, y) がなりたって、 ある 閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい 既にＱはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ 311 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/17(日) 23:37:38.50 ] >>310 もちろん引数の順序を変えているのではないです。 ∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、 後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),．．．となりますよね？ >ある 閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい >既にＱはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ だからそうは思えないんです 312 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/18(月) 00:14:18.42 ] >>311 ＞∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、 後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),．．．となりますよね？ 意味不明 313 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/18(月) 00:28:58.81 ] >>312 あれ？伝わりませんか？ Q(a,b) とすれば、このbも、∀x∃y.Q(x,y) における∀xのカバー範囲に入るので、 先のaと同様にQ(b,c)としなければいけなくなり、そうすると、その次は、 cについても同様に．．．という意味だったのですが 314 名前：TTT [2013/11/18(月) 07:48:47.35 ] なんか迷走してるね具体例考えるといいよ たぶん疑問に思ってるのは 言語が定数記号aしか持たないとき、 ∀x∃y.Q(x,y)　に対してxにaを代入したとき ∃y.Q(a,y)　となるので、これが成り立つような定数を新たに言語に投入して ∃y.Q(a,b)　としてみた そしてあたらしく言語に投入したbを ∀x∃y.Q(x,y)　のxに代入したらまた ∃y.Q(b,y)　のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばいという主張だと思う これはモデル側では一階述語論理のタブロー法の決定不能性の原因になる でも構文論ではまったく問題ない なぜなら∀x∃y.Q(x,y)という形の命題があった場合は q(x)=y　という論理的同値な関数をつくることができるので、 新しくqを投入した言語が保存拡大となり問題なくなる 結局∃ではじまる命題だけ考えればよい なぜ∃の考慮が必要なのかというと、 例えば言語に定数記号がaとbしかなかった場合、 考察対象の理論から証明もその否定も証明できない命題Aがあるとする このとき　(x=a∧A)∨(x=b∧¬A)　を　B(x)　とおく すると　B(a)∨B(b)　が証明可能になる（恒真命題になってる） よって ∃xB(x)∨∃xB(x) ∃xB(x) といった証明ができる けれども　B(a)、B(b)　などは証明できない そうすると定義上∃xB(x)は真にならない よって証明できるが真にはならない、つまり完全性が満たせない 315 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/18(月) 08:48:35.27 ] >>314 コメントありがとうございます。 >たぶん疑問に思ってるのは そのとおりです。 コメントを読んで少し分かってきました。 でもまだわからないことも多いです。 >でも構文論ではまったく問題ない ここは正確な表現ではないんでしょう？ここはモデルを作ろうとして いる所ですから >結局∃ではじまる命題だけ考えればよい これは随分飛躍しているように感じます >q(x)=y　という論理的同値な関数 これはスコーレム関数のことですね ここの処理こそキモではないかと感じます >なぜ∃の考慮が必要なのかというと ∃の考慮が必要な理由はすぐわかります。ここの説明は複雑すぎませんか？ 結局、やっぱり、∀については結構考慮しないといけないのですよね。 なぜふつう、TTTさんのコメントのようなことを書いていないのでしょうか？ 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/18(月) 09:34:42.46 ] >そしてあたらしく言語に投入したbを >∀x∃y.Q(x,y)　のxに代入したらまた >∃y.Q(b,y)　のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばい いや、それは、投入すればいいだけの話じゃないの？ というか、そういう風に順々に拡大していってるはずだけど 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/18(月) 22:45:14.73 ] ハゲタカ外資ファンドに食い尽くされる商業施設 運営会社責任者は虚偽説明 商業施設トリアス久山　外資ファンドを取り巻く失望と疑念 www.data-max.co.jp/2013/10/07/post_16455_dm1504_2.html 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/21(木) 00:20:46.72 ] >>298 ∀x.P(x)の場合は、述語論理の公理に ∀x.P(x)　→　P(a) があるから改めて何かする必要はない。 319 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/23(土) 00:14:00.59 ] >>318 答えになっとらんと思うぞ 320 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/27(水) 22:36:06.15 ] いやいや >>318 の答が正確かつ簡潔だと思います。 欲しい性質は （１）　∃x.A(x)がΓの要素ならば、あるaに対してA(a)がΓの要素。 （２）　∀x.B(x)がΓの要素ならば、どんなbに対してもB(b)がΓの要素。 の二つで、（１）は自動的には成り立たないから定数をじゃんじゃん無限個追加するんです。 （２）は述語論理の公理から自動的に成り立つ（Γが極大無矛盾なら）ということ。 ついでに言うと、ヘンキン定数を用いたこの証明は理解するのが難しい ということでしょうね。 定数を増やさない証明手法の方が優れているかと。 