- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/03(月) 10:49:59.67 ]
- 前スレ
高校数学の質問スレPART351
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1367798520/
【【【【【質問者必読！】】】】】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 16:56:01.03 ]
- 数II程度の微積なら、微分は傾き積分は面積で十分
それ以上の微積を知りたいならネットじゃ足りないから本を買いなさい
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 16:59:09.88 ]
- >>72
具体的な計算方法の手順も知りたいのです
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 16:59:15.48 ]
- >>70
x^3の導関数を求める所は理解できるのか？
- 75 名前：63 mailto:sage [2013/06/05(水) 17:14:45.89 ]
- >>64>>65
解決しました！
ありがとうございました！
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 17:23:06.92 ]
- >>74
x^2までは先ほど検索してみると解説が出ていたので今丁度理解したところですが
x^3はまだ理解していません
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 17:24:15.53 ]
- lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
これが理解できないってこと？
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 17:27:19.83 ]
- >>77
そうです
厳密に言えばその次からの手順がわかりません
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 17:29:04.60 ]
- f(x+h)
↑これの意味はわかるの？
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 17:31:23.77 ]
- >>79
傾きを決める座標
で合ってます？
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 17:33:14.99 ]
- >>80
違う
関数f(t)にt=x+hを代入したもの
多分微分以前に関数のこととか色々わかってなさそうな雰囲気
- 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 17:42:25.41 ]
- さっぱりな～んにも分からないからこそ、手っ取り早く答えを出す手順を聞いてるんだろ
察してやれよｗ
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 17:42:51.24 ]
- バカがここに来るんじゃねーよ帰れや
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:10:10.15 ]
- f(x+1)=f(x)となる関数って何がありますか？
教えろ
- 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:15:34.21 ]
- sin(2πx)
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:19:59.41 ]
- >>84
e^xは？
- 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:21:46.43 ]
- >>86
？
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:24:05.57 ]
- 何も解決してなくてわろた
- 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:26:46.55 ]
- >>84
f(x)=a
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:28:23.06 ]
- y=e^xしかなくね？
sin(2πx)ではないだろ
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:29:57.34 ]
- >>90
微分かなんかと勘違いしてない？
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:31:03.43 ]
- >>71はステマだ中身はゴミだから買うなよ
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:32:28.04 ]
- y=e^(x+c)(cは積分定数)
だな
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:42:16.38 ]
- e^xは収束しますか？
- 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:43:49.97 ]
- しません
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:45:35.71 ]
- >>95
x→∞で
収束しませんか？
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:46:49.09 ]
- e^x→0だよ
0<e<1だから
0<exp<2.71....
だけどな
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:47:20.09 ]
- しません
グラフ書いてみろよ
- 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:50:19.83 ]
- >>78
なんでそれでx^2が理解できるんだ？
>>80
接線の傾きが>>77の式になる事は分かってるようだな
しかし具体的計算になると分からんというのはネットで分からせるのは難しいぞ
直接対人で教わると簡単だが
まあなるべく細かく質問してみるんだな
- 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:50:52.88 ]
- >>97
厳密厨うぜー
高校でeと言えば2.7だろ
exp=2.71だがexp言いたかっただけかと
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:56:06.10 ]
- π^e=e^π-√π
- 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 19:59:35.33 ]
