- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/28(水) 00:43:51 ]
- 例えば
Ω＝{<1,2>, <2,4>, …, <2^k,2^(k+1)>, …}∪{<2,1>, <4,2>, …, <2^(k+1),2^k>, …}
Ｆ：Ωの部分集合全体
Ｐ：Ｆ→[0,1] s.t.
∀n=0,1,2,3,… ; Ｐ({<2^n,2^(n+1)>}) = Ｐ({<2^n,2^(n+1)>}) = (2^(n-1))/(3^(n+1))
∀Ａ∈Ｆ ; Ｐ(Ａ) = Σ_[ω∈Ａ]{Ｐ({ω})}
とすれば
(Ω,Ｆ,Ｐ)は確率空間となる。また確率変数X,Y:Ω→{1,2,4,…,2^k,…}を
X(<a,b>)=a,Y(<a,b>)=b
と定義すると、これは
２つの封筒Ｘ,Ｙ(Ｘ:ゲストが選ぶ封筒,Ｙ:選ばない封筒 と考えてもよい)に対して
封筒Ｘに金額2^n,封筒Ｙに金額2^(n+1)を入れる確率(2^(n-1))/(3^(n+1))
封筒Ｘに金額2^(n+1),封筒Ｙに金額2^nを入れる確率(2^(n-1))/(3^(n+1))
(n=0,1,2,3,…)
とする。
に対応してると解釈できる。この時に例えば
・封筒Ｘ,Ｙの金額の期待値(E[X],E[Y])
・金額の組が{s,2s}という条件の下での封筒Ｘ,Ｙの金額の条件付期待値(E[X|{X,Y}={s,2s}],E[Y|{X,Y}={s,2s}])
・封筒Ｘの金額がxという条件の下でのＸ,Ｙの金額の条件付期待値(E[X|X=x],E[Y|X=x])
・封筒Ｙの金額がyという条件の下でのＸ,Ｙの金額の条件付期待値(E[X|Y=y],E[Y|Y=y])
・封筒Ｘの金額がs,封筒Ｙの金額が2sという条件の下でのＸ,Ｙの金額の条件付期待値(E[X|<X,Y>=<s,2s>],E[Y|<X,Y>=<s,2s>])
・封筒Ｘの金額が2s,封筒Ｙの金額がsという条件の下でのＸ,Ｙの金額の条件付期待値(E[X|<X,Y>=<2s,s>],E[Y|<X,Y>=<2s,s>])
等の解釈ができて、期待値を計算してみればよい。(ただし、実はE[X],E[Y]は発散してしまうので定義できない)
新しい条件・情報を考慮して、確率・期待値を考え直したいとき
いちいち新しく確率空間を定義し直す必要はなく、条件付き確率・条件付期待値と考えてよい。
つまり、"さらに事象Ｂが起きた時の確率"は"事象Ｂが起きるという条件の下での期待値"と同じと考えてよい。
これは新しい確率空間を(Ω,Ｆ,Ｑ)と考えればよいことによる(ただしＱ：Ｆ→[0,1] s.t. Ｑ(Ａ)＝Ｐ(Ａ|Ｂ))。
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