- 271 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2011/12/31(土) 12:19:40.23 ]
- 命題（松村の可換環論より）
R を可換環、M を有限生成 R-加群とする。
f：M → M を R-線型写像とする。
このとき f が全射なら f は単射である。
証明
R[X] を R 係数の１変数多項式環とする。
m ∈ M に対して Xm = f(m) と定義することにより M は R[X]-加群になる。
f は全射だから XM = M である。
よって、I = R[X]X とすれば IM = M である。
>>267より FM = 0、F ≡ 1 (mod I) となる F ∈ R[X] がある。
F = 1 + GX と書ける。ここで G ∈ R[X]。
m ∈ Ker(f) とすると、f(m) = 0
よって、Xm = 0
よって、0 = (1 + GX)m = m
よって、Ker(f) = 0
よって、f は単射である。
証明終