- log123と√83
どっちが大きいですか？
- 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:01:19.74 ]
- e^xを微分してもe^xのままなのは何故ですか？
sinxを微分してもsinxになりませんよね？
何故e^xだけ同じ関数になるの？
- 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:07:45.26 ]
- >>103
そういう特別な性質を持った関数なのだ。
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:08:48.44 ]
- だから何故そうなるのか教えろって言ってるんだよ
- 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:23:01.86 ]
- >>103
むしろそうなるようにeを定めたと言った方が正しい
- 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:24:27.28 ]
- そうなるようにって仮想じゃん
eなんて存在しないんだよ
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:25:17.45 ]
- eをそういう風に定めたから
- 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:26:31.71 ]
- そういう風に定まって欲しいって願望だろ
実際には無い
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:28:56.65 ]
- iだって実際には無い
そんな数字あったらいいなってこと
eも同じ
- 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:32:40.41 ]
- lim[n→∞](1+(1/n))^n=e
log[e]を取って
lim[n→∞]log[e]((1+(1/n))^n)
=lim[n→∞]n*log[e](1+(1/n))
=lim[t→0](log[e](1+t))/t （1/n=tと置いた）
=1
したがって逆数を取って
lim[t→0]t/log[e](1+t)=1
微分の定義より
(e^x)'
=lim[h→0](e^(x+h)-e^x)/h
=(e^x)*lim[h→0](e^h-1)/h
=(e^x)*lim[t→0]t/log[e](1+t) （e^h-1=tと置いた）
=(e^x)*1
=e^x
- 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:34:59.14 ]
- >>111
何故y=e^xを微分したらy=e^xのままなんでしょうか？
- 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:39:45.13 ]
- なんかどちらかというと数学っていうより哲学的な問題に陥っている気がする
別にe^xを微分しても変わらないのに特別な理由はないよ
そういうもんなのかーみたいに思っとけばいいんじゃね
- 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:39:57.90 ]
- >>112
>>111で示したじゃん
上の証明を逆に辿ることもできるので
lim[n→∞](1+(1/n))^n=e
⇔(e^x)'=e^x
つまり、
「（上の人々が言うように）eは(e^x)'=e^xが成り立つような不思議な数なんだ」と考えてもいいし、
「(1+(1/n))^nのnを無限大に飛ばしたときの収束値であるeは、(e^x)'=e^xという性質を持っている」と考えてもいい
- 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:42:34.92 ]
- >>114
だから>>111みたいになる理由ですよ
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:45:51.84 ]
- >>115
「みたいになる理由」とは何を指しているんだ
具体的に「○○から××への変形が分からない」と言わないと答えられない
一番最初の式はeの定義だ
- 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:46:49.40 ]
- >>116
eを求めたいのに
一行目からいきなりeが出てきてますよね？
それはおかしいのでは？
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:48:04.65 ]
- >>117
1行目はeの定義
- 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:50:57.27 ]
- eの値そのものは、一行目の左辺をコンピュータで計算すれば近似値が出る
具体的な値を知らなくてもeについての性質が分かるからこそ便利
- 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:57:24.17 ]
- >>118
だからその定義が何故そうなるのか証明したいのに
1行目に書くのはおかしくね？ってこと
- 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 20:59:26.61 ]
- 指数関数y=a^xのx=0における接線を考えるじゃん？
aを連続的に変化させていけばあるaの値のとき接線の傾きが1になるじゃん？
そのときのaにeという名前が付いている
そのことを数式で書けば>>111の1行目だったり(e^x)'=e^xだったり
- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:02:46.87 ]
- >>121
だから1になる証明をしてください
- 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:03:47.49 ]
- >>120
「どの」定義が「どう」なるのを示してほしいんだ
お前のレスは指事語が多すぎて混乱を招く
- 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:03:49.80 ]
- a^xの微分を考える
(a^x)'
=lim[h→0](a^(x+h)-a^x)/h
=(a^x)*lim[h→0](a^h-1)/h
もしも、ここでlim[h→0](a^h-1)/h=1となると(a^x)'=a^xとなって何かと便利そう
そうなるためには、a=lim[h→0](1+h)^(1/h)となればいい
で、このときのaの値をeと名前をつけてしまおう
e=lim[h→0](1+h)^(1/h)(定義)
これを使えば(e^x)'=e^xとなるわけだ
- 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:05:11.24 ]
- log[a](x)の微分
{log[a](x+h)-log[a](x)}/h
