面白い問題おしえて〜な 十九問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 00:12:57.26 ] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 20:42:35.59 ] n個の赤玉とn^2個の白玉(n≧1の整数)が入っている袋がある。 この中から2n個数の玉を取り出す。 このとき、白玉を少なくとも1個取り出す確率をPnとする。 (1) Pnをnを用いて表せ。 (2) lim[n→α]Pnが存在するようなαの値の 範囲を求めよ。 (3) (2)のとき、lim[n→∞]Pnを求めよ。 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 20:43:31.60 ] 解説して 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 20:46:36.42 ] >>449 Pn=1 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 21:09:56.21 ] どうやっても取り出した半分以上は白玉になる 東大作問スレでも最近こういう問題が多い 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 21:54:32.42 ] n^2個の赤玉と2^n個の白玉(n≧1の整数)が入っている袋がある。 この中から2n個数の玉を取り出す。 このとき、白玉を少なくとも1個取り出す確率をPnとする。 (1) Pnをnを用いて表せ。 (2) lim[n→α]Pnが存在するようなαの値の 範囲を求めよ。 (3) (2)のとき、lim[n→∞]Pnを求めよ。 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 22:00:35.69 ] 解脱して 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 22:01:25.67 ] >>453 Pn=1 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 22:01:42.95 ] どうやっても取り出した半分以上は白玉になる 東大作問スレでも最近こういう問題が多い 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 22:14:15.91 ] >>455-456 >>449と>>453は違うぞ？ 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 22:20:47.98 ] n→αの意味不明さは変わらず 459 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/28(土) 23:09:50.51 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 00:17:26.47 ] >>448 これは酷い。 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 00:52:24.72 ] >>435 n=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n+o… であるということは 両辺からnを引くと 0=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+o…  このような正の整数abcdefghijklmoは存在しない。 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 00:54:08.55 ] >>446 「要素は全くない」についてはここでは問題にしないので ぜひ相加相乗を使わない解答を教えてください。 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 01:03:29.37 ] >>460 酷いのは>>435>>460。 >>435はnと分割する個数が固定なのか不定なのか書いてない。 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 04:11:13.71 ] >>338 c(1)=a(1), c(n)=a(n)-Σ[k=1,n-1] b(k) (n≧2) とおくと {c(n)}は上に有界、かつ c(n+1)-c(n)=a(n+1)-a(n)-b(n)≧0 だから {c(n)}は単調増加、ゆえに{c(n)}は収束する。 よって{a(n)}も収束する。 >>431 b(n)→0だが{a(n)}が収束しない例： a(n)=-log(n), b(n)=a(n+1)-a(n) (n≧1) とおくと{a(n)}は上に有界で b(n)=-log(1+(1/n))→0 (n→∞) だが a(n)→-∞ 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 08:46:27.75 ] >>461 SUGEEEEEEEEEEEEEEEE 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 14:22:02.04 ] ほとんど単調増加っていう言葉を初めて聞いた。 ほとんど至るところで連続みたいな感じか。 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 01:51:54.27 ] 逆から読んでも同じ数式を、回文と呼ぶことにする。 任意の有理数は回文で表せることを示せ。 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 02:22:58.57 ] (a-0)*(0-b)+(1÷b+b÷1)*a=a*(1÷b+b÷1)+(b-0)*(0-a)=a÷b 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 13:23:51.89 ] >>468 説明不足でしたが等号を含まない式でお願いします。 それと、文字式は数字を当てはめたときに回文にならない場合があるので駄目。 