- 267 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2011/12/31(土) 12:02:55.18 ]
- 中山の補題（代数的整数論001の242から少し修正して転載）
R を可換環、M を有限生成 R-加群とする。
I を R のイデアルで IM = M とする。
このとき aM = 0、a ≡ 1 (mod I) となる a ∈ R がある。
証明
M の R-加群としての生成元を x_1、．．．、x_n とする。
IM = M より、I の元の列 a_(i,j), 1 ≦ i、j ≦ n があり、
これ等の間に次の関係式が成立つ：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = x_2
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = x_n
(x_1, x_2, ... , x_n) の転置行列を x とする。
A = (a_(i,j)) とすると Ax = x となる。
よって、(E - A)x = 0 となる。
ここで、E は n 次の単位行列である。
よって >>263より det(E - A)x_i = 0 が各 i で成立つ。
よって、det(E - A)M = 0 となる。
一方、E - A ≡ E (mod I) であるから det(E - A) ≡ 1 (mod I) となる。
a = det(E - A) とおけばよい。
証明終
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