(1) tan z ＝ sin z / cos z である．tan z の特異点は分母のcos z の零点であるz = (-1/2+n)π であり， 分母の cos z を一回微分すると -sin z となり，z = (-1/2+n)πは-sin z では零点ではない．よって１位の極である(真性特異点ではない)
(2) g(z) = cos z , h(z) = sin z とすると tan z = { h(z) / g(z) } (1)が合っていると仮定すると tan zは1位の極であるから Res { tan z : (-1/2+n)π } = Res{ h(z) / g(z) ; ( -1 + n/2 )π } = h( -1/2+n ) / ( d/dz )g ( -1/2+n ) = sin ( -1/2+n )π / -sin ( -1/2+n )π = -1 よって留数 -1
(3),(2)が合っていると仮定すると(2)で求められた -1 という数字は tan z のLaurent展開に置ける { z - ( -1/2+n ) }^(-1) πの係数と等しくなる筈である． よって，求めるLaurent展開の主部は -1 / z -( -1/2+n )π
