- 62 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/06/29(月) 13:54:16 ]
- 命題
X を局所コンパクト空間とする。
ρ, σを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
さらに、X の共通点をもたない部分集合 R, S で、
それぞれ ρ, σを支える(>>60)ものが存在するとする。
このとき、ρ, σは、互いに無縁(>>59)である。
証明
μ = |ρ|, ν = |σ|, λ = μ + ν とおく。
μ ≦ λ であるから過去スレ011の200より、λ零集合はμ零集合である。
よって、Lebesgue-Radon-Nikodymの定理(過去スレ011の734)より
μ = gλ となる局所λ可積分な正値関数 g が存在する。
同様に、ν = hλ となる局所λ可積分な正値関数 h が存在する。
χ_R は μ に関して可測であり、μ = (χ_R)μ となる。
過去スレ011の700より、μ = (χ_R)(gλ) = (χ_R)gλ となる。
同様に、ν = (χ_S)(hλ) = (χ_S)hλ となる。
>>29より、inf(μ, ν) = inf((χ_R)g, (χ_S)h)λ であるが、
R と S は交わらないから inf((χ_R)g, (χ_S)h) = 0 である。
証明終
|
 |