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 13:24:56.07 ] あ、>>467で言ってる「逆から読んでも同じ」というのは、同じ値って意味じゃなくて同じ表記の式ってことです。 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 13:42:12.86 ] …まだなんか説明不足あるんじゃないかという気がするな 例えば"3"ってのは逆から読むと"3"なのかそれとも"ε"なのか… 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 13:53:28.91 ] >>471 それは気付かなかった。 3は逆から読んでも3。 36は逆から読むと63です。 あと、1行で書けないような式は不可。 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 13:54:10.26 ] まあどっちみち>>468の発展系でいける 「aを整数、bを非0の整数とするとき、以下の式の値は a÷bになる 2*(-a)*b+(1÷2b+2b÷1)*a+a*(1÷2b+2b÷1)+b*(-a)*2 ただし実際に表すときは a,(-a),b,2bを、正なら(1+1+…+1)、負なら(1-1-…-1)で記す」 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 13:56:35.12 ] あっと少し訂正、単独の2についてはいってなかった 2*(-a)*b+(1÷2b+2b÷1)*a+a*(1÷2b+2b÷1)+b*(-a)*2を (-a)*(2b)+(1÷(2b)+(2b)÷1)*a+a*(1÷(2b)+(2b)÷1)+(2b)*(-a)に 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 14:14:34.27 ] >>474 正解です。 ここまで来たらもう簡単かもしれないけど、さらに問題。 1 - ÷ ( ) の5種類の記号のみでも可能であることを示せ。 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 14:45:14.94 ] 例えば x*y　→　(x÷1)÷(1÷y)　ただしx,yに0が含まれる場合は0に置き換える x+y　→　(x-1)-(1-1-1-1)-(1-y) 正の整数n　→　(1-(1-1-1-…-1)-1) の変形を用いて先ほどの式から*と+を排除し正の整数表記を変更する 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 14:46:08.17 ] ああああ、重要な問題に気付いてしまった。 3を逆から読んでも3だというなら、 (1-1) という式は逆から読むと )1-1( になるじゃないか。 括弧は例外として逆向きにする、というのはちょっと苦しいか・・・。 とりあえず、左括弧と右括弧は逆から読むと入れ替わるということでお願いします。 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 14:50:21.81 ] さすがに括弧()が)(に変化するなら 式に現れる最後の閉じ括弧)が逆から読むと 式の先頭に来てしまう。つまり括弧の対応は必ず崩れるので使えない 括弧が使えないと除算は常に最優先となってしまうので どう頑張っても式全体の分母は1にしかならない つまり有理数は作れなくなってしまう 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 15:07:42.29 ] エラー出まくりで返事遅れてすいませぬ。 >>476 なるほど、それでいけますね。 ↓想定していた解答。 表したい有理数をa/bとする。 ただしa,bは整数、a+b≧0となるように表しておく。 a>bなら (1-(a+b)-(a-b+1))÷((a-b+1)-(a+b)-1) a<bなら ((b-a+1)-(a+b)-1)÷(1-(a+b)-(b-a+1)) で、a+b,a-b+1,b-a+1を1-1-…-1に置き換える。 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 15:10:56.69 ] >>479 なんかいろいろ間違ってるけど適当に脳内補正お願いします。 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 15:23:10.74 ] >>479 一応ちゃんと訂正しときます。 表したい有理数をa/bとする。 ただしa,bは整数、a+b<0となるように表しておく。 a<bなら (1-(a+b)-(a-b+1))÷((a-b+1)-(a+b)-1) a>bなら ((b-a+1)-(a+b)-1)÷(1-(a+b)-(b-a+1)) で、a+b,a-b+1,b-a+1を1-1-…-1に置き換える。 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/07(月) 14:16:21.18 ] m個の玉を無作為にn個の箱に入れるとき箱が1つだけ空になる確率を求めよ ただし、mとnをm≧n≧1を満たす整数とする 483 名前：あんでぃ mailto:sage [2012/05/07(月) 15:17:09.13 ] (　　 /＼＿＿／ヽ 　 ／／~　　~＼:＼ 　｜ (●)　(●) :｜ 　｜　ノ(＿)ヽ ::｜ 　｜　`-=ニ=-′::｜ 　 ＼　 `＝′ ::／ 　 ／｀ー――-´＼はぁ？…) 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 00:49:25.23 ] >>482 エレガントな解答か解放があれば息してよし 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 01:46:10.90 ] >>484を解放せよ 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 13:44:03.90 ] a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + 1 を満たす素数a、b、c、d、eの組をすべて求めよ 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 20:30:00.10 ] e=5. 