数学基礎論・数理論理学　その10

1 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/29(土) 22:42:36.86 ] 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 （「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。） 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 （数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照） 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学　その9 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/ 236 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 12:13:54.61 ] 逆数学が2次的ってｗ 本来逆数学のような計算論の視点が1次的で、 これまでの数学が2次的なものなのだが。 ユークリド言論が1次的で非ユークリッドが2次とか言っているようなものw 237 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 12:18:44.87 ] >> 234 これ興味あるからもうすこし聞かせて。 オレは、本当にそうであればよいと思う者だが、今の計算論や理論計算機にそんな兆候があるか？ 何あるいは何処がその兆候だと思うんだ？ 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 12:23:15.54 ] >232 無限と同じぐらいの深淵じゃないの？ 可算数と非可算数の境界の話だよね？ 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 13:58:14.73 ] >>236 逆数学にとって数学が二次的な対象でしかないことは誰も否定して無いと思うが。 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:49:37.41 ] >>239 逆数学は、直接、数学の成果を得る活動ではないが その結果が、数学でないかといえば、そんなことはないから 結局、フツウの数学と変わるところはない。 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 17:17:43.15 ] 逆数学の井の中の「数学」を大海の数学と称する腹か。 自分で「フツウの数学」と区別しておいてそれは詭弁ではあるまいか。 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 17:25:08.36 ] >>241 要は対象の選び方の違いにすぎない。 こんなことに難癖をつける奴は●違いだろう。 243 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 19:00:04.00 ] >>243 述語論理ですが、 言語Lってのは 論理的述語記号∧、∨、¬、→、∀、∃ 変数記号x1、x2、x3、... 関数変数記号F1、F2、F3、... 述語変数記号R1、R2、R3、... の記号の組合せの事ですよね。 この記号の組合せの総数、つまり2^Lの中で、 変数記号、引数に項をとる関数の形をしたものが項ですよね。 項の集まりをTermとすればTerm⊆2^Lになりますよね。 引数に項をとる述語と、述語を引数にとる論理的述語が論理式ですよね。 論理式の集まりをFlmとすればFlm⊆2^L。 244 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 20:50:08.36 ] LによってTermやFlmが規定されることから、 これらをTerm(L)やFlm(L)と書き換えよう。 M(L)という対が＜M,Pri,Fnc,m,v＞と定義される。 Mは集合。 Priは定義域がMを動く述語の集合。 Fncは定義域・値域がMを動く関数の集合。 mは定義域が定数記号ならば値域がM、 定義域が述語定数記号ならば値域がPri、 定義域が関数定数記号ならば値域がFnc、 となる全単射関数。 vはFlm(L)から{0,1}への関数。 さてここまで来れば私の主張したい内容が想像つくだろう。 つまり、「論理的述語記号だけ特別扱いするのは卑怯ではないだろうか？」 245 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 21:23:51.57 ] >>244 ＞「論理的述語記号だけ特別扱いするのは卑怯ではないだろうか？」 上記の文章は理解できない。 もし、 「論理記号によって書かれた述語だけを 　述語として認めるのはおかしいだろう？」 といいたいのであれば、全くその通りである。 実は一階述語論理と二階述語論理の違いはそこにある。 一階述語論理では、論理式として書けるものしか拘束できない。 しかしながら、二階述語論理では、述語全体を束縛する演算子 として∀、∃を用いることができる。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 21:33:28.20 ] >>241 ははは。 基礎論って、妖怪人間ならぬ妖怪数学みたいなものか？ 普通の人間や数学は、日夜、立派な人間や立派な数学になりたいと 切磋琢磨しているのに、 普通の人間か数学になりたい、それで充分だからならせてくれと。 247 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 22:09:00.71 ] さて、途中まで書いていたのだが以下続き。 論理的述語記号は通常、 A　B　A∧B ------------ 1　1　1 1　0　0 0　1　0 0　0　0 のような真理値が定義されているのだが、 これはいささか早計ではないだろうか。 これが前提となるのは非常に不快である。 そこで論理的述語記号を関数や述語と同様に、 論理的述語変数と論理的述語定数に分離して考えてはどうだろうか。 つまり論理的述語記号∧、∨、¬、→、∀、∃ を 論理的述語変数L1、L2、L3、... にすげ替えてしまうのである。 同時に論理式の定義を以下のように拡張する。 ・引数に項をとる述語。 ・引数に引数に述語か論理的述語をとる論理的述語。 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 22:27:27.03 ] >>211 同意。 逆数学や基礎論と数学は別物。 別物なんだから、価値観が違う。 基礎論にとっては、代数方程式論より逆数学のほうが重要かもしれないが、 数学にとっては、代数方程式論の方がはるかに大事。 価値観が違うんだから、はっきり分けるべき。 数学は数学。論理学は論理学。 刃物をつかっているという点では同じでも、 サムライと板前くらい違う。目的も価値観も違う。 