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/27(水) 23:11:08.94 ] 背景について 19世紀末に、イギリスの電気技師ヘビサイドはある特定の微分方程式を他公式方程式に変換してとく非常に実用的な計算方法を発見した。 しかし彼の方法は理論的厳密さにかけていたので当初はあまり評価されなかった。 その後ブロムヴィッチによりヘビサイドの方法は18-19世紀初頭にてすでにオイラーやラプラスにより発見されていた積分変換およびその逆変換による解法と結び付けられ、数学的に厳密に定式化された。 現在では彼らが定義した積分変換はラプラス変換と呼ばれ、電気工学、機械工学、制御工学など工学の広範で広く活用されている。 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/27(水) 23:12:54.70 ] 工学の真髄は数学的に思考にやどるってやってて思うね 逆に数学科の方々は数学をどう思ってるんですか 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/27(水) 23:14:22.09 ] 非公式方程式�� 多項式方程式○ 失礼 324 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/27(水) 23:33:18.48 ] いや駄目だと思う。 B(x)=∃y.C(x,y)として∀x∃y.C(x,y) の場合を考える。 （２）を適用すると、 ∀x∃y.C(x,y)がΓの要素ならば、どんなxに対しても∃y.C(x,y)がΓの要素 となる。 これに対して（１）を適用すると、 どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素 となるよね。 しかしこの「どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素となる」 なんていう表現は駄目だよね。dがxに依存するというのが見えにくいよね 325 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/28(木) 12:43:10.12 ] >>324 変数と定数をごっちゃにしてないか？ 326 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/28(木) 13:41:26.38 ] >>325 「どんなb」というのも変なのでxにしておいた。 とにかく、∀x.B(x) なんていうんじゃなく、∀x∃y.C(x,y) の場合にどうするかを 具体的に示してやらないといけないんじゃないか？ ∀の場合は簡単という答の中になんでスコーレム関数のことが出てこないの？ 327 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/28(木) 20:37:15.72 ] >>326 完全性定理の証明にヘンキン定数じゃなくてスコーレム関数を使うの？ 328 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2013/11/28(木) 21:23:19.73 ] 馬鹿板撲滅の実行にノッペラ蕎麦じゃなくてテイノウ菌愚が出るの？ ケケケ狸 329 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2013/11/28(木) 21:32:17.94 ] 馬鹿板崩壊の救済にフクメン出前じゃなくてノータリン禁愚で決まり？ コココ狸 330 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/28(木) 23:09:14.39 ] <><301 消えろ！！低能！！ 331 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2013/11/29(金) 08:20:29.11 ] 狸 ■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□ □■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■ ■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□ □■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■ ■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□ □■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■ ■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□ □■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■ ■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□ □■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■ ■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□ □■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■ 332 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/29(金) 09:58:25.24 ] >>327 両方使う 333 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2013/11/29(金) 13:05:28.04 ] サヨカ。馬鹿蕎麦も低脳菌愚も、両方必要なのか。なるほど。 ケケケ狸 334 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/29(金) 18:44:38.95 ] 君らそもそも数学できるのか？ 335 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/29(金) 20:49:57.96 ] できたらこんなもんやってないだろ 336 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2013/11/29(金) 20:57:01.58 ] そういう事やわナ。 狸 337 名前：１３２人目の素数さん [2013/11/29(金) 22:44:22.69 ] >>332 その両方使う証明方法が載っている文献を教えてくれませんか。 （ヘンキン定数しか使わない証明およびヘンキン定数すら使わない証明しか知らないので） 338 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/05(木) 00:13:48.96 ] 「1づつ引いていけばいずれ0に到達すること」というのをペアノの公理系に付け加えれば ωなどを含まない標準的自然数の集合が定義できるんじゃないかと思うのですが、 これってどこか間違ってますか？教えてください。 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 02:09:14.59 ] それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます あと、超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば まず「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」をωなどに言及しないで 直接的に論理式で表現しないといけないですが、 実際やってみると案外難しいのが分かると思います。 340 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/05(木) 09:22:59.64 ] >>339 コメントありがとうございます。 >それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます 私が言ってるのは、逆方向の帰納法ですね >超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば そう言いたいのですが >実際やってみると案外難しい 再帰的に定義すれば簡単に定義できると思うのですが、 しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、多分不完全性定理を含む 多くのことが崩壊するでしょうから、どこがどう間違っているのか分らないの です。再帰的定義のところが間違いなのでしょうか 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 09:57:33.33 ] 書いてみなされ 342 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/05(木) 10:22:25.20 ] Prolog風に書くとすれば、 Nat(x) :- x=0. Nat(x) :- x=y+1, Nat(y). 343 名前：339 mailto:sage [2013/12/05(木) 20:45:18.86 ] 自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか？ これは案外不自由なもので、まずこれを知らないと、 そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。 ここでやらないといけないのは与えられた数から1ずつ引いていくプログラムじゃなくて 「"いずれ"0に到達できる」ということを表現した形式的な論理式です。 342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。 「有限回の操作後いずれ0になる」の意味なんて明らかだ、というのは 「標準的自然数」の定義なんて明らかだ、誰でも知ってるから敢えて書く必要ない、 というのと似たようなことです。 ＞再帰的定義のところが間違いなのでしょうか 仰るとおりです。「案外難しい」というか、実際やってみるとできません。 不完全性定理周りでは「明らかに」できそうなことが実はできないことがわかる、 というようなことは良くあります。だから不完全性定理の証明では、 自明臭いことを延々と実際に書いて確かめたりします。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 21:11:47.12 ] 数学基礎論の勉強を始めたいのですが、どういう本がオススメですか？ 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 21:39:26.22 ] 今復刊されてる「数学基礎論講義」はかなり良いよ 346 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/05(木) 21:45:43.03 ] >>343 >自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか？ 一応分っているつもりです。 >そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。 まずは、あの0,1,2,3,...のことだという理解でよいのではないですか？ >342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。 Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y)) と書いた方がよかったかもしれません。 <==>ですから、これでωはNatの集合から排除できると思います。 そしてこの式は、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思うのですが。 「"いずれ"0に到達できる」ということをメタレベルで表現しているのではありませんが、その必要はないですよね？ >＞再帰的定義のところが間違いなのでしょうか >仰るとおりです。 上のように少し補正しましたが、どこで間違っているのかまだ分かりません。 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 21:48:43.27 ] >>345 ありがとうございます 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 22:11:58.44 ] Natって自然数じゃなくて整数なんだ 349 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/05(木) 22:24:31.28 ] >>348 ? 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 22:37:20.58 ] 整数には0もあるし前者もある。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 22:42:17.53 ] >>346 Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、 ということしか言っていませんから、 これでは順序型としてω＋Z・Q みたいな、ωの後にZと順序同型のブロックがずっと続くような構造を排除できていませんし、 実際超準モデルは順序集合としてはそういう構造になります。 