- 112 名前：常識人 [2010/05/17(月) 10:04:52 ]
- ここで、場合１で封筒を取り替えると、封筒の中身はnaとなる。
また、場合２で封筒を取り替えると、封筒の中身はa/nとなる。
そうすると、最初の封筒の中身がaであった場合に、封筒を取り替えて得られる期待値は、
式（１）にnaを掛けたものと
式（２）にa/nを掛けたものの和で表される。
その和は、
a(ny(a) + y(a/n)/n)/(y(a) + y(a/n)) （３）
と表される。
この式（３）が、封筒を交換した場合に得られる金額の期待値を表す。
従って、aに掛けられている係数である下記式（４）が１より大きければ、交換した方が得となる。
(ny(a) + y(a/n)/n)/(y(a) + y(a/n)) （４）
そこで、式（４）が１より大きいとしてこれを解く。
(ny(a) + y(a/n)/n)/(y(a) + y(a/n))＞1
すると
y(a) ＞y(a/n)/n
となる。
結局、<a,na>の組み合わせで２封筒に入れた確率y(a)（場合１）が<a/n,a>の組み合わせで２封筒に入れた確率y(a/n)（場合２）のn分の一よりも大きいならば封筒を交換したほうが得ということになる。
２封筒問題として最も広く伝わっているケースは、nが2の場合であるが、場合１の確率が場合２の確率の二分の一よりも大きいならば封筒を交換したほうが得ということになる。
＜以下続く＞
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