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 21:40:26.35 ] >>487 それ以外にないのかね？ 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 22:33:24.98 ] x^y = y^(x^3) をみたす自然数x、yの組をすべて求めよ 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 22:35:00.63 ] 2^x + 3^y + 5^z = n! （x、y、zは整数、nは自然数） をみたす整数x、y、z、nの組をすべて求めよ 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 23:50:01.87 ] >>489 (x, y) = (1, 1) 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 23:50:41.97 ] 実質2^2+2^2+3^2+3^2=5^2+1しかないな 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 00:00:32.95 ] それ以外にないことは、どうやって証明できるん？ 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 00:04:21.05 ] しかもどれほどエレガントに？？ 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 00:08:20.92 ] そーだそーだ！ 解を一つ書いて解けたつもりなのか？ 小学生かよ！ 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 01:09:57.42 ] なんか面白いからこのまま小学生呼ばわりさせてみよう 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 01:20:00.30 ] 0,0. 1,1. 4,256. 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 01:30:00.08 ] 1,1,0,3. 2,0,0,3. 4,1,1,4. 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 01:30:05.45 ] まあmod 12で調べていけば素数の二乗は1,4(2のみ),9(3のみ) 左辺4つ足しあわせて右辺に可能性があるのは、全て試すと 4+4+9+9 ≡ 2 mod 12のタイプしか残らない 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 05:05:00.20 ] >>482 誰も答えないから、解答www 1からnまでの目があるサイコロをm回投げた場合に nが出ない目の集合をA(n)とおくと、、全ての目が出る場合の数は n^m-Σ[i=1,n]A(i)+Σ[i=1,n]Σ[j=1,n∧i≠j]A(i)∩A(j)-．．． =Σ[i=0,n-1](-1)^i*C[n,i]*(n-i)^m) となることを用いると、求める確率の場合の数は空箱を1つ選択してから 1からn-1までの目があるサイコロm回投げて全ての目が出る場合の数 Σ[i=0,n-2](-1)^i*C[n-1,i]*(n-i-1)^m に等しいから、求める確率は Σ[i=0,n-2](-1)^i*C[n-1,i]*(n-i-1)^m/n^(m-1) 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 17:45:05.63 ] >>489 うひょっ！どうやって解くのですか 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 22:11:25.99 ] >>501 k = x^3/y とおくと、y = k^{1/(3k-1)} という式が出てくる。 y = 1 と y ≧ 2 で場合分け。 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/10(木) 08:12:31.50 ] 自然数 n、整数 x、y、z のとき、n！= 2^x + 3^y + 5^z をみたす x、y、z、n をすべて求めよ 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/10(木) 09:28:18.83 ] lim[n→∞] {(n!)^(1/n)}/n を求めよ 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/10(木) 09:36:26.22 ] >>504 1/e 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/10(木) 09:38:11.88 ] >>503 mod 3 で考える。 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 21:37:28.35 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 21:58:50.63 ] >>507のタイーホまだ？ 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 14:17:01.53 ] >>503 mod 3, mod 5, mod 8で考えると、 n≧5、x≧3、y≧1、z≧1には解が存在しないことがすぐわかる （x,y,zの偶奇の組合せがどれも不可） さらにいろいろ場合分けして検討すると、 結局n≧5は全てダメだということがわかるので、 あとは有限な範囲の探索のみ。 