={log[a](1+(h/x))}/h
=log[a]((1+(h/x))^(1/h))
ここでh/x=tとおくと
log[a]((1+t)^(1/(tx)))=(1/x)log[a]((1+t)^(1/t))
そしてh→0のときt→0であり
t→0のとき(1+t)^(1/t)はある値に収束することが知られている
それをeとおくとt→0のとき(1/x)log[a](e)
よってa=eのときlog[e](x)の微分は1/x
y=e^xの微分は
log[e](y)=xにすると
(y')/y=1よりy'=y
つまりe^xは微分しても変わらない
疲れた
- 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:05:48.62 ]
- >>99
なるほどそうですか
社会人になったらもう対人で数学を教わるのは不可能ですし
わからないものは一生わからないままなんですかねありがとうございました
- 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:06:50.48 ]
- >>122
君はeをどう定義してるの？
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:08:01.22 ]
- eの存在を証明してほしいの？
- 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:11:16.24 ]
- >>125
その証明はeが2.7...になる事の証明になってる？
どこにも2.7っていう数字が出ていない
- 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:17:18.58 ]
- >>129
何が証明されたらうれしいのか整理して書け
- 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:19:50.37 ]
- >>129
値を知りたいなら(1+(1/n))^nのnに1000やら10000やら100000やら入れた値をコンピュータで計算すればいい
具体的な値が分からなくても数自体の性質は分かる、というのが承服できないなら君には抽象数学は向いていないからお手ての指で数を数えて遊んでいなさい
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:21:19.90 ]
- >>130
①eが2.71.........の理由
②e^x'=e^xの理由
- 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:23:06.31 ]
- 1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+(1/4!)x^4+・・・+(1/n!)x^n+・・・
を形式的にでもいいから項別に微分してみな。
何かが感じられると思うよ。
- 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:26:33.30 ]
- >>132
そのeとe^xとは、どう定義されたものを君が採用しているのか書いて
- 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:51:57.59 ]
- >>131
計算じゃなくて理論的に2.7となる理由
- 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 21:56:16.58 ]
- πが3.14であることを計算ではなく理論的に求めよ
難しいな
- 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:01:52.23 ]
- >>135
お前のeの定義をとっとと書け
- 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:14:38.27 ]
- >>137
その定義を証明したいのに定義もくそもないｗ
- 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:18:12.22 ]
- 定義を証明？
伝わらないな。
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:19:11.53 ]
- 定義は証明するものじゃない
辞書を引いて出直してこい
結局ただの馬鹿か、解散
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:20:35.34 ]
- lim[n→∞](1+(1/n))^n=e
log[e]を取って
lim[n→∞]log[e]((1+(1/n))^n)
=lim[n→∞]n*log[e](1+(1/n))
=lim[t→0](log[e](1+t))/t （1/n=tと置いた）
=1
したがって逆数を取って
lim[t→0]t/log[e](1+t)=1
微分の定義より
(e^x)'
=lim[h→0](e^(x+h)-e^x)/h
=(e^x)*lim[h→0](e^h-1)/h
=(e^x)*lim[t→0]t/log[e](1+t) （e^h-1=tと置いた）
=(e^x)*1
=e^x
>>139
だーかーら
eの実態が分らないのに多くの行で
e を 計 算 過 程 で 使 っ て い る 点
それが分りません
- 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:20:47.53 ]
- >>135
「計算するとそうなる」も理論だバカタレ
- 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:23:34.40 ]
- >>141
君はxの入った方程式を解くときに、xの値が分からないから計算を放棄するのか？
具体的な値が必要な計算と、一般的に成り立つ計算の違いが分からないなら中学校の文字式から勉強しなおしてこい
- 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:25:44.78 ]
- >>143
eを論証によって求めたいのに
そのeを確定事項として論証で使っている
これは明らかに矛盾であってやっちゃいけないでしょ？
- 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:28:11.37 ]
- eをどういう数だって決めてから議論をスタートしたいの？
(a^x)'=a^xとなるようなaをeとするのか、e=lim[h→0](1+h)^1/hを定義とするのか、それともこのどちらでもないところから始めたいの？
- 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:28:34.51 ]
- >>141
eの実体って、
x^（1/∫_[1,x](1/t)dt) のことだよ。
- 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:30:14.45 ]
- 何が矛盾していると思っちゃってるのか言え
