- 115 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/07(水) 10:11:17.59 ]
- 命題
(Z+)^n（>>71）に辞書式順序（>>75）を入れて順序集合と見なす。
M = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n； a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n} とおく。
このとき M は順序集合として Z+ に同型（>>113) である。
証明
>>91より、(Z+)^n （>>73）は整列集合（>>84）である。
M は (Z+)^n の部分集合であるから整列集合である。
明らかに M は無限集合である。
よって、M が>>114の条件（*）を満たすことを証明すれば良い。
M の任意の元 a = (a_1、．．．、a_n) に対して
x = (x_1、．．．、x_n) ∈ M、x ＜ a なら a_1 ≧ x_1 であるから
a_1 ≧ x_1 ≧ x_2 ≧ ．．．≧ x_n である。
よって、集合 {x ∈ M； x ＜ a} の元の個数は (a_1)^n 以下である。
証明終