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 19:08:07.97 ] n=3のとき、2^x+3^y+5^z=6で不適 n≧3のとき n! mod 3 = 2^x+5^z mod 3 = 0 n=4のとき、2^x+3^y+5^z=24 x=4,y=1,z=1で題意を満たす n≧4のとき n! mod 8 = 2^x+3^y+5^z mod 8 = 0 n≧5のとき n! mod 5 = 2^x+3^y mod 5 = 0 a,b,cを整数として、2^x+5^z=3a 2^x+3^y+5^z=8b 2^x+3^y=5c 3^y=8b-3a 5^z=8b-5c bは15の倍数で、dを整数として 2^x+3^y+5^z=120d 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 19:09:02.04 ] >>510 先頭に以下を追加 x≠0, y≠0, z≠0のとき 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 00:29:17.03 ] なんか勝手に条件追加してるし、結局何言ってるかわからんしｗ 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 00:43:11.33 ] プログラムを組むと確かに、n≧5の場合に解は存在しなかった。 2^x+5^z=3a 3^y+5^z=2b 2^x+3^y=5c から 2^x=(3a-2b+5c)/2, 3^y=(-3a+2b+5c)/2, 5^z=(3a+2b-5c)/2で意味不明w 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 01:07:33.14 ] n≧5の場合に解は存在しないことを 高校生にも分かるように証明お願いします 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 04:48:55.84 ] >>514 Andrew John Wilesにでも会ってこい 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 04:49:39.32 ] あ、すまんフェルマーの最終定理の話じゃなかったのか 515は忘れてくれ 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 05:04:45.31 ] それもまた好々 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 14:44:19.74 ] >>513 追加 (3a-2b+5c)/2>=2, (-3a+2b+5c)/2>=3, (3a+2b-5c)/2>=5 を満たす整数a,b,cの組み合わせは7個、その全てでx=log[2]((3a-2b+5c)/2)が整数に ならずに不適。 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 14:55:42.37 ] >>518　はx>0,y>0,z>0の場合 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 19:56:21.99 ] >>514 kは非負整数とする mod 8において、3^2≡1，5^2≡1より 　3^(2k)≡1，3^(2k+1)≡3 　5^(2k)≡1，5^(2k+1)≡5 mod 3において、2^2≡1，5^2≡1より 　2^(2k)≡1，2^(2k+1)≡2 　5^(2k)≡1，5^(2k+1)≡2 mod 5において、2^4≡1，3^4≡1より 　2^(4k)≡1，2^(4k+1)≡2，2^(4k+2)≡4，2^(4k+3)≡3 　3^(4k)≡1，3^(4k+1)≡3，3^(4k+2)≡4，3^(4k+3)≡2 n≧5とすると n!≡0 (mod 8)，n!≡0 (mod 3)，n!≡0 (mod 5) x,y,zがいずれも負の整数とならないことの証明はここでは省略して 以下いずれも非負整数とする (i) x≧3のとき 2^x≡0 (mod 8)より、3^y+5^z≡0 (mod 8) この条件を満たすのはyもzも奇数の場合のみ yが奇数で0ではないので3^y≡0 (mod 3)、zは奇数なので5^z≡2 (mod 3)より、 2^x≡1 (mod 3)となり、xは偶数 zが奇数で0ではないので5^z≡0 (mod 5)より、2^x+3^y≡0 (mod 5) しかし、xが偶数、yが奇数だと、この条件を満たすことができない よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない （続く） 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 19:57:37.88 ] （続き） (ii) x=2のとき 2^x≡4 (mod 8)より、3^y+5^z≡4 (mod 8) この条件を満たすのはyが奇数、zが偶数の場合のみ 2^x≡1 (mod 3)、yが奇数で0ではないので3^y≡0 (mod 3)より 5^z≡2 (mod 3)となるが、これはzが偶数であることと矛盾 よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない (iii) x=1のとき 2^x≡2 (mod 8)より、3^y+5^z≡6 (mod 8) この条件を満たすのはyが偶数、zが奇数の場合のみ 2^x≡2 (mod 5)、zが奇数で0ではないので5^z≡0 (mod 5)より 3^y≡3 (mod 5)となるが、これはyが偶数であることと矛盾 よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない (iv) x=0のとき 2^x+3^y+5^zは奇数、n!