- 131 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/07/29(日) 09:47:45.44 ]
- >>130
つづき
証明
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ガロア理論(6) TOSHIの宇宙４ - Yahoo!ブログ 2009/6/3(水) 午前 10:23
抜粋
交代群Ａnが対称群Ｓnの正規部分群となるのは直接確かめることによって容易に証明できます。
Ｓ4には正規部分群の列:{１}⊂Ｖ⊂Ａ4⊂Ｓ4があり(Ｖは４元群),因子群:Ｓ4/Ａ4,Ａ4/Ｖ,Ｖ/{１}の位数は2,3,4なのでアーベル群です。
一方,Ｓ5の正規部分群は{１},Ａ5,Ｓ5しかないことがわかります。
Ｈ≠{１}をＡ5の正規部分群と仮定してσ∈Ｈとすると,Ａ5 におけるすべての共役元はＨに含まれます。
そして,全ての３巡回元がＡ5の共役元となることがわかりますが,全ての交代群Ａnは３巡回元によって生成されるのでＡ5は単純群,つまり自分自身と{１}以外に正規部分群を持たない,ことになります。
さらにＨ≠{１}をＳ5の任意の正規部分群とすると,Ｈ∩Ａ5はＡ5の正規部分群ですが,Ａ5は単純群なのでＨ∩Ａ5＝Ａ5,すなわち,Ａ5⊂Ｈ (Ｈ＝Ａ5,またはＨ＝Ｓ5)であるか,Ｈ∩Ａ5＝{１}であるはずです。
後者の場合ｈ∈Ａ5ではないｈ∈Ｈが存在し,このｈは奇置換なのでＨＡ5＝Ｓ5です。
Ｈ∩Ａ5＝{１}なので,位数の関係式|Ｈ∩Ａ5||ＨＡ5|＝|Ｈ||Ａ5|が成立することから,結局|Ｈ|＝|Ｓ5|/|Ａ5|＝2が成立するはずです。
Ｈ∩Ａ5 ＝{１}より,Ｈは１以外には奇置換しか含まないのでｈ≠１なるｈ∈Ｈをとると,その位数は２なのでｈ＝(ab)(ある決まった２つのａとｂの互換)になります。
ｇ∈Ｓ5で共役元ｇｈｇ-1を作るとき,例えばｈ＝(12)としてｇ＝(134)とすればｇｈｇ-1＝(24)となります。
これは単位元ともｈとも一致しないのでｇＨｇ-1≠ＨとなりＨが正規部分群であることに矛盾します。したがって,Ｓ5の正規部分群は{１},Ａ5,Ｓ5しかないことが示されました。
それ故,正規列は{１}⊂Ａ5⊂Ｓ5となり因子群Ａ5/{１}はＡ5/{１}〜Ａ5と交代群Ａ5に同型であって,交代群Ａ5は明らかに非アーベル群ですからＳ5は可解群ではありません。
以上から,"４次以下の代数方程式はベキ根による一般解が存在するけれども,５次以上の代数方程式は一般にベキ根によっては解けない。"ことがわかりました。
これでガロア理論については,ひとまず終わりにしたいと思います。
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