249 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 22:32:31.65 ] >>245 まったくそのとおりである、私はさらにその考えを推し進めようとしている。 注意すべきは論理的述語は引数に直接項をとることができない。 これは既存の1階述語論理と同様である。 （いや、∀と∃の存在保証が失われた今、1階というのは意味をなさない言い方か。） さて、今述語論理の言語は以下の述語を持つ。 論理的述語変数 L0、L1、L2、... 論理的述語定数 - 非論理的述語変数 R1、R2、R3... 非論理的述語定数 - ここで論理式の定義と比較したとき、ある事実に気が付くだろう。 論理式の非論理的述語は引数に項をとる。 論理式の論理的述語は引数に非論理的述語と論理的述語をとる。 つまり項で非論理的述語の真偽が決まり、非論理的述語で論理的述語の真偽が決定する。 250 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 22:54:57.82 ] 非論理的述語を1階の述語、 論理的述語を2階の述語と考えると、 当然3階4階...n階と階層化をすすめたくなる。 重要なのは、n階の述語は引数にn階以下の述語をとるということ。 そして1階だけが極小の述語となり、引数に項しかとれない。 述語はどの階層でも真偽が決定するが、項は単独では真偽決定できない。 251 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 23:29:23.60 ] さて、構造の側はどうするかというと、 {Pri_n(L)}n∊N とでもして述語を階層ごとに分けとけばよいだけだ。 さて言語Lの論理式は今や以下の定義となる。 ・項を引数に持つ1階述語。 ・n階以下の述語を引数に持つn階述語。ただしn≧2。 こうすると構造の側はどのように真偽を判定するのか。 なおn階の述語すべてのアリティの個数制限をなくす。 252 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 23:45:50.00 ] なお真偽値をいくつにしても構わないし、 どういった場合においてもここまで一般化された 言語では任意の証明体系で完全性定理が成り立つ。 というより論理記号がないため恒真が意味をなさない。 こう考えると1階述語論理とは、 述語が2階までで、 2階の述語定数記号が各アリティ2の∧、∨、¬、→、∀、∃ である。 ここで通常の1階論理と同じような真理値を2階の述語に与えれば良い。 （勿論構造の側の解釈を与える全単射の関数mもn階分に対応している。） また、高階述語論理や様相論理も自由に展開できることを確かめたれたい。 了 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 02:12:56.62 ] 話をバッサリ切ってごめんけど、なんでこんなに難しい文章で説明しようとするの？ 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 02:14:56.35 ] バカだから 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 02:18:17.96 ] ロボットに説明するわけじゃあるまいし。 何で数学の証明とか解説ってやたら難しい事書くんだろう。人間が人間に説明するんだから(ry 256 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 03:51:17.42 ] >>255 解釈の方法を限定するためじゃね。 自然言語で意味が一意になるように書くと、更に長くなるよ。 試しに選択公理を論理式と自然言語で書いて見比べてみたら。 257 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 07:15:28.38 ] 難しいと言うか 普通の教科書の書き方をパロッてるんだろう 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 08:11:19.75 ] >>248 何がいいたいのか意味不明。 そもそも代数方程式でも解の存在が大事だという人と 解の性質が大事だという人がいるだろう。 数学の中で分野わけすればいいだけのこと。 整数論至上主義者は、整数論のために 関数解析を「数学ではない」といって 切るつもりか？ 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 08:18:45.68 ] >>249-252 ゲーデルのLを知らんのか？ あれはまさに無限階論理といってもいいわけだが。 しかし、全ての階をいっしょくたにできるような 最上階というものは存在しない。 260 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 08:53:31.44 ] さて、いよいよ本論に入ろう。 前回、真偽の決定可能な論理式は1階以上の述語とした。 一方でn階の述語はそれ以下の階層の述語を引数にとるとした。 ここで項も論理式に加えてしまうのが合理的だと思わないだろうか。 また2階以上の階層の真偽が同様に決定するのも不自然だ。 はじめてに論理式の定義を以下のように書き換える。 ・従来の変数は0階の論理式である。 ・従来の関数は1階の論理式である。 ・従来の述語は2階の論理式である。 ・従来の論理的述語は3階の論理式である。 さらに ・n階の論理式はそれ以下の論理式を引数に持つ。 ここで問題が発生する。f(x)∧y、a＜(b＜c) のようなものが発生する。 これは容易に解決する。 261 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 09:41:26.91 ] >>259 ある段階で導入する可能性もある。 かつて関数vは論理式と真理値を関連付けていた。 これは解釈という考え方で一般化することが可能である。 例えば、従来のx＜y∧y＜zという論理式を考える。 x＜y∧y＜zの真理値は、x＜yとy＜zの真理値によって決定する。 ここでx＜y∧y＜zの真理値とx＜yとy＜zの真理値は実は違うものだと考える。 そして真理値というよりは、例えば集合{t0,t1}を値が動くと考える。 一方f(x)やg(y)は構造の領域Mを動いている。 3階以上の述語も同様にふるまう。 ここで各階の論理式は解釈により集合へ対応付けられる。 各階の論理式に対応する集合は、M0、M1、M2、...とでも定義しておけばよい。 例えばPAの標準モデルは、 M0＝N、M1＝N、M2＝{0,1}、M3＝{0,1}となるだろう。 ここで先ほどのf(x)∧y、a＜(b＜c)。 f(x)∧yだが、f(x)はM1、yはM0に対応付けられる。 ∧は{t0,t1}に対応付けられている。 ここで∧を解釈する関数の定義域が{t0,t1}だけならば、 それ以外の不正な値を定義不能としてはじくことが出来る。 つまり、f(x)∧y、a＜(b＜c)などは決定不能になる。 もちろんM0＝M1＝M2＝...と定義することで 意図的に関数値や定義域を混同させることも可能だ。 