- 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/16(月) 19:10:30.39 ]
- >>766
Ｓ_n = (-1)^n・(2n+1),
(略証)
Ｓ(x) = Σ[n=0,∞) Ｓ_n (-x)^n
= Σ[n=0,∞) (-x)^n Σ[k=0,n] (-4)^k･Ｃ(n+k,2k)
ここで n+k=M とおく。
= Σ[M=0,∞) Σ[k=0,[M/2]] (-x)^(M-k) (-4)^k Ｃ(M,2k)
= Σ[M=0,∞) Σ[k=0,[M/2]] (-x)^(M-2k) (4x)^k Ｃ(M,2k)
= Σ[M=0,∞) {(-x+2√x)^M + (-x-2√x)^M}/2
= {1/(1+x-2√x) + 1/(1+x+2√x)}/2
= {1/(1-√x)^2 + 1/(1+√x)^2}/2
= (1+x)/(1-x)^2
= Σ[n=0,∞) (2n+1)・x^n,
