- 427 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2013/02/28(木) 21:26:28.86 ]
- はい
既出かも知れないが、まずはこんなところ（下記）を
www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/gals.pdf
ガロア理論入門ノート（詳細）Osamu MATSUDA
ガロア理論とは, 19世紀始めのフランス人数学者エヴァリスト・ガロアの名
前からきている. ガロア理論といって先ず思い出す有名な定理は, 「一般の5次
以上の方程式には解の公式が存在しない」というものである. そして「不可能で
あることを証明する」ということ，これがガロア理論の醍醐味である.
どんな4次以下の方程式も, 方程式の係数どうしの四則演算と n 乗根を用いて解くことができる.
代数学では, 方程式の係数どうしの四則演算とn乗根を用いて解くことを代数的に解くという.
だから4次以下の方程式は全て代数的に解けるのである.
しかし5次以上の方程式の中には, 代数的に解けないものがある.
これは, 5次以上の方程式には, 代数的に解くための解の公式が存在しないということを意味する.
この結論を証明するために, ガロアは方程式そのものを考えず, 方程式の背後に潜む群という集合を考えていった.
これは現代流に言えば, 「対象となる数学の内在的性質を探る」という手法の先駆けであるように思える.
ガロアは21歳のとき, 恋人をめぐる決闘によってその人生を閉じた. これはまた驚くべきことでもある.
つまりガロア理論は彼が10代の時に考えたものであるということだ.
しかしこの理論は現在の私達にも,なんともいえない数学の美しさを与えてくれる.
このノートではガロア理論のみを, 特に最初に挙げた定理のみを扱う.
そのために, 必要ない代数学の知識は一切省いた. 基本的に代数学の知識ゼロを出発
点として, このノートだけで完全に証明を理解できるように努めた.
このノート作成にあたり, 特に[1],[2]の中の命題, 証明等を参考に構成した.
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