- 287 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/08/26(日) 13:33:03.34 ]
- >>282
つづき
d.hatena.ne.jp/lemniscus/20120527/1338129004
再帰の反復<[数学]ガロア理論と方程式 2012-05-27
8. 原始元の最小多項式と基本定理の証明
1が成り立つのを分離拡大、2が成り立つのを正規拡大、1+2をガロア拡大と呼ぶ。なのでガロア拡大の場合は、
体の拡大次数 = 群の位数
が成り立つ。
ガロア理論の基本定理は一言で言えば
ガロア拡大では、体(拡大体の中間体)と群(ガロア群の部分群)が1対1に対応する
というもので、それはこの「ガロア拡大では、体の拡大次数=群の位数」を使って証明される。
(基本定理における体と群の対応というのは、もう少し詳しくは
体 → 体のどの元(数)も動かさない置換の集まり(群)
群 → 群のどの元(置換)でも動かない数の集まり(体)
がちょうど逆の関係になるというもの。
またアルティンの線形代数的な証明では、拡大次数と写像の個数の関係を、単拡大性や多項式の話を使わずに導く)
d.hatena.ne.jp/lemniscus/20110803/1312380831
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