つまり完全性定理での論理式が、決定可能な論理式に制限されるだけだ。 262 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 09:55:54.14 ] ところで真理が真偽2択から解放された今、 モデルの定義も変えねばなるまい。 矛盾許容論理などを考えればモデルとは、 ある言語のすべての論理式を定義可能な領域を持つ構造。 これにより先ほどの完全性定理は再び従来通りの論理式に対するものとなる。 263 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 10:06:41.41 ] >>260、261 お前アホか。全部既知のことを今頃お勉強が終わったということ。 それからn階なんて言っている時点で古過ぎ。循環だってあるんだから。 264 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 10:34:01.28 ] >>263 ご立腹かね？ワトソンくん！ 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 16:26:20.00 ] 流れをぶった切って。 物理なんかの測定から理論を抽出するところに逆数学的なものを感じるんだけど、 逆数学にそういった応用例とかないのかしらん？ 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 16:43:51.03 ] >>243-244　>>247　>>249-252　>>260-261 トンデモ？ 267 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 17:16:49.63 ] >>266 すでに知られていることを独自の発想のように書いてるスレ潰し 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 17:19:39.30 ] >>267 既知？全く荒唐無稽の既知外だろｗ 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 17:32:12.02 ] >>258 わかってないなぁ。 数学はひとつなの。 関数解析にとっても代数方程式は重要なの。 整数論と関数解析は分けることができないの。 向かう方向はおなじだから。 だが、逆数学はわけることができる。 価値観が違うんだから、どうどうと違う学問だと なのって、数学の外で一国をつくればよい。 関数解析と整数論が違う学問だと思うのは、 きっと、現在の教育を途中で投げ出すと、 そういう感覚を覚えるようになってしまっているのが 原因。 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 17:43:37.04 ] ロジックだって、完全性定理のレベルでさえ、 束、位相、代数が基盤だろ。 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 17:48:05.83 ] >>270 いや、高校数学で充分足りる 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 18:02:19.72 ] ロジックって、一体何を目的にして何に向かって 研究してるの？ 273 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 18:20:57.12 ] 証明論とかって計算機畑の方が主流？ ここ最近の研究事情がどうなってるのかわからん。 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 18:23:49.45 ] >>269 ＞数学の外で一国をつくればよい。 ずいぶん壮大なことをのたまっているようだが、今の体制で 本当にそのようなことを実現するなら、政治的な力が必要だな。 内部から変化することはありえないから。 こんなところで愚痴ってないで、お前が先頭に立って 排斥運動の1つでもやってみたらどうだねｗ 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 18:28:10.07 ] ロジックというのは、ロジックに関係しているというだけの 雑学の総称？ 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 18:48:03.53 ] 「AはAに関係してるものの総称」 277 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 19:35:09.95 ] >>276 アニメやゲームはそういう感じで使われているね 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 21:24:26.00 ] >>271 基礎的な定理には初等的な証明、理解の仕方があるのは、 代数だって変わらんでしょ。けどそれじゃ数学的構造理解しているとは言えない。 279 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 21:38:02.64 ] >>243-244　>>247　>>249-252　>>260-261 あなたのスタイルがちょっと古かったりおおげさだったりするのが皆の癇にさわって いるだけかも。既知かも知れんが、学生だとすればなかなか力ある。 しつこくがんばれば将来性あるよ。めげるな。 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 22:05:42.78 ] 基礎論による理論の構造分析を、通常数学の学習や理論の創造に役立てたい。 オススメの基礎論学習コースある？ 学習者は代数専攻の数学修士として。 281 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 05:44:38.12 ] >>279 人を駄目にする褒め方をしてはいけない 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 05:50:42.76 ] むしろボロクソにけなしまくる方が駄目にするんじゃねえの？？ 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 07:16:52.39 ] >>279 全然見当違い。 そもそも論理式の値が真偽値でないとする発想が既知外。 てゆーか自画自賛だろ。トンデモがよくやる手だｗ 284 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 07:52:43.55 ] ファジー論理 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:00:25.69 ] 過去にもいたよね、方程式の解が実数でないものを認めようとしたり 小さい数から大きな数を減じてみようとしたり。 