- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/09(日) 21:36:45.94 ]
- >>430
以下、表記はすべて10進表記でのはなし。
有限小数は 正整数m、r を用いた m/10^r の形。
1/n=p/10^r、1/(n+1)=q/10^s（p,q,r,sは正整数)とする。
n=10^r/p、n+1=10^s/q が整数なので u,v,x,yを整数として
p=2^u5^v（u,v≦r）、q=2^x5^y(x,y≦s) と書ける。
よって、n=2^(r-u)5^(r-v)、n+1=2^(s-x)5^(s-y)であるが、
nとn+1は互いに素ゆえ、r-u=s-y=0 または r-v=s-x=0 が必要。
即ち、(1) n=2^a、n+1=5^b または (2) n=5^a、n+1=2^b。
(1)のとき2^a+1=5^b=(4+1)^b=4A+1。 2^a=4A。A=4B+1の形ゆえ、2^(a-2)=4B+1
これを満たすのはa=2、B=0のときのみ。 即ち n=2^2=4、n+1=5^1=5。
(2)のとき 2^b=5^a+1=(4+1)^a+1=4C+2。これより 2^(b-1)=2C+1。よってb=1、C=0
これから n=5^0=1、n+1=2^1=2。これはn≧2の仮定を満たさない。
以上から求める n=4
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