- 225 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/12(日) 11:46:41.73 ]
- >>195-197
さて、今日の本題
>だが、素数p次のべき根の添加の場合は、話が簡単になる
>だから、>>191 ガロア方程式が
>f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・
>とp個の因子に分解する場合
>倉田令二朗「ガロアを読む」>>4P138の記法で、もとのガロア方程式の群Gとf(V,r)の部分群Hとの関係は、部分群Hは正規部分群になり商群G/Hが、巡回群 Cpになると
>これが、ガロアの見ていた原風景
>（但し、”部分群Hは正規部分群になり商群G/Hが、巡回群 Cpになる”ということを、もう少し一般化して、ガロア独自の（現代風でない）言葉で、第II節から第III節で述べられている。
> なお、第III節 が正規部分群に関する定理で、第II節 はその前段に当たる）
素数p次のべき根の添加の場合は、上記。そして、素数でないべき根は、素数p次の議論を繰り返し適用すれば良いことは簡単に分かる
そこで、素数p次の一般の（二項方程式でない）場合の補助方程式g(x)の根rが添加されて、f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・のように分解される場合を直感的に説明する
まず、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・はガロア方程式>>33-34
つまり、>>28ガロア分解式（リゾルベント） V=Aa+Bb+Cc+・・・ a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように決める
V、V'、V''、・・・・、V''* （もとの既約方程式の根 a,b,c・・・を置換してできる値の異なる全ての式。（元が一般５次方程式なら120個の式））
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*） （元が一般５次方程式なら120次の式）
この場合、V、V'、V''、・・・・、V''*は、互いに他の一根の有理式で表されるという性質を持つことに注意しておこう （元の根a,b,c・・・もVの有理式で表される）
（これは、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)のガロア論文 P28の補題IIIに相当する）
|
 |
