- 262 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/08/19(日) 07:21:48.62 ]
- >>258
つづき
この群と対称性の記述（下記）がいいね。分かり易い
群とは対称性を数学的に取り扱えるようにした、数学の道具と考えられなくもない
群→対称性、対称性→群と考えるのが正しい態度だろう
d.hatena.ne.jp/lemniscus/20120527/1338129004
再帰の反復<[数学]ガロア理論と方程式 2012-05-27
方程式からガロア理論
1. 対称性
対称性とは
ある要素aに対して操作fを行ったときに変化が起こらない場合、つまりf(a)=aとなる場合、「aはfについて対称である」とか「fについて対称性を持っている」と言う。また操作と対称性を同一視して「対称性fを持っている」とも言う。
(正確には「操作は可逆なものに限る」という但し書きがいる)
例えば、正三角形は「頂点を通る垂線による折り返し」や「120度の回転」等の操作で変化しないので、正三角形はこれらの操作について対称である。
対称性と群の関係
操作fと操作gの両方について対称とすると、「fとgを続けておこなう」という操作についても対称である(→積演算について閉じている)。
操作fで対称なら、それを元に戻す操作f -1についても対称である(→逆元の存在)。
「fとf -1を続けておこなう」ことは操作の一つでありそれは「何もしない」のと同じことなので、「何もしない」ことも操作に含まれる。そして「何もしない」という操作eについては必ず対称になる(→単位元の存在)。
これらのことから、ある要素の持っている対称性全体は群をなすことが判る。
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