- 263 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2011/12/31(土) 11:51:53.51 ]
- 補題（代数的整数論001の236から少し修正して転載）
R を可換環、M を R-加群とする。
n > 0 を整数。
a_(i,j), 1 ≦ i, j ≦ n を R の元の列。
x_1, x_2, ... , x_n を M の元の列とする。
これ等の間に次の関係式：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = 0
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = 0
があるとする。
このとき、det(A)x_i = 0 が各 i で成立つ。
ここで、 A = (a_(i,j)) であり、det(A) は A の行列式。
証明
(x_1, x_2, ... , x_n) の転置行列を x とする。
上の関係式を行列記法で書くと、Ax = 0 となる。
A~ を A の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
A~A = det(A)E となる。ここで、E は n 次の単位行列。
よって、A~Ax = det(A)x = 0 となる。
つまり、det(A)x_i = 0 が各 i で成立つ。
証明終
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