www.math.uchicago.edu/~kach/mathematics/slides1may2004.pdf 352 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/05(木) 23:19:22.76 ] >>351 >Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、 >ということしか言っていませんから、 いいえ、それに加えて、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思いますが。 というのは、お分りと思いますが、上記の中の「yもNatである」の部分に対しても Nat(y) <==> y=0 ∨∃z.(y=z+1 ∧ Nat(z)) が適用されて、さらにそのうちの「zもNatである」の部分に対しても・・・ となりますから。 ですから、0に到達しないωはここのNatには入らないと思うのです。 (ご紹介のスライドは後で勉強してみます） 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/05(木) 23:57:13.38 ] 整数に対して Int(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Int(y)) をみたすIntという性質を考えても、 整数に対して1を引き続けるといずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、 というような結論はでないから、少なくともペアノ算術の他の公理を使うこと無しに Natの定義だけで352みたいな結論は出て来ない。 あと、超準モデルは {0、1, 2, 3, …… 　…… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… } みたいな構造をしていて整列集合じゃないから、 全ての標準自然数より大きいような最小の元 ω は存在しない ωの後にZと順序同型のブロックが続くというのは、 {ω}のあとにブロックが続くという意味じゃなくて {0、1, 2, 3, …… }（最大元はない）の後に続くという意味だからね 354 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/06(金) 08:56:17.89 ] >>353 後半部は分るのですが、 >いずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、というような結論はでないから がまだ分りません。 Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y)) をちょっとベタに展開してみますと、例えば Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真 Nat(-1) <==> Nat(-2) <==> Nat(-3) <==> 永遠に続く Nat(w) <==> Nat(w-1) <==> Nat(w-2) <==> 永遠に続く となります。 ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。 真としてもよいし、偽としてもよいのですが、真にするとしても Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真 でいう真とは明らかに区別できます。 なので、標準的自然数を定義することはできるのではないかと相変わらず思うのです。 355 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/06(金) 09:11:54.50 ] 負数について考える必要はないと思いますが、みなさん「整数．．．」とおっしゃるので 入れておきました 356 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/06(金) 09:44:58.04 ] カルケドン定数つき単項述語論理なら定義できたと思う S除去で→を削って食って手法 357 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/06(金) 11:54:53.12 ] >>356 へー。なにか読めるものありますか？ 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/06(金) 12:14:09.08 ] 整数どころか複素数でも成り立つのに。 359 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/06(金) 15:15:34.66 ] ギュープラタンのホロノミー原理とか中間次数開裂問題とかが有名 まぁギュルタンとかソロベイとかが今はやってると思う まとまった本はないのでQ理論とか入子算術体系PL2_ωをあたるといいと思う 360 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/06(金) 17:21:08.98 ] デタラメを書いてるかも知れない、と思わせる文体。 361 名前：１３２人目の素数さん [2013/12/06(金) 18:08:23.30 ] 実数の理論内部では自然数は定義できないとかの話をふと思い出した。 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/06(金) 19:44:08.88 ] ＞ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。 そうです。 ＞明らかに区別できます。 >>343で述べたように、その「明らか」が実は明らかどころか間違っています。 「意味論semantics」と「構文論syntax」の違い、とか メタ理論と対象の理論（地の理論）の違いとか、そういう話は聞いたことありますか？ 標準的自然数の定義はメタ理論的には可能と言ってよいですが、 対象理論のなかではできないのです。 ＞しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、 ＞多分不完全性定理を含む多くのことが崩壊するでしょう これは正しいのですが、こっちの「定義」は対象理論の中での定義でなければなりません。 つまりペアノ算術の論理式で定義するという意味です。この意味での定義は不可能です。 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/06(金) 21:57:09.81 ] というか ＞真としてもよいし、偽としてもよいのですが ってどういうことよ 真か偽かは好き勝手に選ぶようなものじゃないよ

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