286 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 10:17:53.15 ] >>285 それを今やって大発見だと思う人がいたら可哀相な人だよね。 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 10:28:23.70 ] >>272 とか、 >>280 とか、 真面目な質問に答える能力のある人はいないの？ 288 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 11:13:58.64 ] じゃあ俺が、 といっても俺も素人なんであんまり真に受けないでね。 さしあたり完全性定理とか不完全性定理を知りたいなら、 朝倉 現代基礎数学 15 数理論理学 鹿島亮著 を読んで、証明とか説明に不足を感じたら J.R.Shoenfied著のMathematical Logic を読めばいいと思う。 モデル理論の代数幾何への応用とかは知らないんで。 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 11:50:14.30 ] 完全性定理、不完全性定理は、エンダートンで 勉強しました。その次にくるのは何がよいでしょうか？ 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 17:31:06.56 ] >>289 エンダートンを読了したのならば数理論理学に関して一通りの基礎は身に付いたはずなので 次は自分が特に興味のあるテーマのモノグラフやサーベイに進むのが良いでしょう。 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 18:52:20.60 ] 代数方面の人なら幾何的モデル理論とかが良いんじゃないかな 別にモデル論の知識は無くても読めるように書いてあるよ 基礎論全般の勉強なら新井敏康の数学基礎論が良いよ 包括的な入門書の中では一番レベルが高いんじゃないかな 292 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 20:37:37.55 ] Endertonたけぇｗ 仕方ないからこれにしよう・・・ Lectures in Logic and Set Theory: Volume 1, Mathematical Logic (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) [ペーパーバック] George Tourlakis (著) 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 20:49:01.48 ] >>291 へえ、モデル理論仕込まなくても読めるんですか。 アリ。 294 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 21:15:27.88 ] モデル理論の代数幾何への応用なら 江田の数理論理学、これは絶対おススメ。 295 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 22:10:14.58 ] 証明論で良い本ある？ 296 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 22:48:43.42 ] Umm APPLIED LOGIC SERIESとかCambridge University Pressのコンピュータサイエンスの 論理シリーズは良書が多いねぇ 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 23:32:17.19 ] >>294 生協で見たことあるが、そんな特徴ある本なの？ 読んでみないと分からんもんだね。 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 17:18:48.13 ] ウィトゲンシュタインの論考ってどうなの？ 基礎論的には。 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 18:05:45.72 ] 数学としての基礎論にとっては無価値だろ。 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 18:10:42.83 ] 数学として基礎論は無価値だろ。 301 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 18:54:12.25 ] ウィトゲンシュタインの像とかいう概念を 直観主義で再現するみたいなパワポ見たことあるよ 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 20:17:17.36 ] 論理学なんかやって何の意味があるんだ？ 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 21:46:59.04 ] もちろん数学の基礎付けですよ！ 304 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 21:53:03.38 ] 論理学は木の研究 目標は新たな計算機の創造 うひ 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2011/11/08(火) 22:39:11.92 ] 論理学なんかで数学の基礎付けができるのか？ 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 22:49:07.15 ] 量化の代入的解釈(substitutional quantification )って何ですか？ぐぐってもよくわからなかったのですが。。。 307 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 23:36:34.25 ] 例えば述語論理で言語の定数が0,1,2のとき、 「∀xP(x)が真」を、「P(0)が真＆P(1)が真＆P(2)が真」 と置き換えて解釈をする流儀。 モデルの側の領域と無関係と考えるような意味論。 ただ強完全性とコンパクト定理が成り立たない。 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 00:09:01.98 ] >>307 なるほど。解説ありがとうございます。 >モデルの側の領域と無関係と考えるような意味論。 領域と無関係というのは、領域自体考えに入れないということですか？ たとえば、普通ならP(0)が真 iff V(0)∈V(P)と考えると思うのですが、上の意味論ではP(0)の真理値はどうやって決まるのでしょうか？ 309 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/09(水) 08:14:34.34 ] 例えば P(x)のモデルMでの解釈が{2,3}で、 言語の定数記号がa,b、 そのMでの解釈がそれぞれ2と3だとする。 