- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 09:46:09.53 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 22:42:42.20 ]
- ストーンの定理のストーンってもっと尊敬されていて良いはずなのに
何故か誰も彼のことを語らないらしいね
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 22:54:45.62 ]
- >>479
大概の Recursion Theory の本には証明が載ってるよ。
Boundedness principle というものの帰結の一つで
算術的に限らず Σ^1_1 まで拡げられる。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 23:02:36.07 ]
- いわゆるゲンツェンの基本定理によって
対偶法・背理法といった間接証明で証明可能な命題は直接証明可能である
ということが導かれるのは何故でしょうか
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 23:09:03.13 ]
- >>489
スコートゥスの定理のスコートゥスも全然語られないな
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/18(金) 22:18:33.23 ]
- >>491
証明が存在するなら、部分論理式属性を持つ証明が
存在することを証明してるから。
証明図中に登場する全ての論理式が、帰結となる論理式または公理の
部分論理式になっているから、証明の中には証明する論理式と
公理以外は存在しない。
だから、直接証明可能。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/18(金) 23:28:03.14 ]
- >>493
すみません
仰ることは分かる気がするのですが
それを基本定理が示しているというのがピンときません
補間の存在の有無と仰ることがどう関連するのか
腑に落ちないというか…
仰ることが真の意味では全くわかっていないのかもしれません
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 00:23:45.28 ]
- >>494
web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf
正確には、ゲンツェンの基本定理ではなく、その系から
導かれたはずです。
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/19(土) 01:19:31.09 ]
- ttp://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 11:15:55.29 ]
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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- 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 13:17:20.64 ]
- 集合の質問ってここで良いのかな？
どなたかご存知でしたらお教え下さい。
A_B = {a∪b|a∈A, b∈B}
のような演算_は何か名前がついていたりしますでしょうか？
Webで検索してみたのですが、似たようなのは見付かりませんでした。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 15:43:16.74 ]
- 取り出す要素a,bによって演算A_Bの結果が変わるのけ？
- 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 17:46:19.71 ]
- >>490
ありがとうございます。探してみようと思います。
- 501 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/19(土) 17:57:09.50 ]
- >>498
どういう脈略でそのような演算を考えたのですか？
- 502 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/19(土) 19:07:48.93 ]
- >>500
MoschovakisのDescriptiveSetTheoryという本（Webで無料公開中）に詳しく紹介されています。
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 19:23:10.57 ]
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- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 00:45:43.99 ]
- >>495
これを読んでもやはりその帰結が得られません
背理法は推論規則の一種だからということでしょうか
それなら定理である対偶にも適用可能というのがわかりません…
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 01:16:00.86 ]
- >>495
別のものを読んだら
少しわかってきました
正規化定理が成り立つ場合、その体系においては部分論理式原理が成り立ち、
この部分論理式原理が成り立つということが即ち直接証明可能な証明図の存在、
構成を可能にするということなのですね
- 506 名前：498 mailto:sage [2012/05/20(日) 01:33:15.23 ]
- >499
演算結果は集合になるので、一意に決まります。
>501
導出原理を集合として扱いたいのですが、そのような場合には
このような演算があった方が便利なようです。
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 02:05:21.20 ]
- >>495
この文献を紹介された意味は
NKにおいても部分論理式原理が成り立つことが言えるということでしょうか
- 508 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 10:06:47.97 ]
- >>507
NKの場合、単純な意味での部分論理式原理は成り立たない。
例：排中律 p∨¬p の証明図中には部分論理式ではない ¬¬(p∨¬p) の登場が必要。
- 509 名前：508 [2012/05/20(日) 10:10:12.46 ]
- 訂正：
例：排中律 p∨¬p の証明図中には部分論理式ではない ¬(p∨¬p) の登場が必要。
- 510 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 10:23:14.26 ]
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- 511 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 10:31:44.25 ]
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- 512 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 10:35:39.13 ]
- >>491
「ゲンツェンの基本定理によって対偶法・背理法といった間接証明で証明可能な命題は直接証明可能である」
というのは、定理の雰囲気を説明するための喩え話のようなものではないでしょうか。
聞き流す分には害はないけれども、喩え話だけを見て深く考えようというのは不適切で、
深く考えたいならば基本定理の主張を正確に数学的に理解する必要があると思います。
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 13:36:27.02 ]
- 正確に理解しない数学なんてありえない。
喩え話は数学には必要ない。
数学的直感は必要。
- 514 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 15:49:04.71 ]
- >>513
例え話は例えた奴の理解度と知性がよくわかるので有用。
- 515 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 15:56:37.42 ]
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- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:35:51.81 ]
- >>506
＞ 演算結果は集合になるので、一意に決まります。
取り出す要素a,bは一意でないのに？
それに要素a,bが集合でない場合の演算∪はどう定義される？
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:46:15.80 ]
- >>516
大分的外れなこと言ってるね。
取り出す要素が一意だったらおかしいでしょ。
a,bが集合でない場合なんて考えようがないし考える意味もない。
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:48:25.56 ]
- 取り出す要素が一意でないのに
aUbは一意に決まるのですか？
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:53:18.12 ]
- U_[p] ： {p：p=aUb(a∈A,b∈B)}
498から想像するに、おそらく こんな感じの演算。
aUb(a∈A,b∈B) のa,bが一意に決まらないのに
