- 596 名前：エトス mailto:sage [2012/01/23(月) 20:27:40.86 ]
- >>594
f(x)=a+bx+cx^2+dx^3 とおきます.
固有値と多項式に関するFrobeniusの定理から,
Aの"全て"の固有値はf(1),f(i),f(-1),f(-i)であるといえます.
この定理を用いなくとも,この問題の場合は,
f(1),f(i),f(-1),f(-i)の4つは全て異なるので,
この4つがAの固有値であることを確認するだけで
Aの固有値はこれで全てであると結論できます.
定理を使わずにどうやって確認するかというと,
Pの固有値をλとし,対応する固有ベクトルをxとすれば,Px=λxであり,
Ax=(aE+bP+cP^2+dP^3)x=ax+bλx+cλ^2x+dλ^3x
=(a+bλ+cλ^2+dλ^3)x=f(λ)x
となっているので,たしかにf(λ)はAの固有値となっています.
