- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/13(土) 01:02:55.02 ]
- >>114
ツッコミ成分は足りてると思うので、別ルートから説明を試みる。
はじめに 0≦θ≦90°の範囲で sinθ, cosθ が定義されているとする (直角三角形による定義)。
円周角の定理より、円周角が θ≦90°の範囲で、次の正弦定理が成り立つ。
2Rsinθ = a,
ここで 2R は円の直径、a は弦の長さ。
ところで、円周上の 4 点からなる四角形の内角の大きさは、円周角および中心角の定理から、
対角同士の大きさの和が 180°になることが分かるので、θ > 90°の場合 (鈍角)、
その対角の大きさは 180°- θ < 90°(鋭角)。二つの角は互いに弦を共有しているので、
鈍角θに対する正弦関数 sinθは、正弦定理より、
2Rsinθ = 2Rsin(180°-θ) = a,
sinθ = sin(180°- θ) ( 180°> θ > 90°),
と定義できる。
次に、三辺の長さがそれぞれ a, b, c なる三角形を考える。a, b, c の対角の大きさをそれぞれ α, β, γ とする。
β, γ がそれぞれ鋭角であれば、直角三角形による cos の定義から、次の余弦定理が成り立つ。
a = b・cosγ + c・cosβ.
αが鋭角である場合、同様に、
b = c・cosα + a・cosγ,
c = a・cosβ + b・cosα,
が成り立つ。α が鈍角であったなら、外角 180°- α は鋭角であり、余弦定理は次のように表される。
c = a・cosβ - b・cos(180°- α).
このとき、
cosα = - cos(180°- α) ( 180°> α > 90°),
と定義すれば、すべての三角形について同様に余弦定理を表すことができる。
これで第二象限までは拡張できた。あとは、直角三角形での余弦関数 cos と正弦関数 sin の関係から,
cos(θ) = sin(90°- θ), sin(θ) = cos(90°- θ),
さっき使った三角関数の新しい定義をつかって、
cos(θ) = - cos(180°- θ) = - sin(90°- (180°- θ))
= - sin(θ - 90°) = - sin( 180°- (θ - 90°))
= - sin( 270°- θ),
とかやってけば、任意の角度まで定義できるけど、ここまでくると結局、単位円を使った説明の方がやさしい。
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