- 1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu]
- ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。
- 69 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:17:53.33 ]
- >>63
>ここで、a→1, b→2, c→3, d→4, e→5と置き換えると
これで全くの間違いという訳ではないが、これではガロアの見ていたものは見えない
a→0, b→1, c→2, d→3, e→4の置き換えでなければならない
これだと下記になる
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
- 70 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:27:58.08 ]
- >>69 つづき
第一番目の列
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
1 2 3 4 0
が、長さ５の巡回群を表していることは同じ>>64
だが、第一行目の見え方が違う
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
これ、最初の順列を２倍したら次の順列で、それをさらに２倍したら次ということが見えるだろう
但し、mod 5(5を法として計算)でだが
ここは、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）の書き方から、もっと早く気づくべきだった
- 71 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:36:54.34 ]
- >>69 続き
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
で、例えば、左から３列目で、上から３つめの順列3 2 1 0 4を考えよう
これは、最初の順列0 1 2 3 4を、４倍して３を足せば（mod 5 で）得られるんだ
このことを、ガロアは第VII節と第VIII節で書いている
- 72 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:46:39.47 ]
- >>71
なお、この位数20群は、下記ではB'5 メタ巡回群と書かれている
この元吉文男氏の5次方程式の可解性の高速判定法は面白くて参考になった
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - 1993
ほぼ同じ内容が下記（こちらの方が年代が後で少し詳しい）
staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01
- 73 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 13:43:15.41 ]
- >>70 補足
”第一番目の列
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
1 2 3 4 0
が、長さ５の巡回群を表していることは同じ>>64”
ここも、これで間違いじゃないが、これではガロアの見ていたものは見えない
mod 5(5を法として計算)で見ないと
つまり、最初の順列
0 1 2 3 4に＋１をすると
1 2 3 4 0が得られる
そう見るんだ！
それでこそ、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述と整合してくる！
- 74 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 13:58:53.84 ]
- 訂正スマソ
>>63
b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e（５行目）
↓
e a b c d, d a c e b, b a e d c, c a d b e
5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5（５行目） (これは>>64で書いたが再録)
↓
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5
>>69
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4（５行目）
↓
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
>>70
1 2 3 4 0（５行目）
↓
4 0 1 2 3
>>71
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4（５行目）
↓
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
>>73
1 2 3 4 0（５行目）
↓
4 0 1 2 3
注）最初>>63で、アルファベットの順列のときに一箇所誤記があって、それに気付かず誤記が拡散してしまった。
- 75 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 14:11:39.70 ]
- >>74
もう一度正しい群を書き下しておこう
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4 （← ここが訂正）
そしてガロアが見ていたものは
１．縦に、順列0 1 2 3 4に対し、＋１mod 5(5を法として計算)で一番左の列の群（部分軍＝長さ５の巡回群）が得られ
２．横に、第一番目の列の群
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
を、２倍 mod 5(5を法として計算)すれば、２列目、２列目を２倍して３列目・・と
３．それを、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述で言えば
ガロアが見ていたものは
Xk, Xak+b、あるいはf(k+c)=f(k)+C
(ここは、上記”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”と合わせて読んでください)
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