- 226 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/12(日) 12:15:20.03 ]
- >>225
さて、ここは、
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)では、守屋がP101から111までをかけて延々解説している
この要点だけをつまむと
１．f(V,r)＝（x-V1）（x-V2）・・・（x-Vn） (上記V、V'、V''、・・・・、V''*を一般性を失わずに並べ替えて、V=V1、V'=V2・・・と書き換えた)
２．g(x)=(x-r1)(x-r2)・・・(x-rm) (上記r,r',r''・・ をr=r1,r'=r2,r''=r3・・・と書き換えた。なお、再度強調するが、g(x)は素数p次の既約式)
３．F(x)が２の根rの添加でF(x)＝f(V,r)q(V,r)と分解されたとする
ここに、F(x)、g(x)は体Q（有理体）、f(V,r)、q(V,r)はQ（r）(有理体にｒを添加した体)に属するとする
４．逆に見ると、Q（r）に属する二つの式f(V,r)、q(V,r)の積が、有理体QのF(x)という式になるためには
f(V,r)q(V,r)の中に、g(x)の全ての（m個の）根r1、r2、・・・、rmが含まれていないとまずい
５．つまり、F(x)=(f(V,r1)xf(V,r2)x・・・xf(V,rm))x(q(V,r1)(xq(V,r2)x・・・xq(V,rm))となっているべき
別の見方をすると、F(x)の右辺はg(x)の全ての（m個の）根r1、r2、・・・、rmの対称式になっていないと、有理体QのF(x)にならないと
６．そこで、改めて、f(V,r1)＝f(V,r1)xq(V,r1)と書き直せば、ガロア論文のP32 第II節の因子分解が得られる
また、対称式の要請から、f(V,r1)、f(V,r2)、・・・、f(V,rm)は次数はもちろん式の形も同じだと
これが、直感的な説明で、ガロアの見ていた原風景ではなかったか
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