無矛盾とは理論Tと任意の論理式Fについて、 not( T |- F & T |- ¬F ) となることで、この論理式を変形すると ( ( T |- F ) & not( T |- ¬F ) ) or( not( T |- F ) & ( T |- ¬F ) ) or( not( T |- F ) & not( T |- ¬F ) ) となるのですが、これの上半分の ( ( T |- F ) & not( T |- ¬F ) ) or( not( T |- F ) & ( T |- ¬F ) ) の部分を完全と呼びます。つまり、 not( T |- F ) & not( T |- ¬F ) となるFが存在しなければ完全になります。 しかしながら、 ・理論TがΔ^0_1 ・理論TがΣ^0_1-完全集合を表現可能 の2つの条件を満たせば not( T |- F ) & not( T |- ¬F ) となるFの存在が証明されてしまうのです。 これが第一不完全性定理です。 もちろんここまでで真偽値は関係しません。