aUbが一意に決まるわけがない。
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:56:22.30 ]
- それだと A_B は 普通に A∪B になるんじゃね？
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 17:02:09.42 ]
- ならない
A={ {1,2} ,{1,3} } B={ ｛0,1} } のとき
A∪B={ {1,2} ,{1,3},｛0,1} }
∪_[a∪b| (a∈A , b∈B)] ＝ { 0,1,2,3 }
{ a∪b| a∈A , b∈B) } ＝ { {0,1,2} , {0,1,3} }
- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 18:25:46.10 ]
- >>519
一意に決まったらそれこそおかしいでしょ。
a,bは集合A,B全体を動く変数なんだから。
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 18:32:01.48 ]
- >>522
よく嫁。
519はa,bは一意に決まらないからa∪bは一意に決まらないと言っているだけだ。
{a∪b}とa∪bは違うと言っている。
- 524 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 18:43:05.89 ]
- >>508
二重否定除去を用いる時点で背理法が使われている筈だから、￢を用いた式を新たに使わなければならない以上
部分論理式原理は成立しない、従ってNKにおいては対偶・背理法を用いず云々の話は言えない
ということでしょうか
つまり部分論理式原理はLKでは言えるがNKでは言えないと
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 18:55:57.27 ]
- >>523
依然として何を問題視しているのかが見えない。
どこに問題があると考えているの？
- 526 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 19:06:42.86 ]
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- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 19:12:15.00 ]
- 499と516が
{a+b : aは2の（正の）約数、bは3の（正の）約数}
= {1+1, 1+3 ,2+1, 2+3} = {2, 3, 4, 5}
みたいな書き方を知らないだけだと思うな
- 528 名前：498 mailto:sage [2012/05/20(日) 19:13:38.69 ]
- >523
a∪bとしては一意に決まりませんが、{a∪b|a∈A, b∈B} としては一意に定まります。
正しく >521の演算の通りですね。
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 19:23:19.24 ]
- たぶん特別な名前は付いてない
仮に付いててもメジャーじゃないから通用しない
- 530 名前：498 mailto:sage [2012/05/20(日) 20:00:09.17 ]
- >529
やっぱり無いですかね。それでは適当に定義することにしようかな。
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 20:37:09.49 ]
- ウェブサイト（erectuswalksamongst.us/Chap9.html）につき
そこでいう“Caucasian”は、
{Caucasians} ⊂ {Caucasoids}
である。また、そこでいう“Asian”は、「Mongoloid」の定義いかんでは
{Asians} ∩ {Mongoloids}C ≠ Φ
（{Mongoloids}C は {Mongoloids} の余集合を表わす）
という集合をつくる。簡単に分かることであるが、
{Caucasians} ∩ {Asians} ＝ Φ
である。 そして、次のような集合（集団） S が存在し得る：
S ⊂ {Asians} s.t. S ⊂ {Caucasoids}＼{Caucasians} ．
このような集団 S に属する人々としてどのような例がありますか？
- 532 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 21:05:55.93 ]
- >>524
「対偶・背理法を用いず云々の話」は、誰かが言っているように喩え話なので、
これを論じ始めると各自の解釈に依存する泥沼になってしまうだけだと思う。
そのような非数学的議論を楽しむのも結構だが、それは次の数学的事実を
正確に理解してからの方がよいだろう。
[数学的事実]
NKで仮定無しに証明できるが、その部分式だけを使用した証明図では
証明できない論理式がある。
なお、この事実をもって「NKでは部分論理式原理が成立しない」
と言うかどうかは「部分論理式原理」の定義に依存する。
あなたは（あるいはあなたが読んでいる本は）「部分論理式原理」を
どう定義していますか？
- 533 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 21:06:35.39 ]
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- 534 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 23:48:22.90 ]
- >>532
証明図中に登場する論理式について、仮定と結論の部分論理式以外のものは登場しない
ということでした
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 00:53:06.35 ]
- 家庭というのは前提のことです
- 536 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 01:34:08.67 ]
- >>534
これはひとつの証明図に着目してそれが部分論理式原理をもつことの定義ですね。
そして「NKにおいて部分論理式原理が成り立つ」ということの定義はおそらく次ですね：
Γ |- φ を表す証明図（つまり、結論がφで仮定はすべてΓの要素であるような証明図）
が存在すれば、 Γ |- φ を表し部分論理式原理を持つ証明図が存在する。
そして、この定義の部分論理式原理がNKで成り立たないことは理解できますか？
ついでに言うと、定義を変えれば成り立つかもしれないというのは、
一例として、「部分論理式」の定義を少し変えて ¬(p∨¬p) が p∨¬p の部分論理式である、
と言えるようする、などです。
- 537 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 02:04:43.46 ]
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 538 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 04:34:32.39 ]
- >>536
Aの部分論理式として
￢Aも、￢￢Aも認めないのであれば成り立たないですよね
で、￢￢Aを部分論理式として認めると、その帰結としては背理法・対偶を使わない正規形が存在しない、ということは言えませんよね
ということです
正規化定理⇒(修正された)部分論理式原理はいえても
部分論理式原理⇒正規形に間接証明を用いているものがない
は言えないと思う、ということなのですが…
- 539 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 07:48:39.10 ]
- >>538
「背理法・対偶を使わない正規形」の正確な定義はありますか？
- 540 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 07:57:14.62 ]
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- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 11:09:16.05 ]
- >>539
背理法を使う証明：命題(前提⇒結論)の否定から矛盾を導くことで命題を証明する証明
対偶を使う証明：結論の否定から前提の否定を導くことで命題を証明する証明
即ち前提⇒結論の部分論理式に￢をつけた論理式を部分論理式として認めるか否か
によって変わってくるということです
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 14:52:42.30 ]
- 背理法使わなかったら、完全性が成立しないんでないの？
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 15:10:32.97 ]
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- 544 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 15:17:43.85 ]
- >>541
「命題を証明する証明」の定義がわかりません。
「証明Pが命題Aを証明している」という概念の正確な定義は何ですか？
そもそも「命題」という言葉を「論理式」と同じ意味で使っていますか、
それとも違う意味で使っていますか？
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 15:36:24.90 ]
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