- 105 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/07(水) 00:28:06.73 ]
- 命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
f ≠ 0 と g ≠ 0 を B の元とする。
c_a と d_b をそれぞれ f と g の主係数（>>101）とする。
(c_a)(d_b) ≠ 0 のとき
mdeg(fg) = mdeg(f) + mdeg(g)
lead(fg) = lead(f)lead(g)
証明
f = c_aX^a + Σ[i ＜ a] c_iX^i
g = d_bX^b + Σ[j ＜ b] d_jX^j
と書ける。
よって、
fg = (c_a)(d_b)X^(a + b) + Σ[j ＜ b] (c_a)(d_j)X^(a + j) + Σ[i ＜ a] (c_i)(d_b)X^(i + b)
+ Σ[i ＜ a、j ＜ b] (c_i)(d_j)X^(i + j)
>>104より
j ＜ b のとき a + j ＜ a + b
i ＜ a のとき i + b ＜ a + b
i ＜ a、j ＜ b のとき i + j ＜ a + j ＜ a + b
よって、
mdeg(fg) = mdeg(f) + mdeg(g)
lead(fg) = lead(f)lead(g)
証明終
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