命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>64より B は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）となる。 このとき、任意の f ∈ B に対して h = Σ[g ∈ O(f)] g は対称多項式（>>64）である。 ここで、O(f) = {σ(f)； σ ∈ G} は f の軌道（過去スレpart5の92）である。
証明 H を f の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 即ち H = {σ ∈ G；σ(f) = f} である。 G/H を G の H による左剰余類全体の集合とする。 σ_1、．．．、σ_m を G/H の完全代表系とする。 O(f) = {σ_1(f)、．．．、σ_m(f)} である。 よって、h = σ_1(f) + ．．．+ σ_m(f) である。 任意の τ ∈ G に対して τσ_1、．．．、τσ_m は G/H の完全代表系である。 よって、τh = τσ_1(f) + ．．．+ τσ_m(f) = σ_1(f) + ．．．+ σ_m(f) = h よって、h は対称多項式である。 証明終