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:30:35.40 ]
- >>124が理解できないならもう何を訊いても無駄だから寝ろ
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:31:10.46 ]
- あーイライラしてきた
結構間違ってないと思うんだけどなー
だってね
lim[n→∞](1+(1/n))^n=e
log[e]を取って
lim[n→∞]log[e]((1+(1/n))^n)
ここ
これ二重極限でしょ？
eも極限で3行目も極限
二重極限でもう滅茶苦茶
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:32:16.68 ]
- >>144
「eを論証で求める」とは何だ？
a=1やx=2^(1/3)と同じように、e=lim[n→∞](1+(1/n))^n は定義の時点で値が定まっている
その値を具体的に求めたいなら計算するしかないし、eの性質を知りたいなら上の定義式から変形していくしかない
eは未知数ではなく定数だから求めるもへったくれもない、定義の時点で求まっている
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:33:21.23 ]
- >>144
(1+(1/n))^n が n→∞ のとき収束することの証明を最初にすればいい
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:33:29.62 ]
- >>144
> eを論証によって求めたいのに
なんて言っているがお前の言う“e”っていったい何のことを言っているんだ？
“e”という文字を使わずに説明できるのか？
言い換えると、お前が“e”と名付けている“もの”はなんなんだ？
- 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:35:18.85 ]
- >>149
eの極限と微分の極限もこの場合順番を入れ換えて構わない
数列の極限に関する数学書で勉強するといい
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:38:20.01 ]
- >>149
は？
どこが二重なんだよ
logがlimの中に入ったのはlogの連続性による
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:38:21.65 ]
- >>149
>二重極限でしょ？
ちゃう
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:41:48.02 ]
- >>155
だから！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
いや俺が頭悪いんだけど...でもね？
lim[n→∞]log[lim[n→∞](1+(1/n))^n]((1+(1/n))^n)
はおかしい
e自体は前の行の極限とったにこの行で値を確定されている。
せめてと書くべきでしょ？
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:42:52.72 ]
- 違ったｗｗｗ
lim[n→∞](1+(1/n))^n=e
log[e]を取って
lim[n→∞]log[e]((1+(1/n))^n)
はおかしい
lim[n→∞]log[lim[n→∞](1+(1/n))^n]((1+(1/n))^n)
こうするべき
二重極限はダメなわけで
分けて書くとか無茶苦茶
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:43:00.16 ]
- >>156
2つのlimのnを同じにしちゃいけない。
一方はmとでもしておかないと。
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:43:46.88 ]
- いやこれは二重極限かｗlim入れてやがるｗ
こうだ
lim[n→∞]log[(1+(1/n))^n]((1+(1/n))^n)
これね...これが正しい
まじで疲れるわ
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:44:28.25 ]
- >>156
lim[n→∞](1+(1/n))^nの極限値で実数が１つ定まるというのは分かってるのか？
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:47:36.76 ]
- 誰かlim[n→∞](1+1/n)^nが収束することの証明をコピペして差し上げろ
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:48:37.69 ]
- >>159
で、logってなによ？
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 22:52:48.64 ]
- >>157
別にeを極限を使った形で書いて気が済むならそうしたら？
無意味な書き換えにすぎないし、収束している以上単なる定数で二重極限にもならないけど
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:03:02.76 ]
- 屁が出そう
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:05:18.64 ]
- =3ﾌﾟｯ
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:14:01.60 ]
- ハート型をグラフで再現することは可能ですか？
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:19:28.58 ]
- x^2+(y-x^(2/3))^2=1だっけ
割と有名な式
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:20:26.62 ]
- > ハート型をグラフ
でググる
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:25:59.93 ]
- mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html
- 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:57:11.91 ]
- eは有理係数の二次方程式の解になり得ないことを示せ
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/06(木) 00:05:29.24 ]
- www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/e_transc.pdf
mathematics-pdf.com/pdf/e_transnum.pdf
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