このとき代入したもの P(a/x)とP(b/x)を解釈すると両方真。 つまり∀xP(x)が真。 ところがモデルMの領域全体がどうなっているかは不明！ 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 13:40:46.76 ] >>309 そういうことでしたか、よく分かりました。 311 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/10(木) 15:23:53.16 ] 論理学なんかで数学の基礎付けができるのか？ 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 15:25:57.13 ] それは未来人に訊いてください 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 16:50:53.13 ] ロジック抜きでどうやって数学を構築するのかと… 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 18:28:52.13 ] トポスとか圏論とか 315 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/10(木) 18:47:35.69 ] >>314 そりゃ集合論抜きでロジック構築する方法だろ＾＾； 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 19:42:13.85 ] 数学の基礎付けがどうとかいうのは 今時（ロジックの中でも）時代遅れで、 研究者はほとんどそんなこと気にしちゃいない 317 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/10(木) 19:55:31.55 ] きさまら同じ話題を難解ループしてんだよｗ 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 20:20:19.96 ] お前もいつまでこのスレ読んでるつもりだ？ 319 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/10(木) 20:33:33.69 ] 命ある限り読むつもりだよｗ その5辺りから読んでるんだから 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 20:34:33.65 ] その１からのログを保持してる俺はそろそろ飽きてきた 321 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/10(木) 20:39:10.71 ] なぜなにスレッドの 洗濯小売はどうなったのか？ 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 22:44:01.56 ] >>316 では、今のロジシャンは何をやりたいの？ 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 22:47:13.21 ] ただのパズラー？ 324 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/10(木) 22:58:40.05 ] 従来の論理学は コンピュータサイエンスに移ったよ。 洋書のCSシリーズのが充実している。 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 22:59:07.72 ] パズラーに失礼の無いように 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 09:49:01.53 ] 第二不完全性定理の証明がわかりません。具体的には、 PA|- Pr(【φ】)→Pr(Pr(【φ】)) をどうやって証明するのかがわかりません。 不完全性定理ってなかなか難しいですね。 327 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/11(金) 19:49:22.09 ] 補題 Σ1文φについてPA|-φ→Pr(【φ】) 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 21:57:15.05 ] >>327 定義に関する帰納法で証明すればいいんですかね？ φが原子論理式のとき φが��Ψのとき φが、、、、 んーいまいちまだ分からないんですが。 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 22:14:05.71 ] たとえば PA|- ∀x∀y(x=y→Pr(【x=y】)) はどうやって証明するんでしょうか？ 330 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/11(金) 22:56:20.05 ] >>329 PAの定義や証明体系に依存する。 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/12(土) 01:49:07.93 ] >>330 たしかにそうですね、、、定義も書かずすみませんでした。 ところで、第二不完全性定理を証明する際に使われる導出性条件(derivability conditions)というのが３つありますよね。 D1 PA|- φ→Pr(【φ】) D2 略 D3 PA|- Pr(【φ】)→ Pr(【 Pr(【φ】) 】) このうちのD1とD3は何が異なるのでしょうか？ Pr(【ψ】)をD1のφとして考えれば、 D3はD1に含まれる気がするのですが。 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/12(土) 03:39:12.71 ] D1が間違っているように見えるが、君の参考にしている本には本当にそう書いてあるかい？ 333 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/12(土) 06:54:09.56 ] >>331 D1はPA|-φならばPA|-Pr(【φ】) だと思いますよ。 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/12(土) 09:05:16.20 ] D1が間違っていました、失礼しました。 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/12(土) 09:38:08.20 ] 次の論理法則を証明せよ：− 「前提が偽であることは帰結も偽であることを何ら保証するものではない。」 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/12(土) 12:01:57.63 ] やばい数学オリンピック辞典見てみたけどさっぱり内容がわからない・・

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