- 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/04(火) 13:46:37.86 ]
- 証明問題を解いたのですが解答とやり方が違ったので
分かりにくい個所や論理的におかしいところがあったら指摘してくれませんか？
(1)(2)は分かっています(3)をお願いします
問題
a, b, c を自然数とする。
(1) aが３の倍数でないならば、a^2 -1は３の倍数であることを示せ。
(2) a^2 +b^2 =c^2が成り立つとき、a, bの少なくとも一方は３の倍数であることを示せ。
(3) a, bが互いに素で、a^2 +b^2 =c^2が成り立つとき、cは奇数であることを示せ。
解答
(２)より、a, bの少なくとも一方は３の倍数。
いま、aを３の倍数とする。a, bが互いに素なので、
bは３の倍数ではない。よって、(１)からb^2 -1は３の倍数。
aは奇数だから、a^2も奇数。また、b^2 -1も奇数。
ここで、a^2 +b^2 =c^2⇔a^2 +(b^2 -1) =c^2 -1
（奇数）+（奇数）=（偶数）だから、c^2 -1は偶数。
よって、c^2は奇数で、cも奇数。
これはbが３の倍数のときも成り立つ。
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