は偶数なので矛盾 よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 20:16:51.43 ] 結局答えは (n,x,y,z)=(3,2,0,0),(3,1,1,0),(4,4,1,1) の３通りのみ 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 20:26:04.23 ] >>518 ＞　(3a-2b+5c)/2>=2, (-3a+2b+5c)/2>=3, (3a+2b-5c)/2>=5 ＞　を満たす整数a,b,cの組み合わせ (a,b,c)が１組でも見つかれば、 (ka,kb,kc)（kは自然数）も不等式を満たすはずなので、 ７個だけというのは意味不明 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 20:48:06.39 ] >>523 3つ不等式を満たす整数の点は、3平面がなす四面体の内部の点であり (a,b,c)=(454, 543, 334),(454,542,334),(453,546,335), (453,544,334),(453,547,335),(453,545,334),(453,543,333) 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 21:07:49.59 ] 四面体ではなく無限に続く三角柱だから、>>518と>>524は間違だった。 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 23:59:26.40 ] ×無限に続く三角柱 ○3つの平面により区分けれた領域 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/18(金) 15:30:16.03 ] (・3・) 528 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/19(土) 11:11:34.19 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 531 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/23(水) 08:14:45.57 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/24(木) 23:58:06.24 ] ふむ 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/25(金) 03:38:28.60 ] 平面R^2をジョルダン閉曲線で過不足無く覆うことは可能か？ ただし「過不足無く」とは、R^2上の任意の点に対しその点を通るものがただ1つある場合をいう。 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/25(金) 03:40:15.06 ] >>533の補足。 1個の閉曲線で覆うのではなく、閉曲線の集合を考え、その全体で覆うものとする。 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 06:53:09.23 ] {x^2+y^2=r^2 | r∈R} 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 07:32:24.60 ] {y=(x^3-x+a | a∈R} 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 07:46:55.58 ] >>536は馬鹿 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 11:21:16.73 ] >>536は閉曲線ではなかったので {x^2/a^2+y^2/(ca)^2=1 | a,c∈R, cは一定} 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 11:28:55.12 ] {x^(2n)+y^(2n)=r^(2n) | n∈N, r∈R, nはn≧1で一定} 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 11:35:34.48 ] 点は閉曲線と認めるか 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 12:47:42.68 ] え、これって、どうやっても少なくとも１点は残ってしまうことを いかにうまく証明するかという話じゃないの？ 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 13:04:28.08 ] 蚊取り線香とか見たこと無いのか 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 13:11:22.88 ] ─┐┌─ ┌┘└┐＜呼ばれた気がした │┌┐│ └┘└┘ 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 22:19:37.86 ] （ペアノ君には用はありません） 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/26(土) 22:28:06.97 ] (用がないのに来ないでくださいね) ＞ 多くの人々 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/27(日) 00:26:27.20 ] せめて、Wikipediaでもいいから、ジョルダン曲線の定義と、 ジョルダン曲線定理の内容ぐらい見てから書き込めばいいのに… 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/27(日) 02:02:38.63 ] >>541 ああ、そういう意味か 一点が残ってしまうどころか ミスると可算無限個の穴ができて 消せなくなったりもするな 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/27(日) 02:29:03.03 ] 二次元の平面上の原点に蛙がいる。 この蛙、ひょんなことに、有理数度の角度に 有理数 cm の距離を飛ぶことしか出来ない。 この蛙が到達出来ない点の集合は？ 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/27(日) 02:30:28.86 ] >>547 まあ、１点だけ残る例なら >>535 でr>0とすれば構成できるけど、 必ず１点は残ることをきちんと証明しようとすると、 非可算無限を扱うのでいろいろ工夫がいりそう 自明に思えることがなかなかうまく証明できないという

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